2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十七講 解直角三角形

2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座第十七講解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一條是邊)求得其余元素的過程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下兩方面的應用：1為線段、角的計算提供新的途徑解直角三角形的基礎是三角函數(shù)的概念，三角函數(shù)使直角三角形的邊與角得以轉化，突破純粹幾何關系的局限2解實際問題測量、航行、工程技術等生活生產(chǎn)的實際問題，許多問題可轉化為解直角三角形獲解解決問題的關鍵是在理解有關名詞的意義的基礎上，準確把實際問題抽象為幾何圖形，進而轉化為解直角三角形【例題求解】【例1】如圖，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45°,ZA=60°,CD=4m,BC=()m,則電線桿AB的長為.思路點撥延長AD交BC于E,作DF丄BC于F,為解直角三角形創(chuàng)造條件.【例2】()如圖，在四邊形ABCD中，AB=,BC-1,CD=,A.60°B.67.5°C.75°D.無法確定思路點撥通過對內(nèi)分割或向外補形,構造直角三角形注：因直角三角形元素之間有很多關系,故用已知元素與未知元素的途徑常不惟一,選擇怎樣的途徑最有效、最合理呢？請記住：有斜用弦,無斜用切,寧乘勿除.在沒有直角的條件下,常通過作垂線構造直角三角形；在解由多個直角三角形組合而成的問題時,往往先解已具備條件的直角三角形,使得求解的直角三角形最終可解.【例3】如圖，在ABC中，Z=90°,ZBAC=30°,BC=l,D為BC邊上一點，tanZADC是方程的一個較大的根?求CD的長.思路點撥解方程求出tanZADC的值，解RtAABC求出AC值，為解RtAADC創(chuàng)造條件.【例4】如圖，自卸車車廂的一個側面是矩形ABCD,AB=3米，BC=O.5米，車廂底部距離地面1.2米，卸貨時，車廂傾斜的角度0=60°.問此時車廂的最高點A距離地面多少米？（精確到1米）思路點撥作輔助線將問題轉化為解直角三角形，怎樣作輔助線構造基本圖形，展開空間想象，就能得到不同的解題尋路d【例5】如圖，甲樓樓高16米，乙樓坐落在甲樓的正北面，已知當?shù)囟林形?2時太陽光線與水平面的夾角為30°，此時，求：（1）如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高?（2）如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應當是多少米?思路點撥（1）設甲樓最高處A點的影子落在乙樓的C處，則圖中CD的長度就是甲樓的影子在乙樓上的高；（2）設點A的影子落在地面上某一點C,求BC即可.注：在解決一個數(shù)學問題后，不能只滿足求出問題的答案，同時還應對解題過程進行多方面分析和考察，思考一下有沒有多種解題途徑，每種途徑各有什么優(yōu)點與缺陷，哪一條途徑更合理、更簡捷，從中又能給我們帶來怎樣的啟迪等.若能養(yǎng)成這種良好的思考問題的習慣，則可逐步培養(yǎng)和提高我們分析探索能力.學歷訓練1. 如圖，在ABC中，ZA=30°,tanB=，BC=，則AB的長為2. 如圖，在矩形ABCD中.E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，若tanZAEH=四邊形EFGH的周長為40cm，則矩形ABCD的面積為.3. 如圖，旗桿AB,在C處測得旗桿頂A的仰角為30°，向旗桿前北進10m，達到D,在D處測得A的仰角為45°，則旗桿的高為.4. 上午9時，一條船從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，9時30分到達B處，從A、B兩處分別測得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么B處船與小島M的距離為()A.20海里B.20海里C.海里D.5. 已知a、b、c分別為ABC中ZA、ZB、ZC的對邊，若關于的方程有兩個相等的實根，且sinBcosAcosBsinA=0,則厶ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形6. 如圖，在四邊形ABCD中，ZA=135°,ZB二ZD=90°,BC=，AD=2，則四邊形ABCD的面積是()ABC4D67. 如圖，在ABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,CD=1，已知AD、BD的長是關于的方程的兩根，且tanAtanB=2，求、的值.C8如圖，某電信部門計劃修建一條連結B、C兩地的電纜，8測量人員在山腳A點測得B、C兩地的仰角分別為30°、45°,在B地測得C地的仰角為60°.已知C地比A地高200米,則電纜BC至少長多少米？(精確到0.1米)9. 如圖，在等腰RtAABC中，ZC=90°,ZCBD=30，則=.10. 如圖，正方形ABCD中，N是DC的中點.M是AD上異于D的點，且ZNMB=ZMBC,貝VtanZABM=.11. 在厶ABC中，AB=,BC=2,ABC的面積為l,若ZB是銳角，則ZC的度數(shù)是.12. 