2018-2019學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學歸納法練習（含解析）新人教A版選修4-5

數(shù)學歸納法一、選擇題1.設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當f(k)k2成立時,總可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么下列命題總成立的是()A.若f(3)9成立,則當k1時,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,則當k5時,均有f(k)k2成立C.若f(7)<49成立,則當k8時,均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立,則當k4時,均有f(k)k2成立答案:D2.數(shù)列an的前n項和Sn=n2an(n2),而a1=1,猜想an等于()A.B.C.D.答案:B3.設f(n)=1+(nN+),則f(n+1)-f(n)等于()A.B.C.D.解析:因為f(n)=1+,所以f(n+1)=1+.所以f(n+1)-f(n)=.答案:D4.在數(shù)列an中,a1=-1,前n項和Sn=-1,先算出數(shù)列的前4項的值,根據(jù)這些值歸納猜想數(shù)列的通項公式是()A.an=-1B.an=n-1C.an=D.an=解析:由題意,可知S2=a1+a2=-1,a2=-1-+1=;S3=a1+a2+a3=-1,a3=S3-S2=,同理,可得a4=S4-S3=,故可猜想an=.答案:D5.用數(shù)學歸納法證明:1+a+a2+an+1=(a1),在驗證n=1時,左邊計算所得的項為()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析:令n=1,則等式左邊=1+a+a2.答案:C二、非選擇題6.用數(shù)學歸納法證明“1+2+22+23+25n-1(nN+)是31的倍數(shù)”時,當n=1時,原式=,從k到k+1時需添加的項是. 答案:1+2+22+23+2425k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+47.已知整數(shù)對的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),則第60個數(shù)對是. 解析:設每個數(shù)對內的兩數(shù)之和為k,則組成數(shù)對的個數(shù)為ak=k-1,k=2,3,則由不等式Sk=<60,得k(k-1)<120,則k的最大整數(shù)值為11,且S11=55,則第56個數(shù)對之和為12,即(1,11),后面的依次為(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),所以第60個數(shù)對為(5,7).答案:(5,7)8.如圖,第n個圖形是由正(n+2)邊形“擴展”而來(n=1,2,3,),則第(n-2)個圖形中共有個頂點. 解析:設an為第n個圖形的頂點數(shù),則由題圖可知:第1個圖形有6個頂點,a1=6;第2個圖形有12個頂點,a2=12;第3個圖形有20個頂點,a3=20;第4個圖形有30個頂點,a4=30;第5個圖形有42個頂點,a5=42;則an=(n+1)(n+2),an-2=(n-1)n=n2-n.答案:n2-n9.求證:n棱柱中過側棱的對角面的個數(shù)是f(n)=n(n-3)(nN+,n4).解：證明:(1)當n=4時,四棱柱有2個對角面,×4×(4-3)=2,命題成立.(2)假設當n=k(kN+,k4)時命題成立,即符合條件的棱柱的對角面?zhèn)€數(shù)是f(k)=k(k-3),現(xiàn)在考慮當n=k+1時的情形,第k+1條棱Ak+1Bk+1與其余和它不相鄰的k-2條棱分別增加了1個對角面,共(k-2)個,而面A1B1BkAk變成了對角面,因此對角面的個數(shù)變?yōu)閒(k)+(k-2)+1=k(k-3)+k-1=(k2-3k+2k-2)=(k-2)(k+1)=(k+1)(k+1)-3,即f(k+1)=(k+1)(k+1)-3.由(1)(2)可知,命題對任意n4,nN+都成立.10.求證:+.解：證明:(1)當n=1時,左邊=,右邊=.故等式成立.(2)假設當n=k(k1)時等式成立,即+成立,那么當n=k+1時,+=,即當n=k+1時等式成立.由(1)(2)可知,對任何nN+等式成立.- 5 -