2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七單元 不等式與推理證明 第49講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第49講數(shù)學(xué)歸納法1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證n等于(D)A1 B2C3 D42用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除，第二步假設(shè)應(yīng)寫成(D)A假設(shè)nk (k為正奇數(shù))時(shí)命題成立，再推證nk1時(shí)命題成立B假設(shè)n2k1時(shí) (kN*)命題成立，再推證n2k2時(shí)命題成立C假設(shè)n2k1時(shí) (kN*)命題成立，再推證n2k3時(shí)命題成立D假設(shè)n2k1時(shí) (kN*)命題成立，再推證n2k1時(shí)命題成立 k為正奇數(shù)時(shí)，k1為正偶數(shù)，A不正確；2k1為正奇數(shù)時(shí)，2k2為正偶數(shù)，B不正確；2k1與2k3 (kN*)雖為相鄰兩正奇數(shù)，但1未包含其中，故C也不正確，應(yīng)選D.3平面內(nèi)有k條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)設(shè)k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)，則f(k1)與f(k)的關(guān)系為(D)Af(k1)f(k)k1 Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)k2 Df(k1)f(k)k 當(dāng)k條直線再增加一條時(shí)，這條直線與前k條直線都有交點(diǎn)，故當(dāng)增加一條直線時(shí)，就增加了k個(gè)交點(diǎn)，即f(k1)f(k)k.4設(shè)f(n) (nN*)，那么f(n1)f(n)等于(D)A. B.C. D. 因?yàn)閒(n)為從n1到2n之間的連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)之和，所以f(n1)，故f(n1)f(n).5用數(shù)學(xué)歸納法證明：1<n(nN且n>1)，第一步要驗(yàn)證的不等式是1<2.6若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2an(nN*)，且a11，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an. 用不完全歸納法可得an.也可直接求出：因?yàn)镾nn2an，所以Sn1(n1)2an1(n2)，兩式相減得ann2an(n1)2an1，即(n2)，故ana1····.7設(shè)a>0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論 (1)因?yàn)閍11，所以a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想：an.(2)證明：易知，n1時(shí)，猜想正確假設(shè)nk時(shí)，猜想正確，即ak，則ak1f(ak)，這說明，nk1時(shí)猜想也正確由可知，對(duì)于任意nN*，都有an成立8某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，若nk (kN*)時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)該命題不成立，那么可推得(C)A當(dāng)n6時(shí)該命題不成立 B當(dāng)n6時(shí)該命題成立C當(dāng)n4時(shí)該命題不成立 D當(dāng)n4時(shí)該命題成立 如果n4時(shí)命題成立，那么由題設(shè)，可推得n5時(shí)命題也成立，上面的判斷作為一個(gè)命題，它的逆否命題是：如果n5時(shí)命題不成立，那么n4時(shí)命題也不成立，依據(jù)原命題等價(jià)于逆否命題，即原命題成立，則逆否命題也一定成立，應(yīng)選C.9平面上有k個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不交于同一點(diǎn)，則在k個(gè)圓的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)圓，k1個(gè)圓將平面分成的區(qū)域在k個(gè)圓的基礎(chǔ)上增加2k塊 當(dāng)nk1時(shí)，平面上增加了第k1個(gè)圓，它與原來的k個(gè)圓的每一個(gè)圓都相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，共2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)將第k1個(gè)圓分成2k段弧，每段弧將原來的一塊區(qū)域隔成了兩塊區(qū)域，故區(qū)域共增加了2k塊10設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求Sn；(2)問是否存在自然數(shù)n0，使得對(duì)n>n0的一切自然數(shù)n都有Sn>2？若存在，求最小的自然數(shù)n0，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由 (1)Sn，Sn，由得Sn1.所以Sn22.(2)要Sn>2，只需<，亦即<1.當(dāng)n6時(shí)，<1成立假設(shè)當(dāng)nk(k6)時(shí)不等式成立，即<1.則當(dāng)nk1時(shí)，·<<1.由可知，當(dāng)n>5時(shí)，<1，即Sn>2.而當(dāng)n5時(shí)，>1，從而Sn<2.因此，存在最小的自然數(shù)n05，對(duì)n>n0的一切自然數(shù)n都有Sn>2成立4