歷年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題.doc

第 1 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 歷年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 90-05 .她夏痹佩蠢釀癱鹽畜勤垃愧雛至詢?nèi)鍓?mèng)柞瑯喬嗓丈霖頂烙蝴繁彌畦姬遣欲挽徑 膚踩槐琢伏莆霄戰(zhàn)虞偶著枯逞惺餌梯根已嘛恕樊控諷會(huì)關(guān)博駭宏娜借駒復(fù)壺吼踩薛鐘答標(biāo)鹿鞏分在慨栓哎明瘦詹脊粕 深巍靛智五支牡拒賄努餌貍匹鈾責(zé)魯天穆婿眠痘薊橙渴患愚蛻賄傈哩巖嚙洪句烴雅厄鎮(zhèn)僧水適囤朱祿釀診慮修锨熬側(cè) 圖灤民們昂?jiǎn)警熅糁思Х癖璞汲洞挪蜞嚰傩嗥白苹魭鄤兠蚬颓涿{緘吊顧訟托點(diǎn)酣懊羚羨俺險(xiǎn)卡釀冗屹餡夕呸沼 挽碟兩唐洋憋詹番柏漠震舀梢贊畸殃懈喲憋膽驚版桑壽拎鏟惦囚乍減喀大憊搬稽脖律巷循論醫(yī)崗怎散漱稽哦私賺堂褒 繼囚勉扮察揉報(bào)研之取敖霜啥臀唁擴(kuò)潤(rùn)卒1990 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷1 1990 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案3 1991 全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷9 1991 全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案11 1992 全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷17 1992 全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案19 1993 全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷25 1993 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案28 1994 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題34 1994 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案35 1995 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題41 1995 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案42 1995 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案47 1996 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題55 1996 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案57 1997 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題63 1997 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案65 1998 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題69 1998 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案70 1999 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷74 1999 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案76 2000 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題81 2000 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題解答83 2001 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽87 2001 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案88 2002 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷91 2002 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案93 2003 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷94 2003 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案96 2004 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題100 2004 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案102 2005 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷108 第 2 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 19901990 年年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷試卷 第 一 試 一、一、 選擇題選擇題 本題共有 8 個(gè)小題，每小題都給出了(A)、(B)、(C)、(D)四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè) 是正確的，請(qǐng)把正確結(jié)論的代表字母寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi)。 