數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文小議數(shù)學符號的教與學.doc

小議數(shù)學符號的教與學With the study on mathematical symbols to teach 姓 名: 班 級： 指導教師： 完成時間： 2015年4月15日 目 錄 摘要 3Abstract 4第一章 數(shù)學符號的概述61.1 數(shù)學符號的發(fā)展史6 1.1.1 數(shù)學符號的形成6 1.1.2 現(xiàn)代的數(shù)學符號9第二章 數(shù)學符號產(chǎn)生的意義11 2.1 數(shù)學符號發(fā)展的意義11 2.1.1 數(shù)學符號對于數(shù)學發(fā)展的意義112.1.2 數(shù)學符號對于其他學科的意義11第三章 數(shù)學符號的教學123.1 數(shù)學符號的教學12 3.1.1 數(shù)學符號教學的中重點是準確理解其含義123.1.2 數(shù)學符號在教學中的注意事項143.1.3 關于數(shù)學符號在數(shù)學教學中的建議14參考文獻 17 小議數(shù)學符號的教與學摘要 符號是數(shù)學的語言，是人們進行表達、計算、推理、交流和解決數(shù)學問題的工具，學習數(shù)學的目的之一是使學生懂得數(shù)學符號的意義，會運用數(shù)學符號解決實際問題，發(fā)展學生的符號感。數(shù)學符號準確、清晰，具有簡約思維、提高效率、便于交流的功能。當數(shù)量、圖形之間的關系能夠用適當?shù)臄?shù)學符號表達后，人們就可以在這個基礎上，根據(jù)自己的需要，深入進行推理和計算，因而能更迅速地得到問題的解答或發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律。其次，縮短了學習的時間。初等數(shù)學發(fā)展到今天，已有兩千多年的歷史，內(nèi)容非常豐富，而其中主要的內(nèi)容今天能夠在小學和中學階段學完，這里數(shù)學符號是起了重要作用的，數(shù)學符號出現(xiàn)與發(fā)展對于人類數(shù)學史的進步意義重大。研究數(shù)學符號的發(fā)展尤其必要。關鍵詞：數(shù)學符號 數(shù)學史 發(fā)展意義 數(shù)學語言 教學 With the study on mathematical symbols to teachAbstract Symbols are the language of mathematics, it is the expression, reasoning, calculation, communication and a tool to solve mathematical problems, one of the purposes of mathematics learning is to make the students understand the meaning of mathematical symbol, will use mathematical symbols to solve practical problems, the development of students symbol sense. Clear and accurate, mathematical symbols, with simple thinking, improve efficiency, facilitate the communication function.When the relationship between quantity, between graphs be expressed with mathematical symbols appropriate, people can on this basis, according to their own needs, in-depth reasoning and calculation, and thus can more quickly get answers to questions or discover new rules. Secondly, shorten the learning time. Elementary mathematics development to today, has been two thousand years of history, the content is very rich, of which the main content today to finish in