2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課后作業(yè)22 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 新人教A版必修第一冊(cè)

課后作業(yè)(二十二) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)為(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝x2 D．y＝2x [解析]　易判斷A、C為偶函數(shù)，B、D為奇函數(shù)，但函數(shù)y＝x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以選A. [答案]　A 2．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x，則f(x)在R上的表達(dá)式是(　　) A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2) C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2) [解析]　由x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x， f(x)是定義在R上的奇函數(shù)得，當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)． ∴f(x)＝即f(x)＝x(|x|－2)． [答案]　D 3．若函數(shù)f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) [解析]　因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以a＋2＝0，a＝－2，即該函數(shù)f(x)＝－2x2＋1，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增． [答案]　A 4．f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞減，若f(2－a)＋f(4－a)<0，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)<3 C．a(chǎn)>1 D．a(chǎn)>3 [解析]　∵f(x)在R上為奇函數(shù)， ∴f(2－a)＋f(4－a)<0轉(zhuǎn)化為f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)． 又f(x)在R上單調(diào)遞減， ∴2－a>a－4，得a<3. [答案]　B 5．奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，最小值為－1，則f(6)＋f(－3)的值為(　　) A．10 B．－10 C．9 D．15 [解析]　由于f(x)在[3,6]上為增函數(shù)，f(x)的最大值為f(6)＝8，f(x)的最小值為f(3)＝－1，f(x)為奇函數(shù)，故f(－3)＝－f(3)＝1，∴f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9. [答案]　C 二、填空題 6．已知y＝f(x)是奇函數(shù)，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，則g(－1)＝________. [解析]　因?yàn)間(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－1)＝1，則g(－1)＝f(－1)＋2＝3. [答案]　3 7．設(shè)函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，它在[0,1]上的圖象如圖．則它在[－1,0)上的解析式為__________________． [解析]　由題意知f(x)在[－1,0)上為一條線段，且過(－1,1)，(0,2)，設(shè)f(x)＝kx＋b(－1≤x<0)，代入解得k＝1，b＝2，所以f(x)＝x＋2(－1≤x<0)． [答案]　f(x)＝x＋2(－1≤x<0) 8．已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)＝0的所有實(shí)根之和是________． [解析]　由題意，知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以其圖象與x軸的四個(gè)交點(diǎn)也兩兩成對(duì)，關(guān)于y軸對(duì)稱，即方程f(x)＝0的實(shí)根兩兩互為相反數(shù)，故其所有實(shí)根之和是0. [答案]　0 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x－1，求函數(shù)f(x)的解析式． [解]　當(dāng)x<0時(shí)，－x>0， ∴f(－x)＝(－x)2＋2x－1. ∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－x2－2x＋1， ∵f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0. ∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝ 10．設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù)，在(－∞，0)上遞減，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　由題意知f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0， a2＋a＋1＝2＋>0， 且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)， 所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 綜合運(yùn)用 11．若f(x)滿足f(－x)＝f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，則(　　) A．f<f(－1)<f(2) B．f(－1)<f<f(2) C．f(2)<f(－1)<f D．f(2)<f<f(－1) [解析]　由已知可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是減函數(shù)，f＝f，f(－1)＝f(1)．∵1<<2， ∴f(1)>f>f(2)，即f(2)<f<f(－1)． [答案]　D 12．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，則f(x)＝(　　) A．x2 B．2x2 C．2x2＋2 D．x2＋1 [解析]　因?yàn)閒(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1, ① 所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1. 又f(x)為偶函數(shù)，f(－x)＝f(x)； g(x)為奇函數(shù)，g(－x)＝－g(x)， 所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1. ② 聯(lián)立①②可得f(x)＝x2＋1. [答案]　D 13．已知函數(shù)f(x)是定義在{x|x≠0}上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝2x2＋x－1，則當(dāng)x>0時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間是________． [解析]　當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x2＋x－1在上是遞減的，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的特征知，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間是. [答案]　 14．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(2)＝0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是________． [解析]　由題意知f(－2)＝f(2)＝0，當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，f(x)<f(－2)＝0，由對(duì)稱性知，x∈[0,2)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，f(x)<f(2)＝0，故x∈(－2,2)時(shí)，f(x)<0. [答案]　(－2,2) 15．定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足對(duì)?x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍． [解]　(1)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0， 令x1＝x，x2＝－x， 得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)． (2)因?yàn)閒(4)＝1，所以f(8)＝f(4)＋f(4)＝2， 所以原不等式化為f(x－1)<f(8)． 又因?yàn)閒(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，f(0)＝0且f(x)是奇函數(shù)， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，因此x－1<8， 所以x<9，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(－∞，9)． 5