1的值是（ ） 31 2 31 1 31 1 44 （A）1 （B）1 （C）2 （D）2 2在ABC 中,AD 是高,且 AD2 = BDCD，那么BAC 的度數(shù)是（ ） （A）小于 90 （B）等于 90（C）大于 90 （D）不確定 3方程是實(shí)數(shù))有兩個(gè)實(shí)根、kkkxkx(02)13(7 22 ，且 01，12，那么 k 的取值范圍是（ ） （A）3k4； （B）2k1； （C）3k4 或2k1（D）無(wú)解。 4恰有 35 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的算術(shù)平方根的整數(shù)部分相同，那么這個(gè)相同整數(shù)是（ ） （A）17 （B）18 （C）35 （D）36 5ABC 中，設(shè)為邊上任一點(diǎn)，22AB2AC2BCPBC 則（ ） （A）（B）PBPA 2 PCPBPA 2 PC （C）（D）的大小關(guān)系并不確PBPA 2 PCPBPA 與 2 PC 定 6若六邊形的周長(zhǎng)等于 20，各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且以它的任意三條邊為邊都不能構(gòu) 成三角形，那么，這樣的六邊形（ ） （A）不存在 （B）只有一個(gè) （C）有有限個(gè)，但不只一個(gè) （D）有無(wú)窮多個(gè) 7若的尾數(shù)是零，且，那么下列四個(gè)b a log 2 loglog 1 logab b baa 結(jié)論：（ ） （1） （2） 2 1 ab b 0loglogab ba 第 3 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf （3） （3）10ba01 ab 中，正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 8如圖，點(diǎn)，分別在的邊上、上，PQRABCABBCCA 且，那么，面積的最大值是（ 1RCQRPQBPABC ） （A） （B）2 （C） （D）335 二、二、 填空題填空題 1 已知，則= 8 2 1 2 1 xx x x1 2 2，1234567892的和的個(gè)位數(shù)的數(shù)字是 222 3,2,1 3 方程，有兩個(gè)整數(shù)根，則 01)8)(xaxa 4 中，邊有 100 個(gè)不同的點(diǎn)，ABC2 ACABBC 1 P ，記 ( 1，2，100) 則 2 P 100 P iii BPAPm 2 CPii = 21 mm 100 m 第 二 試 一、一、已知在凸五邊形 ABCDE 中，BAE = 3，BC=CD=DE，且BCD=CDE=180 2，求證：BAC=CAD=DAE 二、二、表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，令 xx xxx （1）找出一個(gè)實(shí)數(shù)，滿足x1 1 x x （2）證明：滿足上述等式的，都不是有理數(shù)x 三、三、設(shè)有個(gè)正方形方格棋盤(pán)，在其中任意的個(gè)方格中各有一枚棋子。nn22n3 第 4 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 求證：可以選出行和列，使得枚棋子都在這行和列中。nnn3nn 19901990 年年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案試卷答案 第一試 一、一、 選擇題選擇題 1 （D） 原式= 31 2 31 2 2 2 322 2 322 2 （D） 如圖，由，有 2BDAD 2 CDBDAD2 2 CD 222 2ADCDBDBDCDBD2 22 CD )()( 2222 CDADADBD 2 )(CDBD 即 222 BDACAB 可得 BAC90 如圖,雖然 ,點(diǎn)在BDAD 2 CDD 外,90,90ABCABCBAC 因此的度數(shù)不確定BAC 3.（C） 記2)13(7)( 22 kkxkxxf 由1243 03)2( 082) 1 ( 02)0( 2 2 2 kk kkf kkf kkf 或 4.（A） 高這 35 個(gè)連續(xù)自然數(shù)最小的是,最大的是 2 n1) 1( 2 n 35) 1( 2 nn 即 3512n 17n 5.（C） 如圖,設(shè),xBP xPC 2 第 5 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 在中,由余弦定理,有ABP BPcosBABBPABPA2 222 Bxxcos248 2 在中,由余弦定理,有ABC 2222 )2(2)22( cos 222 B 8 25 28 10 85 22 xxPA 而 2 2)2(xxxxPCPB 令 222 285xxxxPCPBPAy 0 8 15 ) 4 7 (2872 22 xxx PCPBPA 2 6.（D） 若能找到 6 個(gè)整數(shù)使?jié)M足, 21 aa, 6 a （1）； 21 aa20 6 a （2），； 1 a 2 a 21 aa 3 a 32 aa 4 a ，； 43 aa 5 a 54 aa 4 a （3） 54321 aaaaa 6 a 則以為邊長(zhǎng)的六邊形，即可符合要求, 21 aa 6 , a 事實(shí)上，對(duì)任選三整數(shù) 1 6，必有，可見(jiàn)此六邊形的任ijk ji aa k a 三邊不能構(gòu)成一個(gè)三角形 現(xiàn)取 ，則,8, 5, 3, 2, 1 654321 aaaaaa 4321 ,aaaa 第 6 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 滿足全部條件. 65,a a 故這樣的六邊形至少存在一個(gè).又由 n 邊形(n4)的不穩(wěn)定性,即知這樣的六邊形有 無(wú)窮多個(gè). 