數(shù)學(xué)第七章 不等式 第三節(jié) 二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題 文

第三節(jié)二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題總綱目錄教材研讀1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域考點(diǎn)突破2.線性規(guī)劃的有關(guān)概念考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)的最值與范圍問題考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)的最值與范圍問題考點(diǎn)一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線.當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax+By+C0所表示的平面區(qū)域時(shí),此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線,則把邊界直線畫成實(shí)線.對于直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn),把其坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得教材研讀教材研讀到實(shí)數(shù)的符號都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0,y0),由Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0(或0,對于A,當(dāng)x=-3,y=4時(shí),-9+8+50,故滿足題意.同理,B、C、D均不滿足題意,故選A.A2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若點(diǎn)P(x,y)在線段AB上,則2x-y的最大值為()A.-1B.3C.7D.8C答案答案C點(diǎn)P(x,y)在線段AB上且A(2,5),B(4,1),如圖:設(shè)z=2x-y,則y=2x-z,當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過點(diǎn)B(4,1)時(shí),z取得最大值,最大值為24-1=7.3.(2017北京東城二模)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為()A.1B.2C.4D.80,2,xxyxyA答案A作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分.由得A(1,1).故所求面積S=21=1.故選A.,2yxxy124.(2016北京海淀一模)若x,y滿足則z=x+y的最大值為( )A.B.3C.D.420,40,0,xyxyy125272C答案答案C畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.將目標(biāo)函數(shù)z=x+y變形為y=-x+z.先畫出l0:y=-x.將l0向上平移至經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)z有最大值,聯(lián)立得A(1,3).故zmax=1+3=.12121220,40,xyxy12725.(2016北京海淀期末)若點(diǎn)(2,-3)不在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-,0)B.(-1,+)C.(0,+)D.(-,-1)0,20,10 xyxyaxy B答案答案B畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.因?yàn)辄c(diǎn)(2,-3)不在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),則點(diǎn)(2,-3)在直線ax-y-1=0的下方,故-3-1.0,20,10 xyxyaxy 典例典例1(1)(2017北京西城二模)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組表示的平面區(qū)域的面積是()A.B.C.2D.2(2)(2016北京朝陽二模)已知關(guān)于x,y的不等式組所表示的平面區(qū)域D為三角形,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.30,320,0 xyxyy32330,2,2xyxxyxyk考點(diǎn)一二元一次不等式考點(diǎn)一二元一次不等式(組組)表示的平面區(qū)域表示的平面區(qū)域考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破答案答案(1)B(2)(-,-20,1)解析解析(1)作出可行域,如圖所示.易知B(-2,0),由得故A(1,).SAOB=2=.30,320 xyxy1,3,xy31233故選B.(2)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中AOB及其內(nèi)部.2x-y=k可化為y=2x-k.當(dāng)k=0時(shí),區(qū)域D為三角形,符合題意.0,2xyxxy當(dāng)k0時(shí),將y=2x向下平移,直到經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)時(shí),區(qū)域D由三角形縮為一個(gè)點(diǎn)B,將B(1,1)代入y=2x-k得k=1.若要滿足題意,則0k1.當(dāng)k或時(shí),邊界應(yīng)畫為虛線,特殊點(diǎn)常取原點(diǎn).1-1(2016北京順義一模)在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組(a為常數(shù))表示的區(qū)域面積為3,則a的值為()A.-5B.-2C.2D.510,10,10 xyxaxy D答案答案D不等式組(a為常數(shù))表示的區(qū)域如圖所示.由題意知陰影部分的面積等于3,AC=6.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,6).代入ax-y+1=0得a-6+1=0,解得a=5.故選D.10,10,10 xyxaxy 1-2(2018北京西城高三期末)已知點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)滿足條件設(shè)O為原點(diǎn),則|OM|的最小值是.10,10,10.xxyxy 答案答案22解析解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖,由題意知,原點(diǎn)到直線x+y-1=0的距離就是|OM|的最小值,由點(diǎn)到直線的距離公式,得|OM|min=.122222典例典例2(1)(2016北京西城二模)設(shè)x,y滿足約束條件則z=x+3y的最大值是()A.B.C.-D.1(2)(2015北京豐臺一模)若變量x,y滿足約束條件則z=x+2y的最大值是.2 ,1,10,yxxyy 43731320,20,40,xxyxy考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)的最值與范圍問題考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)的最值與范圍問題命題角度一轉(zhuǎn)化為截距命題角度一轉(zhuǎn)化為截距答案答案(1)B(2)6解析解析(1)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.畫出l0:x+3y=0.將l0向上平移至經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)z最大.由解得A.zmax=+3=.(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域(圖略),易知當(dāng)z=x+2y經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(2,2)時(shí),z取得最大值,即zmax=2+22=6.1,2 ,xyyx1,32,3xy1 2,3 3132373典例典例3(2017北京海淀一模)若x,y滿足則的最大值是.240,20,1,xyxyxyx命題角度二轉(zhuǎn)化為斜率命題角度二轉(zhuǎn)化為斜率答案答案3232解析解析作出可行域,如圖中陰影部分所示.表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(0,0)的連線的斜率,易得直線AO斜率最大,由解得A.=.yx1,240,xxy31,2maxyx32典例典例4(2017北京西城一模)實(shí)數(shù)x,y滿足則x2+y2的最大值是,最小值是.1,2,220,xyxy命題角度三轉(zhuǎn)化為距離命題角度三轉(zhuǎn)化為距離答案答案5;45解析解析作出可行域,如圖中陰影部分所示.x2+y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)距離的平方.