the primary school and middle school stage, here the mathematical symbol is played an important role in the emergence and development, the mathematical symbol for the progress of human history of mathematics significance. Research on the development of mathematical symbols is necessary especially. Key words: Mathematical symbols；The history of Mathematics； The significance of the develop-ment； The language of Mathematics；Teaching引 言 數(shù)學是一種符號型學科，從某種意義上來說，數(shù)學正是因為其簡練性和抽象性才顯示出其美麗，在新課程標準中也強調發(fā)展學生的符號感，所以也要求教師在教學過程中培養(yǎng)學生符號感。數(shù)學符號是數(shù)學語言，基本有三種形態(tài)，符號語言、文字語言、圖形語言，數(shù)學的教學離不開數(shù)學符號，數(shù)學符號是數(shù)學的重要組成部分，數(shù)學符號極大的方便了學習數(shù)學，加快了數(shù)學的發(fā)展，全球通用數(shù)學符號，使得數(shù)學更具國際化、全球化。通過探究數(shù)學符號，體驗數(shù)學符號語言、明化數(shù)學問題、簡化數(shù)學推理過程，從而促進人們創(chuàng)造新的數(shù)學思維。 第一章 數(shù)學符號的概述 1.1 數(shù)學符號的發(fā)展史1.1.1數(shù)學符號的形成數(shù)學是上帝用來書寫宇宙的文字伽利略 符號常能比發(fā)明他們的數(shù)學家更能推廣克萊恩 教學也是一種語言，且是現(xiàn)存的結構與內(nèi)容方面最完美的語言自然用這個語言講話、超世主也用這個語言講過話，而世界的保護者繼續(xù)用它講話戴爾曼 數(shù)學符號不僅隨著數(shù)學發(fā)展的需要而產(chǎn)生，而且也隨著數(shù)學的發(fā)展不斷完善。比如，古代各民族都有自己的記數(shù)符號，但在長期使用過程中，印度阿拉伯數(shù)碼記數(shù)方法顯示出更多的優(yōu)點，因而其他的數(shù)碼符號逐漸淘汰，國際上都采用了這種記數(shù)方法。 符號就是某種事物的代號，人們總是探索用簡單的記號去記錄復雜的事物，符號也正是這樣產(chǎn)生的。 一是來源于象形，實際上是縮小的圖形。如平行符號“”是兩條平行的直線；垂直符號“”是互相垂直的兩條直線；三角形符號“”是一個縮小了的三角形。二是來源于會意，即由圖形就可以看出某種特殊的意義。如用兩條長度相等的線段“=”并列在一起，表示等號；加一條斜線“”，表示不等號；用符號“”表示大于（左側大，右邊?。?，“”表示小于（左側小，右邊大）。三是來源于文字的縮寫。如我們以后將要學到的平方根號“”中的“”，是從拉丁字母Radix（根值）的第一個字母r演變而來。相似符號“”是把拉丁字母S橫過來寫，而S是Sindlar（相似）的第一個字母。還有大量的符號是人們經(jīng)過規(guī)定沿用下來的。當然這些符號并不是一開始就都是這種形狀，而是有一個演變過程的.下面我講具體介紹一些常用數(shù)學符號的來源： “+”號是由拉丁文“et”（“和”的意思）演變而來的。十六世紀，意大利科學家塔塔里亞用意大利文“plu”（加的意思）的第一個字母表示加，草為“”最后都變成了“+”號。 “”號是從拉丁文“minus”（“減”的意思）演變來的，簡寫m，再省略掉字母，就成了“”了.也有人說，賣酒的商人用“”表示酒桶里的酒賣了多少。以后，當把新酒灌入大桶的時候，就在“_”上加一豎，意思是把原線條勾銷，這樣就成了個“+”號。 到了十五世紀，德國數(shù)學家魏德美正式確定：“+”用作加號，“”用作減號。 乘號曾經(jīng)用過十幾種，現(xiàn)在通用兩種。一個是“”，最早是英國數(shù)學家奧屈特1631年提出的；一個是“”，最早是英國數(shù)學家赫銳奧特首創(chuàng)的。德國數(shù)學家萊布尼茨認為：“”號像拉丁字母“X”，加以反對，而贊成用“”號。他自己還提出用“”表示相乘?？墒沁@個符號現(xiàn)在應用到集合論中去了。 到了十八世紀，美國數(shù)學家歐德萊確定，把“”作為乘號。他認為“”是“+”斜起來寫，是另一種表示增加的符號。 “”最初作為減號，在歐洲大陸長期流行。直到1631年英國數(shù)學家奧屈特用“：”表示除或比，另外有人用“”（除線）表示除。后來瑞士數(shù)學家拉哈在他所著的代數(shù)學里，才根據(jù)群眾創(chuàng)造，正式將“”作為除號。 平方根號曾經(jīng)用拉丁文“Radix”（根）的首尾兩個字母合并起來表示，十七世紀初葉，法國數(shù)學家笛卡兒在他的幾何學中，第一次用“”表示根號?！啊笔怯衫∽志€“r”變，“”是括線。 十六世紀法國數(shù)學家維葉特用“=”表示兩個量的差別。可是英國牛津大學數(shù)學、修辭學教授列考爾德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數(shù)相等是最合適不過的了，于是等于符號“=”就從1540年開始使用起來。 1591年，法國數(shù)學家韋達在菱形中大量使用這個符號，才逐漸為人們接受。十七世紀德國萊布尼茨廣泛使用了“=”號，他還在幾何學中用“”表示相似，用“”表示全等。 大于號“”和小于號“1是不等式x21的正數(shù)解，用符號語言表示為：（1）0N；（2）長方形 平行四邊形；（3）x|x1=x|x21且x0。“、 、=”具有不同的含義，能夠彼此區(qū)別開來。 符號語言的精確性要求學生必須準確理解數(shù)學符號的含義。然而，學生對數(shù)學符號的認識普遍存在模糊性。例如學生對符號y=ax與y=xa的理解經(jīng)常模糊不清，原因在于對符號的含義理解不清。這種模糊性產(chǎn)生的根本原因是學生對數(shù)學概念、性質、定理把握不準。 由于數(shù)學符號具有高度的集約性、抽象性、豐富性、精確性，學生難以真正理解其含義。因此，如何幫助學生準確理解數(shù)學符號的含義便成為數(shù)學符號教學的重點和難點。數(shù)學符號教學容易停留在機械學習的層面，即學生在沒有充分理解數(shù)學符號的情況下，死記硬背數(shù)學公式或表達式，使得對數(shù)學符號語言的認識停留在表面上。任何一個符號表達式都包括兩方面內(nèi)容：語義內(nèi)容與語法內(nèi)容。語義內(nèi)容指符號表達式所表達的內(nèi)在數(shù)學含義，例如“a+b=b+a”這一表達式的語義內(nèi)容是：在“+”這種運算中，元素的次序不同并不影響運算的結果。語法內(nèi)容指符號表達式的形式結構。與機械學習相對的是奧蘇爾貝（D.P.Ausubel）的有意義的學習理論。數(shù)學有意義的學習是在思考、理解符號所表示的知識后，將其融會貫通的學習形式。有意義的學習過程就是在原有認知結構的基礎上形成新的認知結構的過程，原有認知結構是新的學習的最關鍵因素，一切新的學習都是在過去學習的基礎上產(chǎn)生的，通過與學生原來的有關知識相互聯(lián)系、相互作用后轉化為主體的知識結構。比如，如果學生僅從形式上記住函數(shù)y=f（x），那么，在遇到u=f（x）、s=f（t）時，就會認為是兩個不同函數(shù)。如果在理解函數(shù)y=f（x）的文字意義與符號意義的同時，還能將其與映射概念以及基本初等函數(shù)融會貫通，就能理解y=f（x）的真正含義。 使用通俗性語言數(shù)學符號的抽象性使學生普遍感到難以理解，因而成為教學的難點。中等數(shù)學涉及的符號大多是在逐次抽象中產(chǎn)生的，是對已經(jīng)符號化的問題進一步抽象化處理后的再數(shù)學化，是數(shù)學的內(nèi)部活動，具有更高的抽象性。這種不斷上升的、新的、更高級別的抽象程度是數(shù)學發(fā)展的一個重要特征。要使學生能夠接受并理解這種更高級別的抽象性，教學時就必須采用生動有趣、通俗易懂的語言，從具體的描述性語言開始，逐步抽象成比較簡約的語言。 遵循直觀性原則，建立具體模型人們總是希望借助直觀、具體的事物理解抽象的事物。針對中專學生形象思維能力較好、抽象思維能力較差的特點，筆者認為進行數(shù)學符號教學時，應遵循直觀性原則。直觀性原則指在教學中讓學生觀察所學事物或教師的形象描述，引導學生形成對所學事物的清晰表象，豐富他們的感性知識，使他們正確理解書本知識，發(fā)展其認識能力。直觀性原則反映了人類認識的基本規(guī)律。在引入一個新的數(shù)學符號時，首先要向學生介紹各種有代表性的實體模型，使同一知識對象可以通過多樣化的載體呈現(xiàn)出來，形成一定的感性認識。如在講授組合公式Cnm時，可以借助“從四名學生中任選兩人值日，有多少種分法？”“上、下午各一人值日有多少種分法？”等經(jīng)常發(fā)生在學生身邊的事例幫助學生理解該公式。 提倡動手實踐，獲得感性認識不少學生都存在對數(shù)學符號記不住、分不清的問題。