數(shù)學(xué)第二章 方程（組）與不等式（組）第3節(jié) 分式方程及其應(yīng)用

分式方程及其應(yīng)用分式方程及其應(yīng)用解分式方程的步驟解分式方程的步驟實(shí)際應(yīng)用中常見類型及關(guān)系式實(shí)際應(yīng)用中常見類型及關(guān)系式解分式方程的步驟：解分式方程的步驟：返回返回增根：使得原分式方程的分母為增根：使得原分式方程的分母為0的根的根注意：解分式方程的前提是正確確定最簡(jiǎn)公分母，關(guān)鍵是去分注意：解分式方程的前提是正確確定最簡(jiǎn)公分母，關(guān)鍵是去分母，此時(shí)千萬不要漏乘整式項(xiàng)，分子是多項(xiàng)式時(shí)要添加括號(hào)，母，此時(shí)千萬不要漏乘整式項(xiàng)，分子是多項(xiàng)式時(shí)要添加括號(hào)，驗(yàn)根是解公式方程的重要步驟，不能忽略，否則要被扣分驗(yàn)根是解公式方程的重要步驟，不能忽略，否則要被扣分去分母去分母無解無解實(shí)際實(shí)際應(yīng)用應(yīng)用中常中常見類見類型及型及關(guān)系關(guān)系式式工程工程問題問題購(gòu)買（盈購(gòu)買（盈利）問題利）問題基本數(shù)量關(guān)系：基本數(shù)量關(guān)系： =工作時(shí)間工作時(shí)間常見等量關(guān)系：常見等量關(guān)系： =時(shí)間差時(shí)間差特別地，有時(shí)工作總量可以看作整體特別地，有時(shí)工作總量可以看作整體“1”，這時(shí)，這時(shí)， =工作效率工作效率工作總量工作效率工作總量工作總量工作效率改善后工作效率1工作時(shí)間基本數(shù)量關(guān)系：基本數(shù)量關(guān)系： =數(shù)量數(shù)量常見等量關(guān)系：常見等量關(guān)系： =數(shù)量差數(shù)量差總價(jià)單價(jià)總售價(jià)總售價(jià)減少后單價(jià)單價(jià)未完繼續(xù)未完繼續(xù)實(shí)際應(yīng)實(shí)際應(yīng)用中常用中常見類型見類型及關(guān)系及關(guān)系式式行程行程問題問題返回返回溫馨提示：注意雙重檢驗(yàn)（一驗(yàn)是否是增根，二驗(yàn)是否符溫馨提示：注意雙重檢驗(yàn)（一驗(yàn)是否是增根，二驗(yàn)是否符合實(shí)際情況）合實(shí)際情況）基本數(shù)量關(guān)系：基本數(shù)量關(guān)系： =時(shí)間時(shí)間常見等量關(guān)系：常見等量關(guān)系： =時(shí)間差時(shí)間差路程速度同一路程同一路程慢速快速走走 出出誤誤區(qū)區(qū) 1. 去分母時(shí)切記要給常數(shù)項(xiàng)或整式乘最簡(jiǎn)公分母，且驗(yàn)根是解去分母時(shí)切記要給常數(shù)項(xiàng)或整式乘最簡(jiǎn)公分母，且驗(yàn)根是解分式方程必不可少的環(huán)節(jié)；分式方程必不可少的環(huán)節(jié)；2. 注意與分式化簡(jiǎn)注意與分式化簡(jiǎn)(求值求值)的區(qū)別：兩者都需找最簡(jiǎn)公分母，但的區(qū)別：兩者都需找最簡(jiǎn)公分母，但分式化簡(jiǎn)分式化簡(jiǎn)(求值求值)的目的是約分，而分式方程的目的是去分母，的目的是約分，而分式方程的目的是去分母，切勿混淆切勿混淆一一 解分式方程（易錯(cuò)點(diǎn)）解分式方程（易錯(cuò)點(diǎn)）例例 解分式方程：解分式方程：解：去分母：解：去分母：_，去括號(hào)：去括號(hào)：_，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)：_，系數(shù)化為系數(shù)化為1：_，檢驗(yàn)：檢驗(yàn)：_，所以分式方程的解為所以分式方程的解為_212.11xxxx(x1)2(x21)12x22x2x2212x332x 29511044x 32x 練習(xí)練習(xí)1 (2017岳陽(yáng)岳陽(yáng))解分式方程解分式方程 ，可知方程的解，可知方程的解為為( ) A. x1 B. x3 C. x D. 無解無解練習(xí)練習(xí)2 (2017威海威海)方程方程 的解是的解是_22111xxx1231144xxxDx3走走 出出誤誤區(qū)區(qū) 1. 