高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7講 空間向量的應(yīng)用

第7講 空間向量的應(yīng)用隨堂演練鞏固1.設(shè)平面的法向量為（1，2，2），平面的法向量為（2，4，k），若/則k等于（ ） A.2B.4C.4D.2 【答案】C 【解析】(2， k=4. 2.如果平面的一條斜線和它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a=(0，2，1)，b那么這條斜線與平面的夾角是( ) A.90B.60C.45D.30 【答案】D 【解析】cos因此a與b的夾角為30. 3.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，3，1) 的重心坐標(biāo)為（ ）A.B. C.D. 【答案】B 【解析】ABC的重心坐標(biāo)為. 4.如圖平面AC=則二面角APBC的余弦值大小為 . 【答案】 【解析】 以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz, 因?yàn)锳(1,0,00,0),P(1,0,1), =(0,0,1), 設(shè)平面APB的法向量為n平面PBC的法向量為n 則 nn. cosnn. 二面角APBC的余弦值為. 5.(2020安徽懷寧檢測(cè))在空間直角坐標(biāo)系中，定義:平面的一般方程為:Ax+By+Cz+D=0R，且A，B，C不同時(shí)為零)，點(diǎn)到平面的距離為:則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于 . 【答案】 【解析】如圖，以底面中心O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A(1，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，2)，設(shè)平面PAB的方程為Ax+By+Cz+D=0，將以上3個(gè)坐標(biāo)代入計(jì)算得A=0，B= 即2y+z2=0，課后作業(yè)夯基基礎(chǔ)鞏固1.(2020北京西城檢測(cè))下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為( ) 若nn分別是平面的法向量，則nn;若nn分別是平面的法向量，則nn;若n是平面的法向量，a與共面，則na=0; 若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直. A.1B.2C.3D.4 【答案】:C 【解析】中平面可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，易知正確，故選C. 2.正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為( ) A.75B.60C.45D.30 【答案】C 【解析】如圖，四棱錐PABCD中，過P作平面ABCD于O，連結(jié)AO，則AO是AP在底面ABCD上的射影，即為所求線面角， cos. ，即所求線面角為45. 3.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，平面OAB的法向量為n=(2，2，1)，已知P(1，3，2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于( ) A.4B.2C.3D.1 【答案】B 【解析】. 4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是( ) A.B. C.D. 【答案】D 【解析】:設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，則n，n， 于是n=0，n=0， =(1，1，0)，=(1，0，1)， 取z=1，則x=y=z=1. n=(1，1，1)，故所求平面ABC的一個(gè)單位法向量為. 5.已知向量m,n分別是直線l和平面的方向向量和法向量,若cosm,n則l與所成的角為 ( ) A.30B.60C.120D.150 【答案】 A 【解析】 sin|. 又直線與平面所成角滿足0,. 6.已知長方體-中是側(cè)棱的中點(diǎn),則直線AE與平面所成角的大小為( ) A.60B.90 C.45D.以上都不正確 【答案】 B 【解析】 E是的中點(diǎn)且1, . 又在長方體ABCD-中平面. 平面.故所求角為90. 7.已知在長方體-中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點(diǎn)到截面的距離是 ( ) A.B.C.D. 【答案】 C 【解析】 如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz, 則A(2 設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z), 則 即 解得x=2z且y=-2z,不妨設(shè)n=(2,-2,1), 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d, 則. 8.(2020海南?？跈z測(cè))正方體-中,二面角A的大小為( ) A.60B.30C.120D.150 【答案】 C 【解析】 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖. 設(shè) (1B(1,1,0)C(0,1,0),則=(-1,1,0)為平面的一個(gè)法向量. 設(shè)n=(x,y,z)為平面的一個(gè)法向量. 則nn=0, 又=(0,1,0), n=(1,0,1). 令x=1,則z=1. cos,n. ,n,即二面角的大小為120. 9.與A(1，2，3)，B(0，0，5)兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)滿足的等式為 . 【答案】2x4y+4z11=0 【解析】設(shè)到A 兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)位由|PA|=|PB|，即 整理得:2x4y+4z11=0. 10.長方體-中E為的中點(diǎn),則異面直線與AE所成角的余弦值為 . 【答案】 【解析】 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖, 則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1. =(-1,2,1), cos. 11.如圖,正方體-的棱長為2,M,N分別是的中點(diǎn),則直線與平面BDM所成角的正弦值為 . 【答案】 【解析】 以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閤軸 、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,則N(0 又M(0,1,2),D(0,0,0),B(2,2,0),則=(2,2,0), =(0,1,2), 可得平面BDM的一個(gè)法向量n=(2,-2,1),因?yàn)閏osn 故直線與平面BDM所成角的正弦值是. 12.如圖，正ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E(1)試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由; (2)求異面直線AB與DE所成角的余弦值;(3)求二面角BACD的余弦值. 【解】(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則D(0，0，0)，A(0，0，a)，B(a，0，0. =(a，0，a)， 從而， ，又平面平面DEF， 故AB平面DEF. (2)，即為異面直線AB與DE所成的角. cos. 異面直線AB與DE所成角的余弦值為. (3)=(a，0，0)為平面ACD的一個(gè)法向量， 設(shè)n=(x，y，z)為平面ABC的一個(gè)法向量， 則n=axaz=0，n 取z=1，則. n 從而cos. 所以二面角BACD的余弦值為. 13.如圖甲,在直角梯形ABCD中,AB,AB=2,AD=3,CD=1,點(diǎn)E 、F分別在AD、BC上，且AE=AD,BF=.BC.現(xiàn)將此梯形沿EF折至使的位置(如圖乙). (1)求證:平面ABCD; (2)求點(diǎn)B到平面CDEF的距離; (3)求直線CE與平面BCF所成角的正弦值. 【解】 (1)證明:由題意知:AE=1 . ,即. 又平面ABCD. (2)作于點(diǎn)K. ,ABEF. 又平面平面CDEF,AB平面CDEF. 點(diǎn)B到平面CDEF的距離即為點(diǎn)A到平面CDEF的距離. 平面AED,平面AED, . 又平面CDEF. AK的長即為點(diǎn)B到平面CDEF的距離. 在RtADE中 點(diǎn)B到平面CDEF的距離為. (3)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD C(,E(0,0,1), -1,1),設(shè)平面BCF的法向量n=(x,y,z), 由 得n. 設(shè)直線CE與平面BCF所成的角為 則sin. 所以直線CE與平面BCF所成角的正弦值為. 14.(2020福建廈門月考)如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BECF且AD=. (1)求證:AE平面DCF; (2)設(shè)當(dāng)取何值時(shí),二面角AEFC的大小為? 【解】 (1)證明:四邊形ABCD是矩形,ABDC. 又BE 平面ABE平面DCF. 又平面ABE,AE平面DCF. (2)過點(diǎn)E作交CF于點(diǎn)G, 由已知可得:EGBCAD,且EG=BC=AD, .又EF=2,GF=1. 四邊形ABCD是矩形,. . 又平面平面BEFC,平面平面BEFC=BC,平面ABCD. 以C為原點(diǎn),CB 設(shè)BE=m,由得. F(0,0,m+1), . 設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z), 由n=0, n=0,得 令可得平面AEF的一個(gè)法向量n. 又是平面CEF的一個(gè)法向量, cos即. 解得 當(dāng)時(shí),二面角AEFC的大小為.