2020版《名師導學》高考文科數(shù)學新課標總復習練習：第四章 第29講 平面向量的數(shù)量積 Word版含解析

第29講平面向量的數(shù)量積夯實基礎【P67】【學習目標】1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算4能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角及判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系5會用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題【基礎檢測】1. 在四邊形abcd中，ABBc=o,且AB=DC,則四邊形abcd是()A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形【解析】在四邊形ABCD中，vABBC=O,AB丄BC,vAB=DC,/.AB綊DC,四邊形ABCD是矩形.故選C.【答案】CL2. 已知向量a=(1,2),b=(t,2詁2),若向量b在a方向上的投影為岑3則實數(shù)t=()A.1B.1C.3D.5【解析】根據(jù)一個向量在另一個向量方向上的投影的定義,a*htr4可得百=33,解得t=-1,故選A.【答案】A3. 已知a,b,c都是單位向量，且a+b=c,則ac的值為.【解析】由a+b=c得ac=b,兩邊平方得a22a*c+c2=(b)2,又a,b,c都是單位向量，所以有12ac+1=1,所以a-c=2【答案】14. 已知向量a,b滿足lal=lbl=2且(a+2b)(ab)=2,則向量a與b的夾角為.【解析】設a與b的夾角為6.依題意得a22b2+a*b=2,48+4cos6=2,cos6=2>nn又6丘0,n,因此6=3，即向量a與b的夾角為3.【答案】3【知識要點】1兩向量的夾角已知非零向量a,，作OA=a,OB=b，貝VZAOB叫作a與b的夾角.a與b的夾角的取值范圍是0,n.當a與b同向時，它們的夾角為_0；當a與b反向時，它們的夾角為n；當夾角為90°時，我們說a與b垂直，記作alb.2. 向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，我們把lallblcos8叫作a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab,即ab=lallblcos8.規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0,即a=0.3. 向量數(shù)量積的幾何意義向量的投影：lalcos8叫作向量a在b方向上的投影，當8為銳角時，它是正值；當8為鈍角時，它是負值：當0為直角時，它是零.ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度lal與b在a方向上的投影l(fā)blcos8的乘積.4. 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2,y2），8為向量a，b的夾角.11，'22結(jié)論22/-幾何表示坐標表示模lal=ja*alal=x?+y?數(shù)量積ab=lallblcos8111ab=x1x2+y1y2夾角abcos8=lallbl1212x.Xc土y衛(wèi)cos8=a丄b的充要條件ab=0abl與lallbl的關(guān)系lablWlallbl（當且僅當ab時等號成立）寸x1+yfJ|+y25.平面向量數(shù)量積的運算律ab=ba.(2)(Aa)b=(ab)=a(Ab)(AwR).(3)(a+b)c=ac+bc.典例剖析p68】考點1數(shù)量積的運算例1(1)已知向量a=(3,1),b=(1,m),a(a2b)=0,則m=()A.2B.1C.1D.2【解析】根據(jù)向量的坐標運算，代入坐標得(3,1)(3,1)2(1,m)=0,3+1+2m=0,解得m=2,所以選A.【答案】A(2)已知四邊形ABCD為平行四邊形，lABl=6,lADl=4,若點M,N滿足BM=3MC,DN=2NC,貝yAMNM等于()A.20B.15C.9D.6【解析Am=Ab+4aD,NM=CMCN=4aD+|Ab,:.AmNm=4(4Ab+3ad)1(4aB-3aD)=418(16AB2-9AD2)=418(16X62-9X42)=9，故選C.【答案】C(3)已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點，則DECB的值為；DEDC的最大值為.【解析】以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，設E(t,0),te0,1,則DE=(t,i),CB=(o,-i),所以DECB=(t,i)(o,i)=i.因為DC=(i,o),所以DEDC=(t,i)(i,o)=twi,故DEDC的最大值為1.【答案】ii【小結(jié)】(i)求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義(2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時，可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡再運算，但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補考點2向量的模與夾角例2(1)已知向量m與n滿足lml=1,lnl=2,且m丄(m+n),則向量m與n的夾角為.【解析】設m,n的夾角為6,因為m丄(m+n),所以m(m+n)=m2+mn=1+1X2cos6=0,所以cos6=2，又0W6Wn所以6=120°.【答案】i20°(2) 已知向量a,b都是單位向量，且ab=2，則12abl的值為.【解析】12abl=；(2ab)2=l4a24ab+b2=42+1=3.【答案】邁(3) 在平面直角坐標系中，O為原點，A(1,0),B(0,；3),C(3,0),動點D滿足lCDl=i,貝UlOA+OB+ODl的最大值是.【解析】設D(x,y),由CD=(x3,y)及l(fā)CDl=1知(x3)2+y2=1,即動點D的軌跡是以點C為圓心的單位圓又OA+OB+OD=(1,0)+(0,<3)+(x,y)=(x1,y+V5),()A+(Ob+(Od=(X-1)2+(y+3)2.問題轉(zhuǎn)化為圓(x3)2+y2=l上的點與點P(l,V3)之間距離的最大值.圓心C(3,0)與點p(1,鳥)之間的距離為；(31)2十(0+/3)2=./7,故(x1)2+(y+；3)2的最大值為''7+1.【答案】曲+1【小結(jié)】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，可以求向量的模、夾角.(2)求向量模的最值(范圍)的方法：代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解.考點3平面向量的垂直2n例3(1)已知e1與e2為兩個夾角為三的單位向量，a=e12e2b=ke1+e2.若ab=0,則實數(shù)k的值為.2n【解析】因為e1與e2為兩個夾角為可的單位向量，a=e12e2b=ke1+e2,ab=0,所以©2e?)(ke1+e2)=ke22e2+(12k)e1e2=2k2=0,JL厶JL厶JL厶JL厶所以k=5.【答案】5(2)已知向量AB,AC的夾角為120°,ab=5,AC=2,AP=AB+2AC.若AP丄BC,則2=【解析】向量AP丄BC，貝UAPBC=0,即(AB+AAC)(ACAB)=0,整理可得一Afc+(1久)AB.Ac+aac2=o,其中AB2=25,AC=5X2Xcos120。=5,AC2=4,據(jù)此有：一25+(12)X(5)+AX4=0,解得久=屮.【答案】罟【小結(jié)】平面向量的垂直關(guān)系利用向量數(shù)量積等于零，但要靈活選擇數(shù)量積的形式,n=(sinx,cosx),xW(0,J.【能力提升】例4在平面直角坐標系xOy中，已知向量m=(¥，若m丄"，求tanx的值；n(2)若m與n的夾角為3，求x的值.【解析】因為m=(號,n=(sinx,cosx),m丄n.22所以mn=0,即亍sinx"cosx=0,所以sinx=cosx,所以tanx=1.n1(2)因為lml=lnl=1,所以mn=cos3=2,