專題09+如何求空間坐標系中非特殊點的坐標-2018版高人一籌之高三數(shù)學（理）二輪復習特色專題訓練+Word版含解析

一、解答題1長方形中， ， 是中點（圖1）將沿折起，使得（圖2）在圖2中：（1）求證：平面 平面； （2）在線段上是否存點，使得二面角為大小為，說明理由【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）長方形中，連結(jié)，因為， 是中點，所以，從而，所以,再根據(jù)，可得線面垂直，從而證明平面 平面（2）建立空間直角坐標系，計算平面的法向量，取面的一個法向量是，利用其夾角為，即可得出. （2）因為平面 平面，交線是，所以在面過垂直于的直線必然垂直平面以為坐標原點， 為軸， 為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系 依題意，即，解方程得，或，取，因此在線段上存點，使得二面角為大小為點睛：立體幾何問題對于第一問，要注意結(jié)合圖形，特別是中點，尋求垂直或平行關(guān)系，對于第二問關(guān)鍵是建系寫點的坐標，利用求得的法向量來求二面角的余弦，注意對角是銳角鈍角的分析.2如圖所示，在底面為正方形的四棱柱中， .（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）連交于,由條件可得，又由得到 ，從而可得平面由四邊形為平行四邊形可得，所以平面，因此平面平面（2）由條件可得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和直線的法向量，根據(jù)兩向量的夾角的余弦值可求得線面角的正弦值由題意得，故四邊形為平行四邊形，平面，又平面內(nèi)， 平面平面 （2）由題意得兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，為等邊三角形，又，則， ， 3如圖，在直三棱柱中， 、分別為、的中點， ， .（1）求證：平面平面；（2）若直線和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）要證面面垂直，先證線面垂直， 平面，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直線的方向向量，根據(jù)公式得到線面角的正弦值。.（2）由（1）可知以點為坐標原點， 為軸正方向， 為軸正方向， 為軸正方向，建立坐標系.設(shè)， ， ， ， ， ， ， 直線的方向向量，平面的法向量可知， ， 設(shè)平面的法向量設(shè)平面的法向量記二面角的平面角為二面角的平面角的正弦值為.4如圖,在幾何體中，四邊形為矩形，四邊形為梯形, ,平面與平面垂直，且.（1）求證： 平面；（2）若,且平面與平面所成銳二面角的余弦值為,求的長.【答案】(1)證明見解析；(2)1.試題解析：（1)證明：因為平面與平面垂直且，平面與平面的交線為 所以面， 又面所以， 在矩形中， 又四邊形為梯形， 所以與相交，故平面 （2）由（1）知， 垂直， 垂直，又垂直， 平行，所以垂直，如圖，以為坐標原點， 分別為軸建立空間坐標系所以平面的法向量為易知，平面的法向量為，因為平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則，即，解得，即5如圖，四棱錐，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且平面平面，底面是的菱形， 為棱上的動點，且.（）求證： ；（）試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為.【答案】()證明見解析；() .試題解析：（）取的中點，連結(jié)，由題意可得， 均為正三角形，所以， ，又，所以平面，又平面，所以. 因為，所以.（）由（）可知.又平面平面，平面平面， 平面，所以平面.故可得兩兩垂直，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則， ， ， ，所以 ，由，可得點的坐標為，所以， ，所以當時，二面角的余弦值為.點睛：解決立體幾何中探索性問題的基本策略通常假定題中的數(shù)學對象存在（或結(jié)論成立），然后在這個前提下進行邏輯推理，若能導出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，說明假設(shè)成立，即存在，并可進一步證明；若導出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果，則說明假設(shè)不成立，即不存在6如下圖，在空間直角坐標系中，正四面體（各條棱均相等的三棱錐）的頂點分別在軸， 軸， 軸上.（）求證： 平面；（）求二面角的余弦值.【答案】（）見解析（）.試題解析：（）由，易知.設(shè)，則， ， ， ,設(shè)點的坐標為，則由，可得 ，解得，所以.