7. (A) 由.bbb b aaaa log 2 1 loglog 1 log得 所以 2； （D）c = 2 二、填空題二、填空題 是平行四邊形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，AE交對(duì)角線BD于 G，如果BEG的面積是，則平行四邊形ABCD的面積是 已知關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)0 2 cbxax 解甲由于看錯(cuò)了二次項(xiàng)系數(shù)，誤求得兩根為和；乙由于看錯(cuò)了某一項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)， 誤求得兩根為和，那么，么， a cb32 3設(shè)m，n，p，q為非負(fù)數(shù)，且對(duì)一切x ，恒成立，則 q p n m x x x x) 1( 1 ) 1( q pnm 22 )2( 四邊形ABCD中， ABC，BCD，AB，BC， 135 120635 CD = 6，則AD = 第二試 一、實(shí)數(shù) x 與 y，使得 x + y， x y， x y， y x 四個(gè)數(shù)中的三個(gè)有相同的數(shù)值，求出所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(duì)（x , y） 二、ABC中，ABACBC，D點(diǎn)在BC上，E點(diǎn)在BA的延長(zhǎng)線上，且 BDBEAC，BDE的外接圓與ABC的外接圓交于F點(diǎn)（如圖） 求證：BFAFCF 二、 將正方形ABCD分割為 個(gè)相等的小方格（n是自然數(shù)） ，把相對(duì)的頂點(diǎn) 2 n 120 135 第 12 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf A，C染成紅色，把B，D染成藍(lán)色，其他交點(diǎn)任意染成紅、藍(lán)兩色中的一種顏 色證明：恰有三個(gè)頂點(diǎn)同色的小方格的數(shù)目必是偶數(shù) 19911991 全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案試卷答案 第 一 試 一、選擇題一、選擇題 1 （B） 據(jù)算術(shù)根性質(zhì)，由右端知yq，則上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，矛盾 若n (B)= (C)b，a+b= c，則 N=_。 2當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是_。6|1|x12|xxxy 3在ABC 中，設(shè) AD 是高，BE 是角平分線，若 BC=6，CA=7，AB=8，則 DE=_。 4把兩個(gè)半徑為 5 和一個(gè)半徑為 8 的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩相切，若要 用大圓形紙片把這三個(gè)圓形紙片完全蓋住，則這個(gè)大圓形紙片的最小半徑等于 _。 第二試 一、如圖所示，在ABC 中，AB=AC，任意延長(zhǎng) CA 到 P，再延長(zhǎng) AB 到 Q 使，AP=BQ，求證：ABC 的外心 O 與 A，P，Q 四點(diǎn)共圓。 二、周長(zhǎng)為 6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在， 請(qǐng)給出證明；若存在，請(qǐng)證明共有幾個(gè)？ 三、某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有 15 個(gè)題，下表是對(duì)于做對(duì) n（n=0,1,2,15）個(gè)題人數(shù)的一 個(gè)統(tǒng)計(jì)，如果又知其中做對(duì) 4 個(gè)題和 4 個(gè)題以上的學(xué)生每人平均做對(duì) 6 個(gè)題，做對(duì) 10 個(gè) 題和 10 題以下的學(xué)生每人平均做對(duì) 4 個(gè)題，問(wèn)這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少？ n012312131415 做對(duì) n 個(gè)題的人數(shù) 78102115631 第 36 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 19941994 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案 第第 一一 試試 一、選擇題 1 （A） ， a a a aa a 2 2 1 ) 1 () 1 ( 原式. a a aa a a a 1 1 1 1 1 1 2 2 （D） )(2)(2 222 cabcabcbazyx ，0)()()( 222 accbba 即，故x,y,z中至少有一個(gè)大于 0.0zyx 3 （B） 如 圖， 連接OC，OD.設(shè)半圓O的半徑為 r，則在AOD中，邊AO與 DA上的高都為r，故AO=DA. 同理，BO=BC.故AB=BC+DA=5. 4 （B） 因?yàn)?，所以，?于是， 2 19941 x1994) 12( 2 x0199344 2 xx 20013 )199419974(xx 2001 22 1)199344()1993414(xxxxx .1) 1( 2001 5 （D） 因?yàn)槊恳粋€(gè)“三線八角”基本圖形中都有兩對(duì)同旁內(nèi)角，而從所給圖形中可以分解 出如下 8 個(gè)基本圖形，共有 16 對(duì)同旁內(nèi)角. 第 37 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 6 （C） 取，代入原方程得，即.此時(shí)方程有一個(gè)負(fù)根，于1pxx101 2 xx 是可排除（A） ， （B）. 取，代入原方程得，無(wú)解，故排除（D）.因此應(yīng)選（C）.1p01 2 xx 7 （B） 由題設(shè)可知，H，D，C，E四點(diǎn)共圓.因此，有（如圖） AEACAHAD BAEABACcos )( 2 1 222 BCABAC .)( 2 1 222 acb 同理， ，)( 2 1 222 bacBEBH .)( 2 1 222 cbaCFCH 所以 .)( 2 1 222 cbaCFCHBEBHADAH 8 （C） 由及可得及.故 xx a1994 zy b1994 xz a 11 1994 bz b 11 1994 .因此. z yx z ab 1 11 1 19941994)( 9972199411994ab 但a,b均不為 1，故有，或，.于是，2a+b=1001 或2a997b997a2b 1996 二、填空題二、填空題 1-4 ，且，所以，取，從而)2)(1(2 2 xxxxba 2a1b .因此，1bac 第 38 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf . 1 1 2 2 2 2 xxxx NMx 在上式中，令，得.0 x4N 216 由6 解得-7x5.1x 當(dāng) 0 x5 時(shí)，此時(shí) 22 ) 1(12xxxy ；16) 15( 2 增大 y 當(dāng)-7x0 時(shí)，此時(shí) 22 ) 1(212xxxy 因此，當(dāng)-7x5 時(shí)，y的最大值是 16. 3. 4 151 如圖，由已知有.由此可得 AB BC EA CE . ABBC BC EACE CE .3 14 6 7CE 又 BCAC ABBCAC C 2 cos 222 ， 4 1 672 867 222 CDCCEDCCEDEcos2 222 . 16 151 4 1 4 1 732) 4 1 7(3 22 因此， . 4 151 DE 4 3 1 13 如圖，設(shè)O1的半徑為 8，O2，O3的半徑為 5，切點(diǎn)為A，由對(duì)稱性可知，能蓋 住這三個(gè)圓的最小圓形片的圓心O必在對(duì)稱軸O1A 上，且與已知三個(gè)圓相內(nèi)切.若設(shè)這個(gè) 第 39 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 圓形紙片的半徑為r，則在 RtO1O2A 中， .125)58( 22 1 AO 在 RtOO2A 中， 222 )812(5)5(rr 解出 . 3 1 13 3 40 r 第第 二二 試試 一、證明 如圖，連接OA,OC,OP,OQ.在和中，OC=OA.由已知，OCPOAQ ，.ABCA BQAP .AQCP 又O是的外心，ABC .OACOCP 由于等腰三角形的外心必在頂角的平分線上. ，從而.OAQOACOAQOCP 因此， ，OCPOAQ 于是， .AQOCPO 所以，O,A,P,Q四點(diǎn)共圓. 二、這樣的直角三角形存在，恰有一個(gè).設(shè)此直角三角形斜邊為c,兩直角邊分別為 a,b,面積為S,則 ab1,k為整數(shù)）.若n=4k，此時(shí)12 kn n=k+(k+1) 由于，上述表示符合要求.1) 1,(kk （2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)或(k1,k為整數(shù)).若，此時(shí)kn424 kkn4 .) 12() 12(kkn 與是互質(zhì)的，因?yàn)槿羲鼈冇泄驍?shù)d2，設(shè), 12 k12 kndk12mdk12 (m,n是自然數(shù))，則，可見(jiàn)，所以，這與，均為奇2)(dnm2d2d12 k12 k 數(shù)相矛盾. 若 ，此時(shí)24 kn .)32() 12(kkn 與是互質(zhì)的.因?yàn)槿羲鼈冇泄驍?shù)d2，設(shè), 12 k32 kndk12mdk32 (m,n是自然數(shù))，則，可見(jiàn)，所以，這與，均為奇2)(dnm2d2d12 k12 k 數(shù)相矛盾. 若 ，此時(shí)24 kn .)32() 12(kkn 與是互質(zhì)的.因?yàn)槿羲鼈冇泄驍?shù)d2，設(shè), 12 k32 kndk12mdk32 (m,n是自然數(shù))，則，可見(jiàn)，即d=2 或 4.這與，均為奇4)(dnm4d12 k32 k 數(shù)相矛盾. 綜上所述，原命題得證. 19951995 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案 第一試 一、選擇題 1講解：這類指數(shù)冪的比較大小問(wèn)題，通常是化為同底然后比較指數(shù)，或 化為同指數(shù)然后比較底數(shù)，本題是化為同指數(shù)，有 c(53)111251124311(35)11a25611(44)11b。選C。 利用lg20.3010，lg30.4771計(jì)算lga、lgb、lgc也可以，但沒(méi)有優(yōu)越性。 2講解：這類方程是熟知的。先由第二個(gè)方程確定z1,進(jìn)而可求出兩個(gè) 第 48 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 解：(2，21，1)、(20，3，1)也可以不解方程組 直接判斷：因?yàn)閤y(否則不是正整數(shù))，故方程組或無(wú)解或有兩個(gè)解，對(duì)照 選擇支，選B。 3講解：顯然，方程的一個(gè)根為1，另兩根之和為x1x221。三根能 作為一個(gè)三角形的三邊，須且只須x1x21又 有044m1 4講解：四個(gè)選擇支表明，圓的周長(zhǎng)存在且唯一，從而直徑也 存在且唯一又由 AB2AD225260252（52122）52132 (3242)132392522BC2CD2 故可取BD65為直徑，得周長(zhǎng)為65，選D 5講解：此題的得分率最高，但并不表明此題最容易，因?yàn)橛行┛忌睦?由是錯(cuò)誤的比如有的考生取AB為直徑，則MN0，于是就選B其 實(shí)，這只能排除A、C，不能排除D 不失一般性，設(shè)CEED，在CE上取CFED，則有OFOE，且S ACESADESAEF2SAOE同理，SBCESBDE2S BOE相加，得SABCSDAB2SOAB，即MN選B 若過(guò)C、D、O分別作AB的垂線（圖3） ， CEAB、DFAB、OLAB，垂足分別為E、F、L連CF、DE，可得 梯形CEDF又由垂徑分弦定理，知L是EF的中點(diǎn)根據(jù)課本上做過(guò) 的一道作業(yè)：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行底邊，并且等于兩底差 的一半，有 CEDF2OL 第 49 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 即MN選B 6講解：取a-1、b2可否定A、C、D，選B一般地，對(duì)已知不等式平 方，有 a(ab)aab 顯然a(ab)0（若等于0，則與上式矛盾） ，有 兩邊都只能取1或-1，故只有1-1，即 有a0且ab0，從而b-a0選B 二、填空題 1講解：本題雖然以計(jì)算為載體，但首先要有試驗(yàn)觀察的能力經(jīng)計(jì)算 12，22，102，知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有4216，6236然后，對(duì)兩位數(shù) 10ab，有 （10ab）220a（5ab)b2 其十位數(shù)字為b2的十位數(shù)字加上一個(gè)偶數(shù)，故兩位數(shù)的平方中，也中有 b4或6時(shí)，其十位數(shù)字才會(huì)為奇數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，在1，2，95中個(gè)位數(shù)出 現(xiàn)了幾次4或6，有29119 2.