線性代數(shù)課件：4-1 矩陣的特征值與特征向量

矩陣的特征值、特征向量和相似標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的特征值、特征向量和相似標(biāo)準(zhǔn)型的理論是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分。用矩陣的理論是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分。用矩陣來分析工程技術(shù)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)等問題時(shí)，經(jīng)常來分析工程技術(shù)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)等問題時(shí)，經(jīng)常要用到矩陣的特征值理論。要用到矩陣的特征值理論。本章主要介紹矩陣的特征值、特征向量本章主要介紹矩陣的特征值、特征向量和矩陣相似的概念和有關(guān)理論，討論矩陣在和矩陣相似的概念和有關(guān)理論，討論矩陣在相似意義下的對角化問題。相似意義下的對角化問題。第第一一節(jié)節(jié) 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量一一、矩陣的特征值與特征向量的概念矩陣的特征值與特征向量的概念二、矩陣的特征值與特征向量的求法二、矩陣的特征值與特征向量的求法三、矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)三、矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)1 矩陣的特征值與特征向量的概念一、矩陣的特征值和特征向量的概念寫成矩陣形式寫成矩陣形式 01013122xxyy或或 10 A其中其中 如果當(dāng)前的水平為如果當(dāng)前的水平為 011 則則 1101311414422141xy 例例 已知向量已知向量 111是是 2125312abA的一個(gè)特的一個(gè)特2121153111211ab即即 121ab8命題命題是是A的特征向量，則的特征向量，則只能屬于一個(gè)特征值只能屬于一個(gè)特征值.（2 2）若）若（1 1）屬于特征值）屬于特征值0的特征向量有無窮多個(gè)的特征向量有無窮多個(gè).9將此例推廣為一般情況，有將此例推廣為一般情況，有 命題命題二、矩陣的特征值和特征向量的求法二、矩陣的特征值和特征向量的求法問題問題：如何確定矩陣的特征值與特征向量？：如何確定矩陣的特征值與特征向量？1112121222120 (3)nnnnnnaaaaaaaaa根據(jù)上述分析，給出下面定義和定理根據(jù)上述分析，給出下面定義和定理.由由 515125100AE由由 111145500AE例例 求求 010120101A的特征值與特征向量的特征值與特征向量.310120(1)101AE 110100110010100000AE例例 求矩陣求矩陣 122224242 A的特征值與特征向量的特征值與特征向量.23122122224022242242rr AE322124020(2)(7)246cc 822101/27254011254000AE 1221222244000244000 AE20練習(xí)練習(xí) 設(shè)設(shè)求出求出A的全部特征值和特征向量的全部特征值和特征向量.110430102A三、矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)三、矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)25例例 設(shè)矩陣設(shè)矩陣110101,011A已知已知A的特征值為下列的特征值為下列4 4組中的一組：組中的一組：123,1231012;1232.A 解解 設(shè)設(shè)A A的全部特征值為的全部特征值為據(jù)上面的性質(zhì)知，據(jù)上面的性質(zhì)知，由此可排除由此可排除(A)，(B)，(D)，而，而(C)符合，所以選符合，所以選(C).).(A)(A)1,0,1;(1,0,1;(B)1,1,2;()1,1,2;(C)-1,1,2;()-1,1,2;(D)-1,1,1.)-1,1,1.問是哪一組？問是哪一組？