又平面的一個法向量為，所以，所以平面. 點睛：立體幾何中求直線與平面成的角和二面角，有兩種方法：第一種是根據(jù)“空間角”的定義作出反應(yīng)這個“空間角”的“平面角”，然后在三角形中求解，這種方法有三個步驟：一作二證三計算；第二種是根據(jù)圖形建立適當?shù)目臻g直角坐標系（充分利用圖形中的垂直關(guān)系），寫出各點坐標，求出平面的法向量，直線的方程向量，利用向量的夾角來求“空間角”，這種方法重在計算，解題步驟固定7如圖，三棱柱中， 平面， ， .過的平面交于點，交于點.(l)求證： 平面；()求證：四邊形為平行四邊形；()若是，求二面角的大小【答案】(1)見解析(2) 見解析(3) 【解析】試題分析：（）由線面垂直的性質(zhì) 可得，由菱形的性質(zhì)可得從而由線面垂直的判定定理可得平面；（）先證明平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，從而得四邊形為平行四邊形；（）在平面內(nèi)，過作因為 平面，所以，以 為軸建立空間直角坐標系，可知平面的法向量為，根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果. （）因為 ， 平面，所以 平面因為 平面平面，所以 因為 平面平面，平面平面，平面平面，所以 所以 四邊形為平行四邊形由（）得平面的法向量為 設(shè)平面的法向量為， 則 即 令，則， ，所以 所以 由圖知 二面角的平面角是銳角，所以 二面角的大小為 【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)、面面平行的直線以及利用空間向量求二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離. 8在等腰梯形中， ，將梯形沿著翻折至（如圖），使得平面與平面垂直（）求證： ；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）見解析（）.試題解析：（）證明，不妨設(shè)，過作垂線交于，則， ， 所以，所以，又因為平面與平面垂直，所以平面,所以 （）建立如圖坐標系， 9如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，PD平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，DAB=60°（1）求證：直線AM平面PNC；（2）求二面角DPCN的余弦值【答案】（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）在上取一點，使，連接， ，可得， ， 為平行四邊形，即，即可得直線平面（2）取中點，可得， ， 相互垂直，以為原點，如圖建立空間直角坐標系，易知平面的法向量，求出面的法向量，計算出兩向量夾角即可.試題解析：（1）在上取一點，使，連接， ，（2）取中點，底面是菱形， ，即，又平面，又，直線平面，故， ， 相互垂直，以為原點，如圖建立空間直角坐標系10如圖，在四棱錐中， 為等邊三角形，平面平面， ， ， 為的中點.（1）求二面角的正弦值；（2）若平面，求的值.【答案】（1）（2）. 【解析】試題分析：(1)由題意可知， ， ，據(jù)此建立空間直角坐標系，計算可得平面的法向量為，且平面的一個法向量為，據(jù)此計算可得二面角的正弦值為. (2)結(jié)合(1)中的空間直角坐標系有，據(jù)此得到關(guān)于實數(shù)a的方程： ，解方程有： . 則， ， 設(shè)平面的法向量為，則 ,即令，則，于是，又平面的一個法向量為，設(shè)二面角為，所以， ，所以二面角的正弦值為. 11已知正四棱錐的各條棱長都相等，且點分別是的中點.（1）求證: ；（2）若平面，且，求的值.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：(1)由題意易證： . , 所以平面 ，從而證得結(jié)果；(2)建立空間直角坐標系，平面的法向量為，因為平面，所以，從而得到的值.試題解析：（1）設(shè),則為底面正方形中心，連接,因為為正四梭錐.所以平面,所以.又,且,所以平面;因為平面,故.因為平面，所以，即.解得,所以.12如圖1 ,在ABC中，AB=BC=2, B=90°,D為BC邊上一點，以邊AC為對角線做平行四邊形ADCE，沿AC將ACE折起，使得平面ACE 平面ABC,如圖2. (1)在圖 2中，設(shè)M為AC的中點，求證:BM丄AE；(2)在圖2中，當DE最小時，求二面角A -DE-C的平面角.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件推出，再由平面平面推出平面，即可得證；（2）分別以射線， 的方向為， 軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出當最小時，點和的坐標，分別求出平面和平面的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角的平面角.