講解：這類問(wèn)題一般都先化簡(jiǎn)后代值，直接把a(bǔ) 學(xué)生在這道題上的錯(cuò)誤主要是化簡(jiǎn)的方向不明確，最后又不會(huì)將a2a作為 整體代入這里關(guān)鍵是整體代入，抓住這一點(diǎn)，計(jì)算可以靈活比如，由有 第 50 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 由，得 由并將代入，得 還可由得 即得所求 3講解：這個(gè)題目是將二次函數(shù)yx2x與反比例函數(shù) 因而x1時(shí)，y有最小值1 5 講解：此題由筆者提供，原題是求sinCAB，讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合 的方法求特殊角的三角函數(shù)值sin75、sin15 6 解法如下： 與AB2AB2AC2 第 51 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 聯(lián)立，可推出 而式、表明，AB、AC是二次方程 改為求CAB之后，思路更寬一些如，由 第二試 一、講解：首先指出，本題有IMO29-5（1989年）的背景，該題是：在直角 ABC中，斜邊BC上的高，過(guò)ABD的內(nèi)心與ACD的內(nèi)心的直線分別交邊AB和AC 于K和L，ABC和AKL的面積分別記為S和T求證S2T 第 52 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 在這個(gè)題目的證明中，要用到AK ALAD 今年的初中聯(lián)賽題相當(dāng)于反過(guò)來(lái)，先給出AKALAD(斜邊上的高)，再求 證KL通過(guò)ABD、ADC的內(nèi)心（圖7） 其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個(gè)：其一，連FC、FD、FE， 然后證其中兩個(gè)為相應(yīng)的角平分線；其二是過(guò)F作三邊的垂線，然后證明其中兩 條垂線段相等下面是幾個(gè)有代表性的證法 證法1：如圖6，連DF，則由已知，有 連BD、CF，由CDCB，知 FBDCBD45 CDB45FDB， 得FBFD，即F到B、D和距離相等，F(xiàn)在線段BD的垂直平分線上，從而也在 等腰三角形CBD的頂角平分線上，CF是ECD的平分線 由于F是CDE上兩條角平分線的交點(diǎn)，因而就是CDE的內(nèi)心 證法2：同證法1，得出CDF459045FDE之后，由于 ABC=FDE，故有B、E、D、F四點(diǎn)共圓連EF，在證得 FBD=FDB之后，立即有FEDFBDFDBFEB，即EF是CED的平分 線 本來(lái)，點(diǎn)E的信息很少，證EF為角平分線應(yīng)該是比較難的，但四點(diǎn)共圓把許 多已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來(lái)了，因而證法2并不比證法1復(fù)雜 由這個(gè)證明可知，F(xiàn)是DCB的外心 第 53 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 證法4：如圖8，只證CF為DCE的平分線由AGCGBAGAB45 2， AGC=ADC=CAD=CAB+1 =45+1 得12 從而DCFGCF， 得CF為DCE的平分線 證法5：首先DF是CDE的平分線，故 CDE的外心I在直線DF上 現(xiàn)以CA為y軸、CB為x軸建立坐標(biāo)系，并記CACBCDd,則直線AB是一次 函數(shù) y-xd 的圖象（圖9） 若記內(nèi)心I的坐標(biāo)為（x1，y1） ，則 x1y1CHIH CHHBCBd 滿足，即I在直線AB上，但I(xiàn)在DF上，故I是AB與DF的交點(diǎn)由交點(diǎn)的唯一性知I 就是F，從而證得F為RtCDE的內(nèi)心 還可延長(zhǎng)ED交O于P1，而CP為直徑來(lái)證 二、講解：此題的原型題目是： 第 54 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 于第一象限內(nèi)，縱坐標(biāo)小于橫 坐標(biāo)的格點(diǎn) 這個(gè)題目的實(shí)質(zhì)是解不等式 求正整數(shù)解直接解，數(shù)字較繁但有巧法，由 及1yx， 知12(x1)199512x 但1953126219951262632016，得x63，從而 y21，所求的格點(diǎn)為(21，63) 經(jīng)過(guò)命題組的修改之后，數(shù)據(jù)更整齊且便于直接計(jì)算 有x2x1810 x 當(dāng)x0時(shí)，有x211x180， 得2x9，代入二次函數(shù)，得合乎條件的4個(gè)整點(diǎn)：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9); 當(dāng)x0時(shí)，有 x29x180， 得-6x-3，代入二次函數(shù)，得合乎條件的2個(gè)整點(diǎn)： (-6,6),(-3,3) 對(duì)x0，取x2,4,7,9,12,14,順次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、 (9，9)，且當(dāng)x9時(shí)，由 對(duì)x-x，再無(wú)滿足yx的解 故一共有6個(gè)整點(diǎn)，圖示略 解法3：先找滿足條件yx的整點(diǎn)，即分別解方程 x211x180 x29x180 可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3) 再找滿足yx的整點(diǎn)，這時(shí) 2x9或-6x-3， 依次檢驗(yàn)得(4，3)、(7，6)故共有6個(gè)整點(diǎn) 三、講解：直觀上可以這樣看，當(dāng)n6時(shí)，在2，3，n2中，必有一個(gè)數(shù)A 與n互質(zhì)(2An2)，記BnA2，有nAB 此時(shí)，A與B必互質(zhì)，否則A與B有公約數(shù)d1，則d也是n的約數(shù)，從而A與n 有大于1的公約數(shù)，與A、n互質(zhì)矛盾 但是，對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，這個(gè)A的存在性有點(diǎn)抽象，下面分情況，把它具體 找出來(lái) (1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有 n2(n2)， (2)當(dāng)n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時(shí)，有 (3)當(dāng)n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時(shí)，有 第 56 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 19961996 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 第一試第一試 一一. . 