北師大版《角平分線》參考.ppt

1.4角平分線(1),你能利用折紙的方法得到角平分線及角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)嗎?,你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?,角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.,你能證明這一結(jié)論嗎?結(jié)合我們前面學(xué)習(xí)的定理的證明方法，你能寫出這個(gè)性質(zhì)的證明過(guò)程嗎？,已知:如圖,OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PDOA,PEOB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE.,分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在OPDOPE,而OPDOPE的條件由已知易知它滿足公理(AAS).,故結(jié)論可證.,老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過(guò)程.,證明：OC是AOB的平分線1=2PDOA,PEOBPDO=PEOOP=OPOPDOPE(AAS).PD=PE,幾何語(yǔ)言表示：定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.,老師提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等的根據(jù)之一.,如圖,OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知)PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).,你能寫出“定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等”的逆命題嗎?,逆命題在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.,它是真命題嗎?,如果是.請(qǐng)你證明它.,已知:如圖所示,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E.求證:點(diǎn)P在AOB的平分線上.,分析:要證明點(diǎn)P在AOB的平分線上,可以先作出過(guò)點(diǎn)P的射線OC,然后證明POD=POE.,B,A,C,D,E,O,P,證明：PDOAPEOBPOD和BPOE都是RtPD=PE,OP=OPRtPODRtPOE(HL)POD=POEOC是AOB的平分線,逆定理在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.,如圖,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知),點(diǎn)P在AOB的平分線上.(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).,老師提示:這個(gè)結(jié)論又是經(jīng)常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn))的根據(jù)之一.,例題講析,例1如圖，在ABC中，BAC=60，點(diǎn)D在BC上，AD=10，DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長(zhǎng).,解：DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，AD平分BAC（在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.又BAC=60，BAD=30.在RtADE中，AED=90，AD=10，DE=AD=10=5（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.,1.如圖,AD,AE分別是ABC中A的內(nèi)角平分線和外角平分線,它們有什么關(guān)系?,老師期望:你能說(shuō)出結(jié)論并能證明它.,2.如圖,一目標(biāo)在A區(qū),到公路,鐵路距離相等,離公路與鐵路的交叉處500m.在圖上標(biāo)出它的位置(比例尺1:20000).,3.如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到AOB的兩邊的距離相等.,4.已知:如圖,在ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.,證明:AD是ABC的角平分線且DEAB,DFACDE=DFBD=CDRtBDERtCDF(HL)EB=EC,5.如圖,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平線,DEAB,垂足為E.,老師期望:你能正確地解答并規(guī)范地寫出過(guò)程.,(1)如果CD=4cm,求AC的長(zhǎng);,(2)求證:AB=AC+CD.,解（1）AD是ABC的角平線,DEAB,DCAC,DE=CD=4cmAC=BCB=BAC(等邊對(duì)等角)C=90B=45BDE=90-45=45BE=DE在等腰直角三角形BDE中,（2）證明：由（1）的求解過(guò)程可知，RtACDRtAED(HL)AC=AE.BE=DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD,已知，如圖ABC中，ACB的平分線交AB于E，ACB的補(bǔ)角ACD的平分線為CG，EGBC交AC于F，EF會(huì)與FG相等嗎？為什么？,A,B,C,D,E,F,G,證明：EG為ACB的平分線BCE=ACECG為ACD的平分線DCG=FCGEGBCFEC=BCE,FGC=GCD從而ACE=FEC，F(xiàn)GC=FCGEF=FC,FC=FG從而EF=FG,定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知)PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).,回顧與小結(jié),逆定理在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知),點(diǎn)P在AOB的平分線上.(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).,回顧與小結(jié),習(xí)題1.91,3題.祝你成功！,結(jié)束寄語(yǔ),嚴(yán)格性之于數(shù)學(xué)家,猶如道德之于人.證明的規(guī)范性在于：條理清晰，因果相應(yīng),言必有據(jù).這是初學(xué)證明者謹(jǐn)記和遵循的原則.,