高三數(shù)學(xué)第二篇 數(shù)學(xué)思想 二 數(shù)形結(jié)合思想 文

二、數(shù)形結(jié)合思想二、數(shù)形結(jié)合思想思想解讀思想解讀思想解讀思想解讀應(yīng)用類型應(yīng)用類型數(shù)形結(jié)合思想,就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面:(1)“以形助數(shù)”,把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化,能夠變抽象思維為形象思維,提示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);(2)“以數(shù)定形”,把直觀圖形數(shù)量化,使形更加精確.1.構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍或解不等式.2.構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根或函數(shù)的零點(diǎn)的范圍.3.構(gòu)建解析幾何模型求最值或范圍.4.構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系.總綱目錄應(yīng)用一 解決方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)問題應(yīng)用二 求解不等式或參數(shù)問題應(yīng)用三 解決最值問題應(yīng)用一應(yīng)用一 解決方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)問題解決方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)問題例例已知直線(1-m)x+(3m+1)y-4=0所過定點(diǎn)恰好落在函數(shù)f(x)=的圖象上,若函數(shù)h(x)=f(x)-mx+2有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.B.log,03(01),|4|,3axxaaxx且1,21,12C.D.(1,+)1,12解析解析由(1-m)x+(3m+1)y-4=0,得x+y-4-m(x-3y)=0,由可得直線過定點(diǎn)(3,1),loga3=1,a=3.令f(x)-mx+2=0,得f(x)=mx-2,在同一坐標(biāo)系中作出y=f(x)與y=mx-2的圖象,易得m0時(shí),f(x)=lnx-x+1,則函數(shù)g(x)=f(x)-ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案答案C當(dāng)x0時(shí),f(x)=lnx-x+1,則f(x)=-1=,所以x(0,1)時(shí),f(x)0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;x(1,+)時(shí),f(x)0時(shí),f(x)max=f(1)=ln1-1+1=0.根據(jù)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)作出函數(shù)y=f(x)與y=ex的大致圖象,如圖,觀察到函數(shù)y=f(x)與y=ex的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)g(x)=f(x)-ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有2個(gè)零點(diǎn).故選C.1x1xx2.(2017廣東惠州第三次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=其中m0.若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是.2|,24 ,x xmxmxm xm答案答案(3,+)解析解析 f(x)的大致圖象如圖所示,若存在bR,使得方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,只需4m-m20,所以m3.應(yīng)用二應(yīng)用二 求解不等式或參數(shù)問題求解不等式或參數(shù)問題例例設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)0的解集是.答案答案(-,-3)(0,3)解析解析設(shè)F(x)=f(x)g(x),因?yàn)閒(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),所以F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上為奇函數(shù).又當(dāng)x0,所以x0時(shí),F(x)也是增函數(shù).因?yàn)镕(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).所以,由圖可知F(x)0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得APB=90,則m的最大值為()A.7B.6C.5D.4答案答案B根據(jù)題意,畫出示意圖,如圖所示,連接OP,易知|OP|=|AB|=m.要求m的最大值,即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離.因?yàn)閨OC|=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值為6.1222343.已知P是直線l:3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A,B是切點(diǎn),C是圓心,則四邊形PACB的面積的最小值為.解析解析x2+y2-2x-2y+1=0,(x-1)2+(y-1)2=1,C(1,1).當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x+4y+8=0向左上方或右下方無窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí),直角三角形PAC的面積SRtPAC=|PA|AC|=|PA|越來越大,直角三角形PBC的面積SRtPBC=|PB|BC|=|PB|越來越大,從而S四邊形PACB也越來越大;當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí),S四邊形PACB變小,顯然,CP垂直于直線l時(shí),S四邊形PACB取得最小值,12121212答案答案22此時(shí)|PC|=3,從而|PA|=2.所以(S四邊形PACB)min=2.22|3 14 18|34 22|PCAC22