2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第三講 活力的韋達定理

2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座第三講活力的韋達定理一元二次方程的根與系數(shù)的關系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16世紀法國最杰出的數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)的韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學內容，應用廣泛，主要體現(xiàn)在：運用韋達定理，求方程中參數(shù)的值；運用韋達定理，求代數(shù)式的值；利用韋達定理并結合根的判別式，討論根的符號特征；利用韋達定理逆定理，構造一元二次方程輔助解題等韋達定理具有對稱性，設而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路韋達定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結合，生成豐富多彩的數(shù)學問題，而解這類問題常用到對稱分析、構造等數(shù)學思想方法【例題求解】【例1】已知、是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為.思路點撥所求代數(shù)式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉化為(例【例2】如果、都是質數(shù)，且，那么的值為()A.B.或2C.D.或2思路點撥可將兩個等式相減，得到、的關系，由于兩個等式結構相同，可視、為方程的兩實根，這樣就為根與系數(shù)關系的應用創(chuàng)造了條件注：應用韋達定理的代數(shù)式的值，一般是關于、的對稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：(1) 恰當組合；(2) 根據(jù)根的定義降次；(3) 構造對稱式【例3】已知關于的方程：(1) 求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根.(2) 若這個方程的兩個實根、滿足，求m的值及相應的、.思路點撥對于(2)，先判定、的符號特征，并從分類討論入手【例4】設、是方程的兩個實數(shù)根，當m為何值時，有最小值?并求出這個最小值.思路點撥利用根與系數(shù)關系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應注意本例是在一定約束條件下(三。)進行的.注：應用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應用韋達定理解題時，須滿足判別式420這一條件，轉化是一種重要的數(shù)學思想方法，但要注意轉化前后問題的等價性【例5】已知：四邊形ABCD中，ABCD，且AB、CD的長是關于的方程的兩個根.(1)當m=2和m>2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由.若M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P，Q，PQ=1,且ABCD,求AB、CD的長.(xx年哈爾濱市中考題)思路點撥對于(2),易建立含AC、BD及m的關系式，要求出m值，還需運用與中點相關知識找尋CD、AB的另一隱含關系式.注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時，往往通過韋達定理、幾何性質將幾何問題從“形”向“數(shù)”(方程)轉化，既要注意通過根的判別式的檢驗，又要考慮幾何量的非負性學歷訓練1(1)已知和為一元二次方程的兩個實根，并和滿足不等式，則實數(shù)取值范圍是(2)已知關于的一元二次方程有兩個負數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍.2. 已知、是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為.3. CD是RtAABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則ABC的面積是.4. 設、是關于的方程的兩根，+1、+1是關于的方程的兩根，貝X的值分別等于()A1，-3B1，3C-1，-3D-1，35. 在RtAABC中，ZC=90°,a、b、c分別是ZA、ZB、ZC的對邊，a、b是關于的方程的兩根，那么AB邊上的中線長是()A.B.C.5D.26. 方程恰有兩個正整數(shù)根、，則的值是()A.1B.-lC.D.7.若關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足關系式：x(x+1)+乂2(乂2+1)=(x+1)(乂2+1)，判斷是否正確?8. 