2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 二 推理與證明練習(xí) 新人教A版選修2-2

二 推理與證明 A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2 B.C. D.解析：選A.因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以a2.2.已知復(fù)數(shù)z1i，z2i，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：選D.因?yàn)閦1i，z2i，所以zi，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選D.3.對(duì)于數(shù)25，規(guī)定第1次操作為2353133，第2次操作為13333355，第3次操作為5353250，如此反復(fù)操作，則第2 018次操作后得到的數(shù)是（）A.25 B.250C.55 D.133解析：選C.由規(guī)定：第1次操作為2353133，第2次操作為13333355，第3次操作為5353250，第4次操作為235303133，故操作得到的數(shù)值周期出現(xiàn)，且周期為3.又2 0183×6722，故第2 018次操作后得到的數(shù)等于第2次操作后得到的數(shù)，即55，故選C.4.已知命題12222n12n1（nN*）及其證明：（1）當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2111，所以等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即12222k12k1，則當(dāng)nk1時(shí)，12222k12k2k11，所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立.由（1）（2），知對(duì)任意的正整數(shù)n等式都成立.則以下說(shuō)法正確的是（）A.命題、推理都正確B.命題正確、推理不正確C.命題不正確、推理正確D.命題、推理都不正確解析：選B.命題正確，但證明nk1時(shí)沒(méi)有用到假設(shè)的結(jié)論，故推理不正確.5.對(duì)“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷：（ab）2（bc）2（ca）20；ab與bc及ac中至少有一個(gè)成立；ac，bc，ab不能同時(shí)成立.其中判斷正確的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.3解析：選B.若（ab）2（bc）2（ca）20，則abc，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)”矛盾，故正確.ab與bc及ac中最多只能有一個(gè)成立，故不正確.由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個(gè)數(shù)相等或三個(gè)數(shù)都互不相等，故不正確.6.已知mR，復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則m.解析：由，由已知得，則m.答案：7.在平面幾何中：ABC中C的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為.把這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間：在三棱錐A­BCD中（如圖），DEC平分二面角A­CD­B且與AB相交于E，則得到類(lèi)比的結(jié)論是.解析：由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得.答案：8.觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，S4n5n4n3n，S5An6n5n4Bn2，可以推測(cè)，AB.解析：由S1，S2，S3，S4，S5的特征，推測(cè)A.又Sk的各項(xiàng)系數(shù)的和為1，所以AB1，所以B.故AB.答案：9.已知|x|1，|y|1，用分析法證明：|xy|1xy|.證明：要證|xy|1xy|，即證（xy）2（1xy）2，即證x2y21x2y2，即證（x21）（1y2）0，因?yàn)閨x|1，|y|1，所以x210，1y20，所以（x21）（1y2）0，不等式得證.10.設(shè)f（x），g（x）（其中a>0，且a1）.（1）523，請(qǐng)你推測(cè)g（5）能否用f（2），f（3），g（2），g（3）來(lái)表示；（2）如果（1）中獲得了一個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你推測(cè)能否將其推廣.解：（1）由f（3）g（2）g（3）f（2）··，又g（5），因此g（5）f（3）g（2）g（3）f（2）.（2）由g（5）f（3）g（2）g（3）f（2），即g（23）f（3）g（2）g（3）f（2），于是推測(cè)g（xy）f（x）g（y）g（x）f（y）.證明：因?yàn)閒（x），g（x）（大前提）.所以g（xy），g（y），f（y），（小前提及結(jié)論）所以f（x）g（y）g（x）f（y）··g（xy）.故推測(cè)正確.B能力提升11.定義：如果函數(shù)yf（x）在定義域內(nèi)的給定區(qū)間a，b上存在x0（a<x0<b），滿足f（x0），則稱(chēng)函數(shù)yf（x）是a，b上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，例如yx2是1，1上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn).現(xiàn)有函數(shù)f（x）x3mx是1，1上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解析：由f（x）x3mx是1，1上的平均值函數(shù)，知關(guān)于x的方程x3mx在區(qū)間（1，1）上有解，即方程x3mxm10在區(qū)間（1，1）上有解，就是方程mx2x1在區(qū)間（1，1）上有解.因?yàn)楫?dāng)x（1，1）時(shí)，x2x1，所以m的取值范圍是.答案：12.傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列bn.可以推測(cè)：（1）b2 016是數(shù)列an中的第項(xiàng)；（2）b2k1（用k表示）.解析：觀察知這些三角形數(shù)滿足an，nN*，當(dāng)n5k1或n5k，kN*時(shí)，對(duì)應(yīng)的三角形數(shù)是5的倍數(shù)，為數(shù)列bn中的項(xiàng)，將5k1和5k列為一組，所以b2 016是第1 008組的后面一項(xiàng)，即b2 016是數(shù)列an中的第5×1 0085 040項(xiàng)；b2k1是第k組的前面一項(xiàng)，是數(shù)列an中的第5k1項(xiàng)，即b2k1a5k1.答案：（1）5 040（2）13.設(shè)直線l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k220.（1）證明：l1與l2相交；（2）證明：l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2y21上.證明：（1）假設(shè)直線l1與l2不相交，則l1與l2平行，由直線l1與l2的方程可知實(shí)數(shù)k1，k2分別為兩直線的斜率，則有k1k2，代入k1k220，消去k1，得k20，k2無(wú)實(shí)數(shù)解，這與已知k2為實(shí)數(shù)矛盾，所以k1k2，即l1與l2相交.（2）法一：由方程組，解得故l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為.而21.此即表明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2y21上.法二：l1與l2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足故知x0.從而代入k1k220，得·20，整理后，得2x2y21，所以交點(diǎn)P在橢圓2x2y21上.14.（選做題）觀察下列各不等式：1<，1<，1<，1<，（1）由上述不等式，歸納出一個(gè)與正整數(shù)n（n2）有關(guān)的一般性結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的結(jié)論.解：（1）觀察上述各不等式，得到與正整數(shù)n有關(guān)的一般不等式為1<（nN*，且n2）.（2）證明：當(dāng)n2時(shí)，由題設(shè)可知，不等式顯然成立.假設(shè)當(dāng)nk（k2，kN*）時(shí)，不等式成立，即1<，那么，當(dāng)nk1時(shí)，有1<<2.所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立.根據(jù)和，可知不等式對(duì)任何nN*且n2都成立.7