概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第七章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第七章 1對(duì)某一距離進(jìn)行5次測(cè)量，結(jié)果如下： （米）.已知測(cè)量結(jié)果服從，求參數(shù)和的矩估計(jì). 解 的矩估計(jì)為，的矩估計(jì)為 ， 所以 2設(shè)是來(lái)自對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)分布的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì). 解 （1）因?yàn)楹茈y解出來(lái)，所以再求總體的二階原點(diǎn)矩 （2） （1）（2）得 所以 所以得的矩估計(jì) 3設(shè)總體服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，為取自的樣本，試求參數(shù)和的矩估計(jì) 解 解之得， ，即 ， ，所以 和的矩估計(jì)為 ，. 4設(shè)總體具有密度 其中參數(shù)為已知常數(shù)，且，從中抽得一個(gè)樣本，求的矩估計(jì) 解 ，解出得 于是的矩估計(jì)為 . 5設(shè)總體的密度為 試用樣本求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì). 解 先求矩估計(jì)：解出得 所以的矩估計(jì)為 . 再求極大似然估計(jì)： ， ， ，解得的極大似然估計(jì)： . 6已知總體在上服從均勻分布，是取自的樣本，求的矩估計(jì)和極大似然估計(jì). 解 先求矩估計(jì)： ， 解方程組 得 注意到，得的矩估計(jì)為 ，. 再求極大似然估計(jì) ，由極大似然估計(jì)的定義知，的極大似然估計(jì)為 ；. 7設(shè)總體的密度函數(shù)如下，試?yán)脴颖?，求參?shù)的極大似然估計(jì). （1） （2）. 解 （1） 解似然方程 ，得的極大似然估計(jì) （2）由極大似然估計(jì)的定義得的極大似然估計(jì)為樣本中位數(shù)，即 8設(shè)總體服從指數(shù)分布 試?yán)脴颖厩髤?shù)的極大似然估計(jì). 解 由極大似然估計(jì)的定義，的極大似然估計(jì)為 9設(shè)來(lái)自幾何分布 ，試求未知參數(shù)的極大似然估計(jì). 解 ， 解似然方程 ，得的極大似然估計(jì) 。 10設(shè)是來(lái)自?xún)蓚€(gè)參數(shù)指數(shù)分布的一個(gè)樣本. 其中，求參數(shù)和的（1）極大似然估計(jì)；（2）矩估計(jì)。 解 （1） 由極大似然估計(jì)的定義，得的極大似然估計(jì)為 ； 解似然方程得的極大似然估計(jì) （2） 解方程組 得 .所以的矩估計(jì)為 11罐中有個(gè)硬幣，其中有個(gè)是普通硬幣（擲出正面與反面的概率各為0.5）其余個(gè)硬幣兩面都是正面，從罐中隨機(jī)取出一個(gè)硬幣，把它連擲兩次，記下結(jié)果，但不去查看它屬于哪種硬幣，如此重復(fù)次，若擲出0次、1次、2次正面的次數(shù)分別為，利用（1）矩法；（2）極大似然法去估計(jì)參數(shù)。 解 設(shè)為連擲兩次正面出現(xiàn)的次數(shù)，取出的硬幣為普通硬幣，則 , ，即的分布為 （1）解出得 的矩估計(jì)為 （2）， ，解似然方程 得的極大似然估計(jì) . 12設(shè)總體的分布列為截尾幾何分布 ，從中抽得樣本，其中有個(gè)取值為，求的極大似然估計(jì)。 解 解似然方程 得的極大似然估計(jì) . 13設(shè)總體服從正態(tài)分布是其樣本，（1）求使得是的無(wú)偏估計(jì)量；（2）求使得為的無(wú)偏估計(jì)量. 解 （1） 可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，是的無(wú)偏估計(jì)量. （2） 設(shè) ，因 ，所以 . 因?yàn)?，所以于是 故當(dāng) 時(shí)是的無(wú)偏估計(jì)。 14設(shè)是來(lái)自參數(shù)為的泊松分布總體的樣本，試證對(duì)任意的常數(shù)，統(tǒng)計(jì)量是的無(wú)偏估計(jì)量。 證 （此處利用了是的無(wú)偏估計(jì)，是的無(wú)偏估計(jì)），所以對(duì)任意的是的無(wú)偏估計(jì)。 15設(shè)總體有期望為一樣本，問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量是否為的無(wú)偏估計(jì)量？