已知等腰三角形的三邊長為a、b、c,且，若關于的一元二次方程的兩根之差為，則等腰三角形的一個底角是()A.15°B.30°C.45°D.60°13. 如圖，AABC為等腰直角三角形，若AD=AC,CE=BC，則Z1和Z2的大小關系是()A.Z1>Z2B.Z1<Z2C.Z1=Z2D.無法確定14. 如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點，AE丄AF，點E在CB的延長線上，EF交AB于點G.(1) 求證：DFXFC=BGXEC；(2) 當tanZDAF=時，AAEF的面積為10,問當tanZDAF=時，AAEF的面積是多少？15. 在一個三角形中，有一邊邊長為16，這條邊上的中線和高線長度分別為10和9，求三角形中此邊所對的角的正切值.16.臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞力.據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現(xiàn)正在以15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C處移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或超過四級，則稱為受臺風影響.(1) 該城市是否會受到這次臺風的影響?請說明理由.(2) 若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續(xù)時間有多長?(3) 該城市受到臺風影響的最大風力為幾級?17.如圖，山上有一座鐵塔，山腳下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周圍沒有開闊平整地帶.該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測得，從A、D、C三點可看到塔頂端H.可供使用的測量工具有皮尺、測角器.(1)請你根據(jù)現(xiàn)有條件,充分利用矩形建筑物，設計一個測量塔頂端到地面高度HG的方案.具體要求如下： 測量數(shù)據(jù)盡可能少； 在所給圖形上，畫出你設計的測量平面圖，并將應測數(shù)據(jù)標記在圖形上(如果測A、D間距離，用m表示；如果測D、C間距離，用n表示；如果測角，用a、B、Y等表示.測角器高度不計）（2）根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算塔頂端到地面的高度HG（用字母表示）.參考答案回解賣角三角形【例題求解】CF=DF=22,EF=DFtan60°=2BEtan30°,AB=6&5.選B過A作AE丄CD于E,過B作BF丄AE于F.解方程得卄7=尋心+=一1舍去），進而得z=4+/J,CD=cotZADCAC=cotZADCcot30°BC=為如=墮嚴.本例解法甚多，以下解法僅供參考，過點A作AE丄CE于E,交CD于F,則AF=ADtan60°=于是A點離地面的高度為1+得3尋+1.24（米）.cT»q|（1）EC=20米，AE=ECtanZACE11.6米，CD=EB=AB-AE=4.4（米）（2）BC=ABcotZACB27.7（米）【學力訓練】1.3+VT2.1923.(5+5拇)m4.B5.D6.CCDpnCD7.ADBD=CD!=l,igA-tgB=jg-g=y(BD-AD)=BD-AD=2t(JBD+AD)2=<BD-AD)i+4BD*AD=8,.*.BD+AD=2V2-p=AD+BD=22,qADBD=1.即p=-2雄,g=l.8. 作CH丄AD于H,BP丄AH于P,BE丄CH于E,設BC=h.則BE=yx,CE-MH-=200,AP=200-yx.BP=200一嚕h,由200亨工=(200-*工)普*得=*146.4(米).9. V3-110.y延長MN,BC交于T.11.30°12.B6=辰13.C過E作EF丄AB于F,計算tgZl.15.tgZ2.（1）先證RtAAFDRtAAEB,得DF=BE,再證RtAEBGRtAECF,AOFFC=BGEC.（2）當tgZDAF=£時，設DF=x.則AD=3jr,AF=/Kr，由SA4£f=yAEAF=2=10,得_r=d，AD=3Q，當oitgZDAf=時,DF=2V2AF=念,Saaeph2AFz=13.如圖，在ABC中，設AB=cAC=b,BC=16,中線AM和高線AD分別為10和9，ZBAC=a，ZAMC=0,從而ZAMB=180°-0,由題意得fbz+<?-2feccosa16zt<解得尿cosa=36,又由6csina=9X8»得處sirur=144,12（護+疋）=16?+202,2沁=4.cos«如圖，由點A作AD丄BC,垂足為D.VAB=220,/B=30°,/.AD=110（千米）由題意，當A點距臺風中心不超過160千米時，將會受到臺風的影響，故該城市會受到這次臺風的影響.由題意，當A點距臺風中心不超過160千米時，將會受到臺風的影響，則AE=AF=160,當臺風中心從E處移到F處時,該城市都會受到這次臺風的影響.由勾股定理得；DE=/AE5T7ADr=71602-1102=7270X50=30/15.Z.EF=60vT5（千米）該臺風中心以15千米/時的速度移動，:.這次臺風影響該城市的持續(xù)時間為駕絆=4v/B（小時）.故tan«(1)(3)當臺風中心位于D處時,A市所受這次臺風的風力最大，其最大風力為12器17.以下方案僅供參考（測三個數(shù)據(jù)）wcota設HG=jr,CG=HCOtp,DM=(工一Qcota.xcot/3=(jn)cotatcotff*MD