2020屆高考數(shù)學二輪復習 專題5 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列練習 理

第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 專題復習檢測 A卷 1．(2018年天津南開區(qū)三模)若數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，則a2 018＝(　　) A．3　 B．1　　 C．－3　 D．4 【答案】B 2．設數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于(　　) A．0　 B．37　　 C．100　 D．－37 【答案】C 3．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝x·3n－1－，則x的值為(　　) A．　　　　 B．－　　 C．　 D．－ 【答案】C 4．(2019年陜西西安模擬)公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a7＝2a5，則數(shù)列{an}中與4a5的值相等的是(　　) A．a8　 B．a9　　　 C．a10　 D．a11 【答案】D 【解析】設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a7＝2a5，∴a1＋6d＝2(a1＋4d)，則a1＝－2d.∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，則4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11.故選D． 5．(2018年安徽合肥二模)中國古代數(shù)學有著很多令人驚嘆的成就，北宋沈括在《夢溪筆談》卷十八《技藝》篇中首創(chuàng)隙積術，即：將木桶一層層堆放成壇狀，最上一層長有a個，寬有b個，共計ab個木桶，每一層長寬各比上一層多一個，共堆放n層，設最底層長有c個，寬有d個，則共計有木桶個．假設最上層有長2寬1共2個木桶，每一層的長寬各比上一層多一個，共堆放15層，則木桶的個數(shù)為(　　) A．1 260　 B．1 360　　 C．1 430　 D．1 530 【答案】B 【解析】根據(jù)題意可知a＝2，b＝1，n＝15，則c＝2＋14＝16，d＝1＋14＝15，代入題中所給的公式，可計算出木桶的個數(shù)為＝1 360. 6．等比數(shù)列{an}的首項a1＝－1，前n項和為Sn，若＝，則公比q＝________. 【答案】－ 【解析】由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比數(shù)列前n項和的性質知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列且公比為q5，故q5＝－，q＝－. 7．(2019年湖南懷化一模)已知f(x)＝(x－4)3＋x－1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，則f(a5)的值為________． 【答案】3 【解析】∵f(x)＝(x－4)3＋x－1，∴f(x)－3＝(x－4)3＋x－4＝g(x－4)．令x－4＝t，可得g(t)＝t3＋t為奇函數(shù)且單調遞增．{an}是公差不為0的等差數(shù)列，∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，∴g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a9)＝0，∴g(a5)＝0，則f(a5)＝g(a5)＋3＝3. 8．(2018年福建福州模擬)設等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d.若ak是a6與ak＋6的等比中項，則k＝________. 【答案】9 【解析】∵ak是a6與ak＋6的等比中項， ∴a＝a6ak＋6.又等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d， ∴[a2＋(k－2)d]2＝(a2＋4d)[a2＋(k＋4)d]，化簡得(k－3)2＝3(k＋3)，解得k＝9或k＝0(舍去)． 9．在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an； (2)設bn＝log3an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 【解析】(1)設{an}的公比為q，依題意得 解得因此an＝3n－1. (2)因為bn＝log3an＝n－1， 所以數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝＝. 10．(2019年廣西河池模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通項公式； (2)判斷{an}是否為等差數(shù)列． 【解析】(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2， ∴當n≥2時，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1. ∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3. 又a1＝S1＝1，不滿足an＝－4n＋3， ∴數(shù)列{an}的通項公式是an＝ (2)由(1)知，當n≥2時，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4， 但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4， ∴{an}不滿足等差數(shù)列的定義，{an}不是等差數(shù)列． B卷 11．