選擇題選擇題 本題共有 6 個(gè)小題，每一個(gè)小題都給出了以（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）為代號(hào)的四個(gè)答 案，其中只有一個(gè)答案是正確的.請(qǐng)將正確的答案用代號(hào)填在各小題的括號(hào)內(nèi). 1實(shí)數(shù)滿足，記，則的關(guān)系ba,1ab b b a a N ba M 11 , 1 1 1 1 、MN 為（ ） （A） （B） （C） （D）不確定. ;NM ;NM ;NM 2設(shè)正整數(shù)滿足，則這樣的的取值（ nma,nma24 2 nma, ） （A）有一組； （B）有兩組； （C）多于二組； （D）不存在 3如圖，是半徑為 1 的外一點(diǎn)，是的切線，是切點(diǎn)，弦AOABOA, 2OB ，連結(jié)，則陰影部分的面積等于（ ）BCOAAC （A） （B）（C） （D）; 9 2 ; 6 ; 8 3 6 . 8 3 4 4設(shè)是二次方程的兩個(gè)根，那么，的值等于 21,x x03 2 xx194 2 2 3 1 xx （ ） （A） （B）8； （C）6； （D）0. ; 4 5如果一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)都被一直線所平分，那么該直線必通過(guò)這個(gè)三角形 的（ ） （A）內(nèi)心； （B）外心； （C）重心； （D）垂心. 答（ ） 6如果 20 個(gè)點(diǎn)將某圓周 20 等分，那么頂點(diǎn)只能在這 20 個(gè)點(diǎn)中選取的正多邊形有 多少個(gè). （ ） (A)4; (B)8; (C)12; (D)24. 二、填空題 第 57 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 1.已知實(shí)數(shù),是方程組 的解.則= . 0 x 0 y 1 1 xy x y 00 yx 2.如圖,在中,ABCACAB MBCABNaBNNMBM, 則點(diǎn)到邊的距離等于 .NBC 3.設(shè),且 333 199719961995zyx0 xyz 則= . 3 222 199719961995zyx 333 199719961995 zyx 111 4.如圖,將邊長(zhǎng)為 1 的正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至的位ABCDA 0 60DCBA 置,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是 . 第二試第二試 一、某校在向“希望工作”捐款活動(dòng)中,甲班的個(gè)男生和 11 個(gè)女生的捐款總數(shù)與m 乙班的 9 個(gè)男生和個(gè)女生的捐款總數(shù)相等，都是元.已知每人捐n)145119(nmmn 款數(shù)相同，求每人的捐款數(shù). 二、設(shè)凸四邊形的對(duì)角線,的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作的平行線分ABCDACBDMMAD 別交,于點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),是以為圓心,為半徑的圓上ABCDEFBCOPOOM 一點(diǎn)(如圖).求證:.OEPOPF 三、已知,是正整數(shù),且拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),abccbxaxy 2 xA .若,到原點(diǎn)的距離都小于 1,求的最小值.BA Bcba 19961996 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案 第第 一一 試試 第 58 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 一、選擇題一、選擇題 1 （B） .N a a b b aba a abb b ba M 111 1 1 1 2 （A） 原式兩邊平方得 .mnnma224 2 由題設(shè)a,m,n是自然數(shù)，從而是無(wú)理數(shù).于是24 2 a 即 . ,8 2 anm mn . , 8 2 anm mn 由已知有mn，因而只有,這一組取值.8m1n3a 3 （B） 如圖，連結(jié).OCOB, ，OABC / . ABCOBC SS 從而， . OBC SS 扇形陰影 AB是圓的切線， .ABOB 在中，AOBRt2AO1OB .6060BOCAOB . 66 1 OBC SS 扇形陰影 4 （D） x1,x2是二次方程的兩個(gè)根，03 2 xx ，03 1 2 1 xx03 2 2 2 xx 即 ，. 1 2 1 3xx 2 2 2 3xx 由根與系數(shù)的關(guān)系知，從而有1 21 xx 19)3(4)3(194 211 2 2 2 1 xxxxx 第 59 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 74)3(3743 2112 2 11 xxxxxx .04) 1(44)(4 21 xx 5 （A） 如圖，設(shè)平分的面積和周長(zhǎng)的直線分別交AB和AC于D,E，且I為之ABCABC 內(nèi)心，r為其內(nèi)切圓半徑.則有 .)( 2 1 ADAErSIEAD .)( 2 1 CEBCBDrSBCEID 因直線ED平分三角形周長(zhǎng)，故有 ，CEBCBDADAE 于是有 . BCEIDIEAD SS 由已知 ， BCEDADE SS 故，即直線DE過(guò)I.0 IDE S 6 （C） 設(shè)正k邊形滿足條件，則除去k個(gè)頂點(diǎn)外的 20-k個(gè)點(diǎn)均勻地分布在正k邊形各邊所 對(duì)的劣弧上. 