（1）;（2）;（3）;（4）；（5）；（6）. 解 （1），（2），（3）都是樣本的線(xiàn)性組合，而且組合系數(shù)之和為1，故它們都是的無(wú)偏估計(jì)。但（4），（5），（6）一般不是的無(wú)偏估計(jì)，如，則，而不是0就是1，且 ，故 即 不是的無(wú)偏估計(jì)。 16設(shè)是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，且有，試證明不是的無(wú)偏估計(jì)量。 證 ，即 不是的無(wú)偏估計(jì)量. 注：該題說(shuō)明：當(dāng)是未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)時(shí)，的函數(shù)不一定是的函數(shù)的無(wú)偏估計(jì)。 17設(shè)總體，是來(lái)自的樣本，試證估計(jì)量 ；， .都是的無(wú)偏估計(jì)，并指出它們中哪一個(gè)最有效. 證 故都是的無(wú)偏估計(jì). , ， .所以最有效. 18設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布，未知，是取自的樣本。（1）求的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)量；（2）上述兩個(gè)估計(jì)量是否為無(wú)偏估計(jì)量，若不是，請(qǐng)修正為無(wú)偏估計(jì)量；（3）問(wèn)在（2）中兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量哪一個(gè)更有效。 解 （1）先求矩估計(jì) ， ，所以的矩估計(jì)為 再求極大似然估計(jì). ，所以的極大似然估計(jì)為 （2）可見(jiàn)矩估計(jì)是的無(wú)偏估計(jì). 為求的數(shù)學(xué)期望，先求的密度. 總體的分布函數(shù)為 的分布函數(shù)為 所以 可見(jiàn)不是的無(wú)偏估計(jì)，若將修正為，則是的無(wú)偏估計(jì)。 （3） .故 較有效. 19設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望已知，試證統(tǒng)計(jì)量是總體方差的無(wú)偏估計(jì). 證 ， 證畢. 20設(shè)總體為來(lái)自的樣本，試證是的相合（一致）估計(jì). 證 因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以也相互獨(dú)立且具有相同的分布，由大數(shù)定理，對(duì)任意的有.即 依概率收斂于，而依概率收斂于，由依概率收斂的性質(zhì).又由于（當(dāng)時(shí)）而，故依概率收斂于，從而 是的相合估計(jì)。 21設(shè)是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，是的一個(gè)估計(jì)量，若且試證是的相合（一致）估計(jì)量。 證 由切比雪夫不等式，對(duì)任意的有 于是 即 依概率收斂于，故是的相合估計(jì)。 22設(shè)是取自均勻分布在上的一個(gè)樣本，試證是的相合估計(jì)。 證 的分布函數(shù)為 的密度為 所以 由切比雪夫不等式有 當(dāng)時(shí) 故 是的相合估計(jì). 23從一批釘子中抽取16枚，測(cè)得長(zhǎng)度（單位：厘米）為2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11，設(shè)釘長(zhǎng)分布為正態(tài)，試在下列情況下，求總體期望的置信度為0.90的置信區(qū)間。 （1）已知厘米； （2）為未知. 解 （1）的置信區(qū)間為 的置信區(qū)間為； （2）的置信區(qū)間為 的置信區(qū)間為. 24生產(chǎn)一個(gè)零件所需時(shí)間（單位：秒），觀察25個(gè)零件的生產(chǎn)時(shí)間，得，試以0.95的可靠性求和的置信區(qū)間. 解 的置信區(qū)間為 其中 所以 的置信度0.95下的置信區(qū)間為 的置信區(qū)間為 所以的置信區(qū)間為 . 25零件尺寸與規(guī)定尺寸的偏差，令測(cè)得10個(gè)零件，得偏差值（單位：微米）2, 1, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4，試求的無(wú)偏估計(jì)值和置信度為0.90的置信區(qū)間。 