他們認為數(shù)學就是枯燥的符號加概念、是數(shù)字游戲，沒有實際意義，習慣于教師講、學生聽的授課模式，很少主動探討問題。教育心理學研究表明，如果學生只聽講，不讀書，只能記住所學內(nèi)容的15%；如果只看書不聽講，只能記住所學內(nèi)容的25%；如果既讀書又聽講，則可記住所學內(nèi)容的65%；如果在聽講、讀書的同時動手實踐，讓耳、眼、口、手、腦等多種感官同時積極參與活動，相互影響、相互促進，則能獲得更好的學習效果。如講授組合公式時，可以讓學生自己動手“分一分”，歸納有多少種分法，“數(shù)一數(shù)”排列、組合的數(shù)值。學生在這些實物、模型、問題等元素的作用下，通過各種感官及大腦的復雜反應活動，建立起關于事物的特征與聯(lián)系的感覺、知覺、表象或觀念，從而獲得了對事物的感性認識。 運用科學思維方法，理解數(shù)學符號學生在獲得感性認知的基礎上，能否理解所學知識，與學生是否掌握科學的思維方法有關。思維方法是思維的鑰匙，掌握了科學的思維方法，才能對已獲得的感性材料進行合理加工、處理，把握事物的本質特性和內(nèi)在聯(lián)系，獲得簡潔的概括性認識。科學的思維方法和數(shù)學緊密聯(lián)系，體現(xiàn)在教學活動之中，并且在教學活動中得到培養(yǎng)和發(fā)展。在整個教學活動中，教師起到引導、點撥作用。以組合公式為例，教師引導學生采用猜想、檢驗、歸納等方法，根據(jù)定義脫離具體模型對符號的實質進行分析，讓學生掌握符號的抽象含義。這一過程超越了具體問題的情景，深刻揭示了不同問題的共同性、普遍性，提升了學生的認識、思考水平，使學生不但獲得了科學的思維方法，也了解了符號的特性，理解了符號的本質含義。 重視對比、辨析，認識符號本質要引導學生將新的數(shù)學符號與相關的舊知識進行對比，分析它們的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學生理解不同符號的內(nèi)在邏輯聯(lián)系和符號自身的含義。如將新符號y=ax與舊知識y=xa進行對比時，有的學生則因為概念不清，沒有理解符號的本質含義，將這兩個符號混淆在一起，教師在教學中應分析它們的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學生深入理解這兩組數(shù)學符號。 重視口頭語言與符號語言的轉化訓練數(shù)學語言要求極其精煉、準確、富有嚴密的邏輯性，對概念、定理的敘述必須嚴密完整、準確無誤，不可隨意編造、簡化，例如應讀成（稍停）的平方，不可讀成平方?？陬^語言是通過自己的敘述，重新對數(shù)學符號賦予意義。學生首先將符號語言內(nèi)化，然后將其轉化為口頭語言，也就是說，口頭語言能夠促進學生對符號語言的理解。在將符號語言轉化成口頭語言時，學生經(jīng)常感到“只能意會，無法言傳”，存在較大困難。另外，數(shù)學教育的根本目的在于幫助學生用數(shù)學的思維方法解決生活中的問題，準確地將文字語言轉化為符號語言是實現(xiàn)這一目標的基本要求。然而，學生對這兩種語言進行相互轉化的能力普遍較差，這種現(xiàn)象在立體幾何的學習中表現(xiàn)得尤為突出，學生常常對用符號語言表述證明過程感到困難?？梢?，培養(yǎng)學生對兩種語言相互轉化的能力不容忽視。 總之，數(shù)學符號語言教學具有長期性的特點，不可急于求成。 3.1. 2 數(shù)學符號教學的注意事項 1.認識上的誤區(qū)：由于在數(shù)學學習中存在著大量的數(shù)學符號，很多學生認為數(shù)學是一門神秘而又難于理解的學科，甚至部分數(shù)學成績不好的學生多年以后仍然對數(shù)學耿耿于懷。認為數(shù)學難學幾乎成了一個積重難返的現(xiàn)象。為什么很少人抱怨語文難學呢？（頂多有人說語文沒學好。）其實，語文和數(shù)學有共同之處，都是充滿語言的課程，只不過語文的主體內(nèi)容是大家司空見慣、非常熟悉的母語，而數(shù)學所包含的是數(shù)學語言，這其中的典型代表就是數(shù)學符號。對于這部分學生，說明他們沒有真正認識到數(shù)學符號的意義，誤解了數(shù)學符號出現(xiàn)、存在的功能及作用，所以覺得神秘又難學。 2.理解上的誤區(qū)：數(shù)學符號存在和應用于數(shù)學過程中，有著它特定的含義和背景。部分學生對數(shù)學符號的內(nèi)涵理解不夠，僅注重數(shù)學符號的外形，而忽視了數(shù)學符號的本質，對于數(shù)學公式存在著死記硬背的現(xiàn)象，本末倒置，效果很不好。 3.書寫上的誤區(qū)：教學中經(jīng)?？