（2）如圖，分別以射線， 的方向為， 軸的正方向，建立空間直角坐標系設(shè)，則， ， ， ， ，平面平面當且僅當時， 最小，此時， 設(shè)， 平面，則，即令，可得， ，則有觀察可得二面角的平面角13（本題分）如圖， 和所在的平面互相垂直，且， （）求證： （）求直線與面所成角的大小的正弦值（）求二面角的大小的余弦值【答案】(1)詳見解析(2) （3）【解析】試題分析：（1）建立空間直角坐標系，即證；（2）求出平面的一個法向量，利用公式即可得到直線與面所成角的大小的正弦值，（3）求出平面的法向量，結(jié)合（2），利用公式求出二面角的大小的余弦值試題解析：（）設(shè)，作于，連結(jié)，以點為原點， ， ， 的方向分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則， ， ， ， ，所以， ，（）解：設(shè)平面的法向量，則，即，令，則， ，又二面角為鈍角，二面角的余弦值為點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 14如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ABC60°，為正三角形，且側(cè)面PAB底面ABCD， 為線段的中點， 在線段上.（I）當是線段的中點時，求證：PB / 平面ACM；（II）求證： ；（III）是否存在點，使二面角的大小為60°，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【答案】（）見解析；（）見解析；()當時，二面角的大小為60°.試題解析：（I）證明：連接BD交AC于H點，連接MH，因為四邊形ABCD是菱形，所以點H為BD的中點. 又因為M為PD的中點，所以MH / BP.又因為 BP 平面ACM, 平面ACM.所以 PB / 平面ACM. 則， ， ， 假設(shè)棱上存在點，設(shè)點坐標為， ，則，所以，所以， ，設(shè)平面的法向量為，則，解得點睛：(1)探索性問題通常用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法. 15如圖，四棱柱的底面是菱形， ， ， （）證明：平面平面；（）若，直線上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為.若存在，求的值；若不存在，請說明理由【答案】（）見解析；（） 或.【解析】試題分析：（）用幾何法證明，先證得平面，再證平面平面.（）由條件可得兩兩相互垂直，故可建立坐標系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算求解。（）在菱形中，由，可得， 由，可得.在三角形中，由，可得.故得兩兩相互垂直.以為原點， 方向為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系.則， ， ， ，由，可得， ，設(shè)， ，所以.設(shè)平面的法向量為，點睛：（1）用向量法解立體幾何問題時，在建立坐標系的基礎(chǔ)上，關(guān)鍵是如何確定點的坐標，對于不容易確定坐標的點，可通過向量的運算、相等向量等方法去確定點的坐標。（2）由于本題（）中，要求是“直線上是否存在點”，故求出的點應(yīng)有兩個，解題時要注意對題意的理解。16如圖所示，三棱柱中，已知側(cè)面.（1）求證： 平面；（2）是棱長上的一點，若二面角的正弦值為，求的長.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（）證明ABBC1，在CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后證明BCBC1，利用直線與平面垂直的判定定理證明C1B平面ABC（）通過AB，BC，BC1兩兩垂直以B為原點，BC，BA，BC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系求出相關(guān)點的坐標，求出平面AB1E的一個法向量，平面的一個法向量通過向量的數(shù)量積，推出的方程，求解即可 由可以知道， ， ，兩兩垂直，以為原點， ， ，所在直線為， ， 軸建立空間直角坐標系.則， ， ， ， ， ， .令， .設(shè)平面的一個法向量為，令，則， ，平面，是平面的一個法向量，兩邊平方并化簡得，所以或.或.點睛：本題考查面面垂直，線面垂直，線線垂直的判定及性質(zhì)以及二面角的余弦，屬于中檔題。對于第一問，要注意結(jié)合圖形，特別是中點，尋求垂直或平行關(guān)系，本題利用了余弦定理，求邊長，再利用勾股定理得到線線垂直，對于第二問關(guān)鍵是建系寫點的坐標，利用求得的法向量來求二面角的余弦，注意對角是銳角鈍角的分析.