2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十八講 圓的基本性質(zhì)

2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第十八講圓的基本性質(zhì)到定點(diǎn)（圓心）等于定長（半徑）的點(diǎn)的集合叫圓，圓常被人們看成是最完美的事物，圓的圖形在人類進(jìn)程中打下深深的烙印圓的基本性質(zhì)有：一是與圓相關(guān)的基本概念與關(guān)系，如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等；二是圓的對(duì)稱性，圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，又是一中心對(duì)稱圖形用圓的基本性質(zhì)解題應(yīng)注意：1熟練運(yùn)用垂徑定理及推論進(jìn)行計(jì)算和證明；2了解弧的特性及中介作用；3善于促成同圓或等圓中不同名稱等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化熟悉如下基本圖形、基本結(jié)論：例題求解】【例1】在半徑為1的00中，弦AB、AC的長分別為和，則ZBAC度數(shù)為作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同的位置關(guān)系.注：由圓的對(duì)稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個(gè)，它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系，應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識(shí)結(jié)合起來.圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，注意圓的對(duì)稱性，可提高解與圓相關(guān)問題周密性.【例2】如圖，用3個(gè)邊長為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為（）A.B.C.D.思路點(diǎn)撥所作最小圓圓心應(yīng)在對(duì)稱軸上，且最小圓應(yīng)盡可能通過圓形的某些頂點(diǎn)，通過設(shè)未知數(shù)求解.【例3】如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D順次在00上,AB=BD，BM丄AC于M,求證:AM=DC+CM.思路點(diǎn)撥用截長(截AM)或補(bǔ)短(延長DC)證明，將問題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明，證題的關(guān)鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它【例4】如圖甲，00的直徑為AB,分別作直線CD、ED,交直線AB于點(diǎn)F,M.求ZC0A和ZFDM的度數(shù)；(2) 求證：AFOMsA；(3) 如圖乙，若將垂足G改取為半徑0B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D改取在EB上，仍作直線CD、ED,分別交直線AB于點(diǎn)F、M,試判斷：此時(shí)是否有FDMsA?證明你的結(jié)論.思路點(diǎn)撥在RtACOG中，利用OG=OA=OC；(2)證明Z=ZFDM，ZCMO=ZFMD；(3)利用圖甲的啟示思考.注：善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來，認(rèn)識(shí)到圓可為解與直線形問題提供新的解題思路，而在解與圓相關(guān)問題時(shí)常用到直線形的知識(shí)與方法(主要是指全等與相似).【例5】已知：在厶ABC中，AD為ZBAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,交AE于點(diǎn)M,且ZB=ZCAE,EF：FD=4：3.(1) 求證:AF=DF；求ZAED的余弦值；如果BD=10，求ABC的面積.思路點(diǎn)撥(1)證明ZADE=ZDAE；(2)作AN丄BE于N,cosZAED=，設(shè)FE=4x,FD=3x，利用有關(guān)知識(shí)把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示；(3)尋找相似三角形，運(yùn)用比例線段求出x的值.注：本例的解答，需運(yùn)用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識(shí)方法思想，綜合運(yùn)用直線形相關(guān)知識(shí)方法思想是解與圓相關(guān)問題的關(guān)鍵.學(xué)歷訓(xùn)練1.D是半徑為5cm的00內(nèi)一點(diǎn)，且0D=3cm，則過點(diǎn)D的所有弦中，最小弦AB=.2閱讀下面材料：對(duì)于平面圖形A,如果存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這個(gè)圓所覆蓋.對(duì)于平面圖形A,如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋.例如：圖甲中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋回答下列問題：(1) 邊長為lcm的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm；(2) 邊長為lcm的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm；(3) 長為2cm，寬為lcm的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm.3世界上因?yàn)橛辛藞A的圖案，萬物才顯得富有生機(jī)，以下來自現(xiàn)實(shí)生活的圖形中都有圓它們看上去多么美麗與和諧，這正是因?yàn)閳A具有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性(1) 請問以下三個(gè)圖形中是軸對(duì)稱圖形的有，是中心對(duì)稱圖形的有(分別用下面三個(gè)圖的代號(hào)a，b，c填空).徒手畫均可，但要盡可能準(zhǔn)確些，美觀些)(2) 請你在下面的兩個(gè)圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖)(用尺規(guī)畫或a. 是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形.b. 既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形.4. 如圖，AB是00的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距A12cmB10cmC8cm6cmD離之和為()5. 種花邊是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5,弦AB=8,則弓形的高CD為()A2BC3D6. 如圖，在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧ABB、cD、EF?如果AB+CD=EF,那么AB+CD與E的大小關(guān)系是()7. 電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片,叫“晶圓片”.現(xiàn)為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需要長、寬都是1cm的正方形小硅片若干.如果晶圓片的直徑為10.05cm，問：一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張?請說明你的方法和理由(不計(jì)切割損耗)B(第7題)(第8題)8. 如圖，已知GO的兩條半徑OA與OB互相垂直，C為AmB上的一點(diǎn)，且AB2+OB2=BC2,求ZOAC的度數(shù)9. 不過圓心的直線交GO于C、D兩點(diǎn)，AB是GO的直徑，AE丄，垂足為E，BF丄，垂足為F(1) 在下面三個(gè)圓中分別補(bǔ)畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；(2) 請你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程)；(3) 請你選擇(1)中的一個(gè)圖形，證明(2)所得出的結(jié)論10. 以AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓上一點(diǎn)，且OC2=ACXBC，則ZCAB=.11. 如圖，把正三角形ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)A'上，若BC=5，則折痕在厶ABC內(nèi)的部分DE長為.12.如圖，已知AB為00的弦，直徑MN與AB相交于00內(nèi)，MC丄AB于C,ND丄AB于D,若MN=20,AB=,則MCND=.（第11題）（第12題（第13題）13. 如圖，已知00的半徑為R,C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，AC的度數(shù)為96°,BD的度數(shù)為36°，動(dòng)點(diǎn)P在AB上，則CP+PD的最小值為.14. 如圖1,在平面上，給定了半徑為r的圓0,對(duì)于任意點(diǎn)P,在射線0P上取一點(diǎn)P',使得0PX0Pz=r2,這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P'的變換叫作反演變換，點(diǎn)P與點(diǎn)P'叫做互為反演點(diǎn)八、（1）如圖2,00內(nèi)外各有一點(diǎn)A和B,它們的反演點(diǎn)分別為A'和B',求證：ZA，=ZB；（2）如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形,那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形 選擇：如果不經(jīng)過點(diǎn)0的直線與00相交，那么它關(guān)于00的反演圖形是（）A.一個(gè)圓B.條直線C.一條線段D.兩條射線 填空：如果直線與00相切，那么它關(guān)于00的反演圖形是,該圖形與圓0的位置關(guān)系是.15. 