已知分式方程解的情況，確定字母的取值范圍：已知分式方程解的情況，確定字母的取值范圍：(1)將分式方將分式方程化為整式方程，把分式方程的解用含某字母的代數(shù)式表示出程化為整式方程，把分式方程的解用含某字母的代數(shù)式表示出來；來；(2)根據(jù)該分式方程解的具體情況，轉(zhuǎn)化為不等式或不等式根據(jù)該分式方程解的具體情況，轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組，求出字母的取值范圍，要特別注意字母的取值要使分式有組，求出字母的取值范圍，要特別注意字母的取值要使分式有意義意義2. 分式方程有增根，確定字母取值范圍：分式方程有增根，確定字母取值范圍：(1)將分式方程化為整將分式方程化為整式方程；式方程；(2)令公分母為令公分母為0，求出，求出x的值；的值；(3)將將x的值代入整式方的值代入整式方程，求出字母系數(shù)的值程，求出字母系數(shù)的值二二 根據(jù)分式方程解的情況求字母的值或范圍根據(jù)分式方程解的情況求字母的值或范圍3. 分式方程無增根，確定字母取值范圍：分式方程無增根，確定字母取值范圍：(1)將分式方程化為整將分式方程化為整式方程，把分式方程的解用含某字母的代數(shù)式表示出來；式方程，把分式方程的解用含某字母的代數(shù)式表示出來；(2)解解出公分母不為出公分母不為0的的x的取值范圍；的取值范圍；(3)求出字母系數(shù)的取值范圍求出字母系數(shù)的取值范圍4. 分式方程無解，確定字母取值范圍：分兩種情況：分式方程無解，確定字母取值范圍：分兩種情況：(1)整式方整式方程無解程無解(使整式方程不成立的字母取值使整式方程不成立的字母取值)；(2)整式方程有解，但整式方程有解，但解使分式方程分母或最簡(jiǎn)公分母為解使分式方程分母或最簡(jiǎn)公分母為0，即增根，即增根注意：無解與增根并非同一概念注意：無解與增根并非同一概念練習(xí)練習(xí)3 若關(guān)于若關(guān)于x的分式方程的分式方程 3的解是正數(shù)，則字母的解是正數(shù)，則字母m的取值范圍是的取值范圍是( )A. m3 B. m3 D. m321xmx【解析解析】去分母得去分母得2xm3(x1)，去括號(hào)得，去括號(hào)得2xm3x3，移項(xiàng)得，移項(xiàng)得x3m，分式方程的解為正數(shù)，分式方程的解為正數(shù)，x3m0且且x10，解得，解得m3.D練習(xí)練習(xí)4 若關(guān)于若關(guān)于x的分式方程的分式方程 的解為正數(shù)，則滿的解為正數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)足條件的正整數(shù)m的值為的值為( )A. 1，2，3 B. 1，2 C. 1，3 D. 2，3222xmxx【解析解析】去分母得去分母得x2x4m，移項(xiàng)得，移項(xiàng)得x4m.分式方程分式方程的解為正數(shù)，的解為正數(shù)，4m0且且x2，解得，解得m4且且m2.m為正整為正整數(shù)，數(shù)，m1，3.C練習(xí)練習(xí)5 (2017龍東龍東)已知關(guān)于已知關(guān)于x的分式方程的分式方程 的解是非的解是非負(fù)數(shù)，那么負(fù)數(shù)，那么a的取值范圍是的取值范圍是( )A. a1 B. a1 C. a1且且a9 D. a1C3133xax【解析解析】去分母得去分母得 9x3ax3，解得，解得x ， 方程方程的解是非負(fù)數(shù)，的解是非負(fù)數(shù)，3a30，a1，又，又 3，a9，a1且且a9.338a 338a 練習(xí)練習(xí)6 已知關(guān)于已知關(guān)于x的分式方程的分式方程 1的解是非正數(shù)，則的解是非正數(shù)，則a的的取值范圍是取值范圍是( )A. a1 B. a1且且a2C. a1且且a2 D. a1B21ax【解析解析】去分母得去分母得a2x1，解得，解得xa1，方程的解是方程的解是非正數(shù)，非正數(shù)，x0即即a10，解得，解得a1，又，又x1，a11，即，即a2，綜上所述，綜上所述，a1且且a2.練習(xí)練習(xí)7 若分式方程若分式方程 的解為非負(fù)數(shù)，則的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值的取值范圍是范圍是 a2且且a41133xaxx 【解析解析】給分式方程兩邊同乘給分式方程兩邊同乘x3，得，得1x3ax，解，解得得x ，x為非負(fù)數(shù)，為非負(fù)數(shù)， 0，解得，解得a2，x3，解得解得a4，a2且且a4.22a 22a 練習(xí)練習(xí)8 若分式方程若分式方程 有增根，則有增根，則a的值是的值是_41133xaxx 【解析解析】給分式方程兩邊同乘給分式方程兩邊同乘x3，得，得1x3ax，解得解得x ，方程有增根，方程有增根，x3，解得，解得a4.22a