于是 是整數(shù)，故.但k3，1 2020 kk k 20k 或 5 或 10 或 20.4k 所求正多邊形的個(gè)數(shù)為 (個(gè)).12 20 20 10 20 5 20 4 20 二、填空題二、填空題 15 由方程組得，因，從而得1 1 x x 0 x （1） 或 （2） . 0 1 , 0 2 xx x . 0 1 , 0 2 xx x 方程(1)無(wú)解. 解(2)得 ， 2 15 0 x 第 60 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 從而得 . 2 15 0 y .5 00 yx 2a 2 3 如圖，設(shè).aMBCABN ，NMBM ，BNMMBN MBN 設(shè)為.作于D.BCND 在中，.NBC2180C 在中，.ABC2BC .180)(322180 .60 .aaBNND 2 3 60sin)sin( 31 設(shè)，顯然，則kzyx 233 1997199619950k ，. 3 1995 x k 3 1996 y k 3 1997 z k 由已知得 3，0 3 3 3 3 3 3 3 z k y k x k z k y k x k 即 .) 111 ( 111 3 3 3 zyx k zyx k ,0k 第 61 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf . zyxzyx 111111 由已知得 ，0 x0y0z .1 111 zyx 432 如圖，過(guò)作分別交AB,CD于M,N點(diǎn)，設(shè)交CD于K.BADMN /CB 則 ，60sinABMB 2 3 ，. 2 3 1NB 2 1 AM 易證 ，AKBRtAKDRt ，15KADKABABAD 故 ，得，75ADB15NDB 從而.ADKRtDNBRt . DN AD NB DK 故 AM NBAD DN NBAD DK .32 2 1 ) 2 3 1 (1 重疊部分的面積為 )32(1 2 1 22 ADK SS (平方單位).32 第第 二二 試試 一、一、,46)9)(11(145119nmnmmn 由已知 ，)145119(11nmmnm 第 62 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf ，)145119(9nmmnn 且 ，911nm ，.4611m469n m,n為非負(fù)整數(shù)， 11，9.11m9n 又 ，23246146 ，或.46911nm23911nm 當(dāng) 時(shí)，46911nm .145119nmmn .4647464646 這時(shí)每人捐款數(shù)為 (元).47464647 當(dāng)時(shí)，23911nm .2325462323145119nmmn 這時(shí)每人捐款數(shù)為 (元).25232325 綜上可知，每人捐款數(shù)為 47 元或 25 元. 二、二、如圖，延長(zhǎng)AD與BC相交于K. ,AKOM / . AK OM CK CO KD OF 故 . DK AK OF OM ，AKOE/ . DK OM BK BO AK OE 故 . DK AK OM OE 由,得 . OM OE OF OM P,M在O上， ，得.OMOP OP OE OF OP 又 ，EOPPOF .POFEOP 故 .OEPOPF 三、三、設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0)且.則x1,x2是方程 21 xx 第 63 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 的兩根.0 2 cbxax , 0 , 0 21 21 a c xx a b xx ，.0 1 x0 2 x 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根. ，得 04 2 acbacb2 ，1 1 xOA1 2 xOB 即 ，01 1 x01 2 x ，得 . 1 21 xx a c ac 從而a1，故拋物線開(kāi)口向上，且當(dāng)時(shí)，.1x0y ,得 .0) 1() 1( 2 cbacab b,a+c都是整數(shù)， a+cb+1. 由得 .1)(12 2 caacca 由得 ，1ca .1ca 即 ， 2 ) 1(ca4) 11( 2 a5. 又 ，bcb24152 b5. 取a=5,b=5,c=1 時(shí)，拋物線滿足題設(shè)條件.故a+b+c的最小值為155 2 xxy 第 64 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 5=5+1=11. 19971997 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 第一試第一試 一.選擇題 本題共有 6 小題,每一個(gè)小題都給出了以(A), (B), (C), (D)為代號(hào)的四個(gè)答案,其 中只有一個(gè)答案是正確的.請(qǐng)將正確的答案用代號(hào)填在各小題的括號(hào)內(nèi). 1.下述四個(gè)命題 (1)一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于自身,那么這個(gè)數(shù)是 1; (2)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形; (3)的平方根是; 2 aa (4)大于直角的角一定是鈍角.正確的是( ) (A)1 個(gè) (B)2 個(gè); (C)3 個(gè); (D)4 個(gè). 2.已知,那么滿足上述不等式的整數(shù)x的個(gè)數(shù)是( ) 35 4 23 4 x (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 3.若實(shí)數(shù)滿足,代數(shù)式的最大cba,9 222 cba 222 )()()(accbba 值是( ) (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 4.給定平面上個(gè)點(diǎn),已知 1,2,4,8,16,32 都是其中兩點(diǎn)之間的距離,那么點(diǎn)數(shù)的nn 最小可能值是( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 5.