如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓0,對(duì)角線AC是直徑，對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)為P,AB=BD，且PC=0.6,求四邊形ABCD的周長.16. 如圖，已知圓內(nèi)接ABC中，AB>AC,D為1BAC的中點(diǎn)，DE丄AB于E,求證：BD2-AD2=AB（第15題）（第16題）17將三塊邊長均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi),則圓碟的直徑至少是多少？（不考慮其他因素，精確到0.1cm）18.如圖，直徑為13的00',經(jīng)過原點(diǎn)0,并且與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段0A、0B（0A>0B）的長分別是方程的兩根.（1）求線段0A、0B的長；已知點(diǎn)C在劣弧0A上，連結(jié)BC交0A于D,當(dāng)0C2=CDXCB時(shí)，求C點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在00,上是否存在點(diǎn)P,使Spod=Sabd?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.例4(l)ZCOA=60°，ZEDM=120°t【例題求解】例1參考答案15°或75°分AB、AC在圓心0同側(cè)、異側(cè)兩種情況討論.fa?+='（2小2+（*）2=/選D如圖，得解得_13_5717a_16，r16-'延長DC至N.使CN=CM.連結(jié)BN,則/BCN二ZBAD=ZBDA=ZBCA，可證得厶BCN也ABCM,RtABA/VfRtABDN.r/aX(2)由RtACGMRtAEGM,得ZGMC=ZGME,又ZGME,:.Z.OMC=DMF,:.FDMs/COM；(3)ZFDM=ZCOA,先證RtACGMRtAGM,得ZGMC=ZGJWE,FDMsACOM.故結(jié)論仍成立.例5如圖.(1) 由ZADE=ZDAE,得EA=ED,又ZDFE=90°,.AF=DF；(2) 過A點(diǎn)作AN丄BE于N,設(shè)FE=lx,FD=3r,則DE=5y,；.AE=DE=5m,AF=FD=3h.*'S/ade=-|ADEF=*DEAN,(3jt+3t)4工=5才AN,AAN=j.7由勾股定理得，EN=-J-,.,.cosZA£D=;5AEox25(3由ZCAE=ZBZAEC=ZBEA»得厶CAEsABE.AAE2=BE-CE,BP(5t)2=(10+5x)*寺工解得工=2,AN=24«BC=BD+DC15nS/Afjc=S一yBC-AN=72.【學(xué)力訓(xùn)練】2.(13(1)axb>c；a>aC2)略7可以切割出66個(gè)小正方形按下列方式疊放：4X94-2X8+2X6+2X1=66(個(gè)8.設(shè)o的半徑為r,則AB=©r,BC=®,以B為圓心,拆&為半徑作圓，與QO交于兩點(diǎn)C,C',連BC,BCAC,AC',延長BO交©O于D,連CD,CD=”,BD=2CD，ZOAC=I5°或ZOAC=75°.圖1圖2圏3圖413. 73R設(shè)D'是D點(diǎn)關(guān)于直徑AB對(duì)稱的點(diǎn)，連CD'交AB于P,則P點(diǎn)使CP+PD最小,ZCOD=120°,CP+PD=CP+PD'=CD'=R.14. (1)VA.B的反演點(diǎn)分別是ABr,:.OAOA',OBOB'=r2:.OA-OAOBOB即汾=閤，又ZO=ZO,：.ABMAB'A'O,ZA'=ZB(2)A；圓；內(nèi)切.15. 連BO并延長交AD于H,則BH丄AD.:.CD/BHf=,得CD=1,AD=2吃,AH=d，OH=*,BH=2,AB=/，BC=s/'，所求四邊形周長為1+2雄+箱+慮.16.BD2-AD2=(BE2+EZ)2)-(AE2+ED2)=(BE+AE)(BE-AE)AB(BE-AE).只需證明AC=BE-AE即可，在BA上截取BF=AC,連DF可證明DBFDCA，則DFAC,AE=EF.17-通過動(dòng)手實(shí)踐，我們可以探索性地畫出下列四類情形：EyB2'X圖1、圖2不符合要求.可見，選擇圖4來“放”煎餅，圓碟的直徑最小，約是25.8cm.解得OD=,S“d=*ADBO=罟，SAWD-y,APOD中0D邊上的髙為13,即點(diǎn)P到工軸距離為13,V©(/上的點(diǎn)到工軸的最大距離為9點(diǎn)P不在OC/上9即在G)O上不存在點(diǎn)P，使SpouSabd直徑為2OB=2/(10+x)2t-52=2/(10+y)2+5225.8(cm)18.(1)OA+OB=k,OAOB=60,OA2+OB2=AB2=132.解得人=一17,OA=12,()B=5.(2)連結(jié)(YC,交AO于E,可證明OCBsADCO,dd=A,O，C丄OA,OE=AE=6,CE=4(3)假設(shè)在G)O上存在點(diǎn)P,使=SsbdOB/EC,:.HOBWHECD、：.焉=鋁，即y=若按圖3放.每個(gè)正方形對(duì)角線長為1072,圓碟直徑為2028.3(cm)；若按圖4放，考慮到它的軸對(duì)稱性，圓碟的圓心O應(yīng)在正方形的邊DE上，設(shè)DO=rcm,如圖3(4),DC=10,OC=10+±,BC=5,OE=10工，EF=10,OB=OF，由勾股定理得(10+工嚴(yán)+5?=(10-乂嚴(yán)+|10S解得x=y.