(2019年江西南昌模擬)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，(a1＋a3)(a5＋a7)＝4a，則下列結論中正確的是(　　) A．數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 B．數(shù)列{an}是遞減數(shù)列 C．數(shù)列{an}是常數(shù)列 D．數(shù)列{an}有可能是遞增數(shù)列也有可能是遞減數(shù)列 【答案】C 【解析】各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，因為(a1＋a3)(a5＋a7)＝4a成立，即a1a5＋a1a7＋a3a5＋a3a7＝4a成立．利用等比數(shù)列的定義和性質化簡可得a＋a＋a＋a＝4a，進一步化簡得a＋a＝2a.設公比為q，則得aq4＋aq8＝2aq6，化簡可得1＋q4＝2q2，即(q2－1)2＝0，所以q2＝1，故q＝1(由于各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，故q＝－1舍去)．故此等比數(shù)列是常數(shù)列．故選C． 12．(2019年遼寧沈陽一模)已知數(shù)列{an}的首項a1＝m，其前n項和為Sn，且滿足Sn＋Sn＋1＝3n2＋2n，若對任意n∈N*，an<an＋1恒成立，則m的取值范圍是________． 【答案】 【解析】當n＝1時，2a1＋a2＝5.因為a1＝m，所以a2＝5－2m.當n≥2時，Sn－1＋Sn＝3(n－1)2＋2(n－1)，和已知兩式相減得an＋an＋1＝6n－1①，即an－1＋an＝6n－7②，①－②得an＋1－an－1＝6(n≥3)，所以數(shù)列{an}的偶數(shù)項成等差數(shù)列，奇數(shù)項從第三項起是等差數(shù)列，a3＝6＋2m，a2k＝a2＋6(k－1)＝5－2m＋6k－6＝6k－2m－1，a2k＋1＝a3＋6(k－1)＝6＋2m＋6(k－1)＝6k＋2m.若對任意n∈N*，an<an＋1恒成立，即當n＝1時，a1<a2?m<.n＝2k＋1時，a2k＋1<a2k＋2?6k＋2m<6k－2m＋5?m<.當n＝2k時，a2k<a2k＋1，即6k－2m－1<6k＋2m，解得m>－，所以m的取值范圍是. 13．(2018年上海)給定無窮數(shù)列{an}，若無窮數(shù)列{bn}滿足：對任意n∈N*，都有|bn－an|≤1，則稱{bn}與{an}“接近”． (1)設{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，bn＝an＋1＋1，n∈N*，判斷數(shù)列{bn}是否與{an}接近，并說明理由； (2)設數(shù)列{an}的前四項為a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，{bn}是一個與{an}接近的數(shù)列，記集合M＝{x|x＝bi，i＝1,2,3,4}，求M中元素的個數(shù)m； (3)已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列{bn}滿足：{bn}與{an}接近，且在b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中至少有100個為正數(shù)，求d的取值范圍． 【答案】【解析】(1)數(shù)列{bn}與{an}接近，理由如下： ∵{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列， ∴an＝，bn＝an＋1＋1＝＋1. ∴|bn－an|＝＝1－＜1，n∈N*. ∴數(shù)列{bn}與{an}接近． (2)∵{bn}與{an}接近，∴an－1≤bn≤an＋1. ∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，∴b1∈[0,2]，b2∈[1,3]，b3∈[3,5]，b4∈[7,9]． 可能b1與b2相等，b2與b3相等，但b1與b3不相等，b3與b4不相等， 集合M＝{x|x＝bi，i＝1,2,3,4}，M中元素的個數(shù)m＝3或4. (3)依題意，得an＝a1＋(n－1)d. ①若d＞0，取bn＝an，得bn＋1－bn＝an＋1－an＝d＞0， 則b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中有200個正數(shù)，符合題意； ②若d＝0，取bn＝an－，則|bn－an|＝＝≤1，n∈N*，得bn＋1－bn＝－＞0， 則b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中有200個正數(shù)，符合題意； ③若－2＜d＜0，可令b2n－1＝a2n－1－1，b2n＝a2n＋1， 則b2n－b2n－1＝a2n＋1－(a2n－1－1)＝2＋d＞0， 則b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中至少有100個正數(shù)，符合題意； ④若d≤－2，若存在數(shù)列{bn}滿足：{bn}與{an}接近， 即an－1≤bn≤an＋1，an＋1－1≤bn＋1≤an＋1＋1， 得bn＋1－bn≤an＋1＋1－(an－1)＝2＋d≤0， b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中無正數(shù)，不符合題意． 綜上，d的取值范圍是(－2，＋∞)． - 5 -