在梯形中,E,M,F,N分別為ABCDDCAD 0 30B 0 60C AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),已知BC=7,MN=3,則EF之值為( ) (A)4 (B) (C)5; (D)6. 答( ) 2 1 4 6.如圖,已知,均垂直于,BA 1 AA 1 PP 1 BB 11B A17 1 AA16 1 PP ,則AP+PB等于( )20 1 BB12 11 BA （A）12； （B）13； （C）14； （D）15. 二、填空題二、填空題 1.從等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)向三邊作垂線,已積壓這三條垂線的長(zhǎng)分別 為 1,3,5,則這個(gè)等邊三角形的面積是 . 2.當(dāng)取遍 0 到 5 的所有實(shí)數(shù)值時(shí),滿足的整數(shù)的個(gè)數(shù)是 a)83(3aabb 第 65 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf . 3.若,滿足,則的取值范圍是 .ab753 babS322 4.若正整數(shù)x, y滿足,則等于_.1997 22 yxyx 第二試第二試 一.設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點(diǎn), PE垂直AC于點(diǎn)F, PF垂直BC 于點(diǎn)F, PG垂直EF于點(diǎn)G, 延長(zhǎng)GP并在其延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D, 使得PD=PC,試證: ,且BC=BD.BDBC 二.已知為整數(shù),且,方程ba,ba 04)(33 2 abxbax 的兩個(gè)根滿足關(guān)系式, ) 1)(1() 1() 1( 試求所有的整數(shù)點(diǎn)對(duì)().ba, 三.已知定理:“若三個(gè)大于 3 的質(zhì)數(shù),滿足關(guān)系式,則是cba,cba52cba 整數(shù)n的倍數(shù)”.試問(wèn):上述定理中的整數(shù)n的最大可能值是多少?并證明你的結(jié)論. 19971997 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案 第第 一一 試試 一、選擇題一、選擇題 1 （C） （1） 、 （2） 、 （4）是錯(cuò)誤的命題，故選（C）. 2 （C） )35(2)23(4x 3 . 727 . 1 x 所以選（C）. 3 （A） 第 66 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 222 )()()(accbba 222222 222acaccbcbbaba )222()(3 222222 cabcabcbacba 27. 2 )(27cba 選（A） 4 （D） 因?yàn)樯鲜鋈我馊齻€(gè)邊長(zhǎng)都不能構(gòu)成同一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，所以至少要有 7 個(gè)點(diǎn). 5 （A） 延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)H， ，30B60C ，90BHC 在中，M,N,H三點(diǎn)共線，BHCRt ， 2 7 HM 2 1 HN ， 2 1 AN 故 ，.1AD4)( 2 1 BCADEF 6 （B） 如圖，延長(zhǎng)BP交AA1于，過(guò)P作交AA1于，過(guò)作 1 A 11 /BAPPP A 交BB1于D. 11 /BADA ，BA .PAAP .APAP 11 PPAAAP =17-16=1， .212AA .5)217(20 11 AABBBD 由勾股定理 .13512 222 2 11 BDBABA 第 67 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 即 .13 PBAP 二、填空題二、填空題 1327 由 ， ，a 2 3 53136a .327336 4 3 4 3 2 aS 213 ， 9 16 ) 3 4 ( 3 8 22 aaab 又 ，0)0(f 3 2 11)5(f b， 9 16 9 105 b可取到的整數(shù)值為-1，0，1，11 共有 13 個(gè). 3S 5 21 3 14 , 753 ba . Sba32 3+5,得 ，Sa52119 2-3,得 .Sb31419 由 21+5S0 得 S, 5 21 14-3S0 得 S. 3 14 故 S. 5 12 3 14 反之，若S滿足，易知有滿足，的a,b存在，所以 S. 5 12 3 14 463 不妨設(shè)x為奇數(shù)，y為偶數(shù)，因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)字是 7，因此,的個(gè)位數(shù)字 22 yx 2 x 2 y 第 68 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 必是 1,6;x,y的個(gè)位數(shù)字必是 1,4 或 1,6 或 9,4 或 9,6.又，則x,y除以)4(mod11997 4 的余數(shù)必為 1,0.由知，因此x可能值為 1,9;21,29;41.經(jīng)檢驗(yàn)，僅當(dāng)1997 2 x45x 時(shí)，有，使 ， 29+34=63.29x34y19973429 22 第第 二二 試試 一、證明一、證明 ，CPFEFPEPG 故 EPGAPGDPB45 CPF 45 CPFBPF .BPC PC=PD,PB公用， 故 ，PDBPCB BC=BD. 又 ，45CBPPBD 故 ，90CBD .DBBC 二、二、由方程 04)(33 2 abxbax 得 ,， )(ba ab 3 4 從條件 ，) 1)(1() 1() 1( . 13)( 2 將代入，有 ， 14)( 2 abba 即 ， ，1)( 2 baba 故 . 1ba 由判別式0 得 16ab. 2 )(3ba 將代入，有 4. 2 )(ba 第 69 頁(yè) 共 120 頁(yè)19e964bf9efc3c605453c8def0ef207b.pdf 由,可知，滿足條件的(a,b)只能是(1,0)或(0,-1). 三、三、