2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七單元 不等式與推理證明 第49講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理(含解析)新人教A版
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2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七單元 不等式與推理證明 第49講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理(含解析)新人教A版
第49講數(shù)學(xué)歸納法1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證n等于(D)A1 B2C3 D42用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xnyn能被xy整除,第二步假設(shè)應(yīng)寫成(D)A假設(shè)nk (k為正奇數(shù))時(shí)命題成立,再推證nk1時(shí)命題成立B假設(shè)n2k1時(shí) (kN*)命題成立,再推證n2k2時(shí)命題成立C假設(shè)n2k1時(shí) (kN*)命題成立,再推證n2k3時(shí)命題成立D假設(shè)n2k1時(shí) (kN*)命題成立,再推證n2k1時(shí)命題成立 k為正奇數(shù)時(shí),k1為正偶數(shù),A不正確;2k1為正奇數(shù)時(shí),2k2為正偶數(shù),B不正確;2k1與2k3 (kN*)雖為相鄰兩正奇數(shù),但1未包含其中,故C也不正確,應(yīng)選D.3平面內(nèi)有k條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點(diǎn)設(shè)k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k),則f(k1)與f(k)的關(guān)系為(D)Af(k1)f(k)k1 Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)k2 Df(k1)f(k)k 當(dāng)k條直線再增加一條時(shí),這條直線與前k條直線都有交點(diǎn),故當(dāng)增加一條直線時(shí),就增加了k個(gè)交點(diǎn),即f(k1)f(k)k.4設(shè)f(n) (nN*),那么f(n1)f(n)等于(D)A. B.C. D. 因?yàn)閒(n)為從n1到2n之間的連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)之和,所以f(n1),故f(n1)f(n).5用數(shù)學(xué)歸納法證明:1<n(nN且n>1),第一步要驗(yàn)證的不等式是1<2.6若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2an(nN*),且a11,通過計(jì)算a2,a3,a4,猜想an. 用不完全歸納法可得an.也可直接求出:因?yàn)镾nn2an,所以Sn1(n1)2an1(n2),兩式相減得ann2an(n1)2an1,即(n2),故ana1····.7設(shè)a>0,f(x),令a11,an1f(an),nN*.(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論 (1)因?yàn)閍11,所以a2f(a1)f(1);a3f(a2);a4f(a3).猜想:an.(2)證明:易知,n1時(shí),猜想正確假設(shè)nk時(shí),猜想正確,即ak,則ak1f(ak),這說明,nk1時(shí)猜想也正確由可知,對(duì)于任意nN*,都有an成立8某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān),若nk (kN*)時(shí)該命題成立,那么可推得當(dāng)nk1時(shí)命題也成立,現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)該命題不成立,那么可推得(C)A當(dāng)n6時(shí)該命題不成立 B當(dāng)n6時(shí)該命題成立C當(dāng)n4時(shí)該命題不成立 D當(dāng)n4時(shí)該命題成立 如果n4時(shí)命題成立,那么由題設(shè),可推得n5時(shí)命題也成立,上面的判斷作為一個(gè)命題,它的逆否命題是:如果n5時(shí)命題不成立,那么n4時(shí)命題也不成立,依據(jù)原命題等價(jià)于逆否命題,即原命題成立,則逆否命題也一定成立,應(yīng)選C.9平面上有k個(gè)圓,其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn),并且每三個(gè)圓都不交于同一點(diǎn),則在k個(gè)圓的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)圓,k1個(gè)圓將平面分成的區(qū)域在k個(gè)圓的基礎(chǔ)上增加2k塊 當(dāng)nk1時(shí),平面上增加了第k1個(gè)圓,它與原來的k個(gè)圓的每一個(gè)圓都相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),共2k個(gè)交點(diǎn),這2k個(gè)交點(diǎn)將第k1個(gè)圓分成2k段弧,每段弧將原來的一塊區(qū)域隔成了兩塊區(qū)域,故區(qū)域共增加了2k塊10設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求Sn;(2)問是否存在自然數(shù)n0,使得對(duì)n>n0的一切自然數(shù)n都有Sn>2?若存在,求最小的自然數(shù)n0,并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說明理由 (1)Sn,Sn,由得Sn1.所以Sn22.(2)要Sn>2,只需<,亦即<1.當(dāng)n6時(shí),<1成立假設(shè)當(dāng)nk(k6)時(shí)不等式成立,即<1.則當(dāng)nk1時(shí),·<<1.由可知,當(dāng)n>5時(shí),<1,即Sn>2.而當(dāng)n5時(shí),>1,從而Sn<2.因此,存在最小的自然數(shù)n05,對(duì)n>n0的一切自然數(shù)n都有Sn>2成立4