連接OC.易得線段CO最長,C(1,2),CO=,(x2+y2)max=5.過點(diǎn)O作直線2x+y-2=0的垂線,垂足為D,易得線段OD最短,由SOAB=12=ODOD=.(x2+y2)min=.5121252 5522 5545典例典例5(2016北京西城期末)設(shè)x,y滿足約束條件若z=x+3y的最大值與最小值的差為7,則實(shí)數(shù)m=()A.B.-C.D.-1,3,yxxyym32321414命題角度四含參問題命題角度四含參問題答案答案CC解析解析由約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示,聯(lián)立解得A(1,2),聯(lián)立解得B(m-1,m),化z=x+3y,得y=-+.由圖可知,當(dāng)直線y=-+過點(diǎn)A時(shí),z有最大值,為7,當(dāng)直線y=-+過點(diǎn)B時(shí),z有最小值,為4m-1,由題意得7-(4m-1)=7,解得m=.1,3,yxxyym1,3,yxxy,1,ymyx3x3z3x3z3x3z14故選C. 1.線性規(guī)劃問題的解題步驟(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條直線;(2)平移將直線平行移動(dòng),以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點(diǎn)的位置;(3)求值解方程組求出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解),代入目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.方法技巧方法技巧2.常見代數(shù)式的幾何意義(1)表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)的距離;(2)表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)之間的距離;(3)表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率;(4)表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)連線的斜率.22xy22()()xaybyxybxa2-1(2015北京西城二模)已知x,y滿足若z=x+my的最大值為,則實(shí)數(shù)m=.,2 ,1,yxyxxy53答案答案22解析解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域,可知該區(qū)域是以點(diǎn)(0,0),為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界),顯然m0,1,當(dāng)-1,即0m1,不符合題意;當(dāng)-1-1時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=x+my在點(diǎn)處取得最大值,則有=+m,解得m=2,符合題意;當(dāng)-1,即-1m0,不符合題意;當(dāng)0-1,即m-1時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=x+my在點(diǎn)(0,0)處取得最大值,且zmax=0,不符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)m的值為2.1 1,2 21 2,3 31m1 1,2 2531212731m1 2,3 35313231m1 1,2 2531212731m典例典例6(2016北京西城一模)在某校冬季長跑活動(dòng)中,學(xué)校要給獲得一、二等獎(jiǎng)的學(xué)生購買獎(jiǎng)品,要求花費(fèi)總額不得超過200元.已知一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別為20元、10元,一等獎(jiǎng)人數(shù)與二等獎(jiǎng)人數(shù)的比值不得高于,且獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)不能少于2人,那么下列說法中錯(cuò)誤的是()A.最多可以購買4份一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品B.最多可以購買16份二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品C.購買獎(jiǎng)品至少要花費(fèi)100元D.共有20種不同的購買獎(jiǎng)品方案13考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用D答案答案D解析設(shè)一等獎(jiǎng)人數(shù)為x,二等獎(jiǎng)人數(shù)為y,由題意有即如圖,陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)即為可行解.2010200,x1,y32,N,N,xyxxy220,x1,y32,N,N,xyxxy易得A(4,12),B(2,6),C(2,16),由平面區(qū)域知2x4,6y16.故最多可以購買4份一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品,最多可以購買16份二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品.設(shè)目標(biāo)函數(shù)為z=20 x+10y,經(jīng)過點(diǎn)B(2,6)時(shí)z有最小值,zmin=202+610=100,故購買獎(jiǎng)品至少花費(fèi)100元.綜上A,B,C正確.而該平面區(qū)域內(nèi)有整數(shù)點(diǎn)18個(gè):(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,10),(2,11),(2,12),(2,13),(2,14),(2,15),(2,16),(3,9),(3,10),(3,11),(3,12),(3,13),(3,14),(4,12),故共有18種不同的購買獎(jiǎng)品方案.D錯(cuò)誤.方法技巧方法技巧解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟(1)分析題意,設(shè)出未知量;(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù);(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解;(4)作答.3-1(2015北京西城一模)某賽事組委會(huì)要為獲獎(jiǎng)?wù)哂嗁從彻に嚻纷鳛楠?jiǎng)品,其中一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品3件,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品6件,制作一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品所用原料完全相同,但工藝不同,故價(jià)格有所差異,現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠可以制作獎(jiǎng)品(一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品均符合要求),甲廠收費(fèi)便宜,但原料有限,最多只能制作4件獎(jiǎng)品,乙廠原料充足,但收費(fèi)較貴,甲、乙兩廠的具體收費(fèi)情況如下表:獎(jiǎng)品工廠收費(fèi)(元/件)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)甲500400乙800600則組委會(huì)定購該工藝品的費(fèi)用總和最低為元.4900解析解析設(shè)向甲廠訂購一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品x件,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品y件,其中x,yN,則向乙廠訂購一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品(3-x)件,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品(6-y)件,則x,y滿足設(shè)費(fèi)用總和為z元,則z=500 x+400y+800(3-x)+600(6-y),即z=-300 x-200y+6000,作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.由圖可知直線z=-300 x-200y+6000過點(diǎn)A時(shí),z取最小值.由得即A(3,1),4,30,60,N,xyxyx y3,4xxy3,1,xy答案答案4900所以zmin=-3003-2001+6000=4900,所以組委會(huì)訂購該工藝品的費(fèi)用總和最低為4900元.