已知關于的方程.(1) 當是為何值時，此方程有實數(shù)根；(2) 若此方程的兩個實數(shù)根、滿足：，求的值.9. 已知方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個方程兩根為.10. 已知、是方程的兩個根，則的值為11. AABC的一邊長為5,另兩邊長恰為方程的兩根，則m的取值范圍是.12. 兩個質數(shù)、恰好是整系數(shù)方程的兩個根，則的值是()A9413BCD13設方程有一個正根，一個負根，則以、為根的一元二次方程為()ABCD14. 如果方程的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)m的取值范圍是()A.0WmW1B.m2C.D.WmWl15. 如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的長為10,且AB、BC(ABBC)的長是關于的方程的兩個根(1)求rn的值；(2)若E是AB上的一點，CF丄DE于F,求BE為何值時，ACEF的面積是厶CED的面積的,請說明理由16.設m是不小于的實數(shù)，使得關于的方程工x2+2（m一2）x+m2-3m+D實數(shù)根、.c(1) 若，求m的值.(2) 求的最大值./17. 如圖，已知在厶ABC中，ZACB=90°,過C作CD丄AB于D,且AD么，BD=n，AC2：BC2=2：1；又關于x的方程兩實數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、呼的值第7?)18. 設、為三個不同的實數(shù)，使得方程和和有一個相同的實數(shù)根，并且使方程和也有一個相同的實數(shù)根，試求的值參考答案充滿活力的韋達定理【例題求解】例10原式=a+1p2a=l(a+p)=l1=0例2選B當a=b時，原式=2,當a工bg、b為方程x213x+m=0的兩個根p+b=13<、b只能為2或11原式=夢+2_1258n22*例3(1)4=2(加一1)2+2>0(2)xix2=-<0,則gMO口2$0,或 若工1£0,工2豪0,則忌=4+2,x+垃=2,:52=2、得皿=4,無=1士岳； 若4$0,工2=0,則一乜=Q+2,.勸+可=2,加一2=2,得加=0,工】=0,工2=2.9例4由=(一4加尸一4X2X(2砒2+3加一2)0,得加£手4+Z2=2加，X!X2=如礙必-.42+乜2=(zt+乂2)2一2Z1工2=2(孕)2+$.匕.'4o當Zrt-y時心+z異取得最小值，且最小值為尋.例5(1當771=2時，zl=0.AB上CD,故四邊形ABCD是平行四邊形.當m>2時,=一20,乂AB+CD=2mT17ABCD=(加一豆嚴+忑>0,.ABHCD,而ABCD,故四邊形ABCD是梯形.(2)PQ=-DC-ABi=l,：.DC-AB=2ELj(DCAB)2=(DC+ABF4DCABA22=(2m)2-4(m2-,n+2)得也=3,從而AB=2,CD=4.【學力訓練】I. (1)(2)m>72.33.64.C5.B6.CX|X2=1997,X|=1,x2=1997,p=<x(+jt2)=1998.7.由條件得(q+j*2)234工2一1=0(a+6)2=4a6+l又zl=9(a十6)24X3X4aZ»aOa-b)1'ab,即4a6+12乎a64a63從而4ab+lW4.即a+6)'W4.&(1WW齋；(2)由心比=疋+1>0知x,、兀同號，分4>0,花>0及q<0、Z2<0情況討論，得上=0.9.30,210.5設A=J+3/?,B=F+3a,由A+B=10及AB=0,得A=5.II. 弓SM18設另兩邊為6,c.則由bc=y(64-c)2-4Ac<5及Q0,解得y<m<18.12. B/»+g=99.p、q為2,97,m=pg=94.13.C($0(44jw0o14. C設三根為1,心，業(yè)則|耳一衛(wèi)1<1，由得，解得4<W<11(4一比2=1l4-4m>l415. (l)w=8；(2)AB=8,BC=6,由評竺=£,得DE=3EF又厶DAECFD,得語=器,AE=D；JE=籍設亦=$,則dF=人廳+AF=36+",.“二即b_i2y+36=0,解得y=6,故BE=2.16=4刃+4>0,得刃<1，結合題設知：一1=加VI.(1)乳+j亦=(r+x,)?-2x.x.,=2mz-10m+10=6.解得巾=5土岡川千一1VmLi一場e=，把代入得”W2.4n2-mz-8n+4<0,當加=一1時，佇-+罟二的最大值為10.1XLX2"y-，即m2n(D,A=4nzm28"+16>0又丁1+x28(?jl),X|jr2=4(n?212),由(4Xi)J<19z,得把代入，得y<«2,.”=1,2,從而得zn=2或4.18設x?+ajri+l=O,«rf+處1+c=0,得=討*同理，由卅+衛(wèi)+a=（hxf+“2+6=0,得攵2=±7（cH1）故竝=*另一方面由韋達定理知+是第一個方程的根，這就表明孔是方程x2+«t+1=0和F+工+=0的公共根.因此兩式相減有（。一1）（工21）=0,但當a=l時，這兩個方程無實根，故jt2=1»從而jti=1于是a=2,b+c=1,所以,«+6+c=3,