解 的無(wú)偏估計(jì)為 的無(wú)偏估計(jì)為 的置信區(qū)間為 所以 的置信度為0.90的置信區(qū)間為； 的置信區(qū)間為 所以的置信度0.90下的置信區(qū)間為 . 26對(duì)某農(nóng)作物兩個(gè)品種計(jì)算了8個(gè)地區(qū)的單位面積產(chǎn)量如下： 品種A：86，87，56，93，84，93，75，79； 品種B：80，79，58，91，77，82，74，66. 假定兩個(gè)品種的單位面積產(chǎn)量，分別服從正態(tài)分布，且方差相等，試求平均單位面積產(chǎn)量之差在置信度為0.95下的置信區(qū)間. 解 此題是在的條件下求的置信區(qū)間. 的置信區(qū)間為 其中 .所以的置信度為0.95下的置信區(qū)間為 . 27設(shè)和兩批導(dǎo)線(xiàn)是用不同工藝生產(chǎn)的，今隨機(jī)地從每批導(dǎo)線(xiàn)中抽取5根測(cè)量電阻，算得，若批導(dǎo)線(xiàn)的電阻服從分布，批導(dǎo)線(xiàn)的電阻服從，求的置信度為0.90的置信區(qū)間. 解 的置信區(qū)間為 其中 .所以 的置信度0.90下的置信區(qū)間為. 28兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，分別抽取6個(gè)和9個(gè)零件測(cè)量其長(zhǎng)度，算得，假定各臺(tái)機(jī)床零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，試求兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間（置信度為0.95）。 解 的置信區(qū)間為 其中 所以的置信區(qū)間為. 29設(shè)是來(lái)自參數(shù)為的指數(shù)分布總體的一個(gè)樣本，試求的置信度為的置信區(qū)間. 解 由習(xí)題六的第7題知 . 對(duì)于給定的，查分布表，求出臨界值和使 解出得 即的置信度下的置信區(qū)間為 . 30設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布為來(lái)自的一個(gè)樣本，試?yán)玫姆植紝?dǎo)出未知參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間. 解 的分布函數(shù)為 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 對(duì)于給定的，令 即 由的分布函數(shù)的表達(dá)式即 從而得 即 將暴露出來(lái)得 所以的置信度為下的置信區(qū)間為 31設(shè)0.50, 1.25, 0.80, 2.00是來(lái)自總體的一個(gè)樣本值，已知服從正態(tài)分布 （1）求的數(shù)學(xué)期望（記為）； （2）求的置信度為0.95的置信區(qū)間； （3）利用上述結(jié)果求的置信度為0.95的置信區(qū)間. 解 （1） ； （2）的置信區(qū)間為 其中 ， 所以的置信區(qū)間為 （3）由的嚴(yán)格單調(diào)性及（2）. 注意到，知的置信度為0.95的置信區(qū)間為 . 32從一臺(tái)機(jī)床加工的軸中隨機(jī)地取200根測(cè)量其橢圓度，由測(cè)量值（單位：毫米）計(jì)算得平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，求此機(jī)床加工的軸之平均橢圓度的置信度為0.95的置信區(qū)間。 解 因總體不是正態(tài)的，所以該題是大樣本區(qū)間估計(jì)，設(shè)平均橢圓度為，由中心極限定理近似服從，對(duì)于給定的，查正態(tài)分布表，求出臨界值使 即的置信區(qū)間為 . 33在一批貨物的容量為100的樣本中，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)16個(gè)次品，試求這批貨次品率的置信區(qū)間（置信度近似為0.95） 解 設(shè)次品率為，100件產(chǎn)品中的次品數(shù)為，由教材163頁(yè)知，的置信區(qū)間為，其中 此處 本題中 ， 于是的置信度近似為0.95的置信區(qū)間為 . 34設(shè)為來(lái)自參數(shù)為的泊松分布的樣本，試求的置信度近似為0.95的置信區(qū)間. 解 由中心極限定理知近似服從 對(duì)于給定的，查正態(tài)分布表求出臨界值使 將括號(hào)內(nèi)的不等式進(jìn)行等價(jià)變換： 所以的置信度近似為0.95的置信區(qū)間為 ，其中。