梢钥吹剑敵霈F(xiàn)新的數(shù)學符號時，部分學員會模仿書寫，或者到作業(yè)時發(fā)現(xiàn)對數(shù)學符號書寫不是很清楚，然后再去翻看教材，或者有些學生干脆自己造符號，這些都說明沒有掌握數(shù)學符號的規(guī)范寫法，主要表現(xiàn)在大小寫、正斜體不分、字母符號位置不對等。在此舉幾例學生易出現(xiàn)錯誤的數(shù)學符號對比： 例如“” “、” “、”等等 4.讀音上的誤區(qū)：對數(shù)學符號分不清是希臘字母還是英文字母，因此造成讀音上出現(xiàn)了錯誤。如：自然對數(shù)記號ln，不少學生甚至老師都把它讀成與log（勞格）完全一樣?？占浱枺芏嘟處煱阉x作希臘字母中“phi，讀音：斐”，其實是丹麥字母，讀作“歐”。極限一詞源于拉丁文“l(fā)imes”，縮寫為“l(fā)im”，讀音一般采用英文“l(fā)imit”的讀音。 3.1.3 關于數(shù)學符號在數(shù)學教學中的建議 1.正確認識數(shù)學符號的地位、作用和功能，消除數(shù)學符號的神秘感。要認識到數(shù)學符號在記述和表述抽象的數(shù)學思維中的功能，要高度重視它在數(shù)學教學和研究中的作用。正如英國數(shù)學家懷特海所作的精辟見解：“在數(shù)學中，符號的引入往往是為了理論的易于表述和解決問題，而不是使問題看起來更加復雜?！睌?shù)學家歐拉也特別強調，在教育和科研中符號的簡化和規(guī)則化既有助于學生的學習，又有助于數(shù)學的發(fā)展。 2.規(guī)范數(shù)學符號的書寫和讀法。數(shù)學符號的書寫、讀法一定要正確、準確，應以教材為標準達到規(guī)范化，尤其是規(guī)范如今大量使用的多媒體課件中出現(xiàn)的數(shù)學符號，同時要糾正學生中出現(xiàn)的錯誤。例如：， 這二者是舊體和新體之分； ，u前者是希臘字母，后者是英文字母。對數(shù)記號log源于拉丁文“l(fā)ogos”的縮寫，自然對數(shù)記號ln是英文“natural logarithm”的縮寫，二者的讀音不同。對最好讀作：“的自然對數(shù)”，不能讀作“（勞格x）”。 3.充分發(fā)揮數(shù)學符號的思維功能，讓學生理解數(shù)學符號的含義和實質，正確使用符號表示概念、運算和推理。在教學中，經(jīng)常會使用符號表述新的定義，要讓學生理解數(shù)學符號的表示是為了簡潔、直觀，數(shù)學符號表示的內(nèi)容和定義的內(nèi)涵是一致的。例如：矩陣乘法，這部分內(nèi)容非常重要，有些學生對概念理解不深刻，其實只要寫出，這就可以說明了大部分矩陣乘法的內(nèi)容。又如連續(xù)的定義，等式右端說明函數(shù)在點有定義，左端說明極限存在，整個等式要求在點處f(x)的極限與函數(shù)值相等。第一類換元積分法（也稱為湊微分法）是計算不定積分的一種重要方法，其實，我們可以把這種方法簡單的理解為，被積函數(shù)一部分是關于中間變量的函數(shù)，一部分是中間變量的導函數(shù)，在具體的求解時，發(fā)揮數(shù)學符號的思維功能，注意被積函數(shù)的特點，這樣有利于觀察得出中間變量。 4.充分發(fā)揮老師的主導作用，主動地、有意識地引導和訓練學生發(fā)現(xiàn)公式符號之間的區(qū)別和聯(lián)系。數(shù)學知識具有系統(tǒng)性、相關性，作為表達數(shù)學思維過程的數(shù)學符號之間也有著緊密的聯(lián)系。 5.充分發(fā)揮數(shù)學符號的文化功能，選擇數(shù)學史、數(shù)學符號史相關內(nèi)容，適當介紹數(shù)學符號中字母的來源或演變，使之與課堂教學內(nèi)容緊密結合，基于這樣幾點理由：學生已經(jīng)具備了較扎實的英文基礎；易于學生理解和記憶；減少數(shù)學符號的陌生感；增加數(shù)學符號的立體感；可適當調節(jié)數(shù)學課堂的氣氛和節(jié)奏。 四、結束語 數(shù)學符號作為數(shù)學教學的一部分內(nèi)容，往往沒有得到老師和學生應有的重視，相關的資料也比較匱乏，筆者在此談到的關于數(shù)學符號的問題和建議也只是皮毛而已，這需要廣大的老師和學生在教學和學習中注意數(shù)學符號的規(guī)范使用，注意如何恰到好處的使用符號，即“用準、用好”數(shù)學符號，充分發(fā)揮數(shù)學符號的功能，使之真正成為教學科研的得力助手和工具。 參考文獻： 1 作者1,作者2. 書名M. 出版地：出版社.出版時間. （宋體，五號）1 張景中，易南軒。數(shù)學美拾趣（第二版）M。北京：科學出版社.2004.2 作者1,作者2. 文章題目J. 學報或雜志名.出版年份,期號:頁碼范圍.3 作者1,作者2. 文章題目C. 年會學術論文集名（學術論文年會名稱）.