2020年高考數(shù)學一輪復習 考點題型 課下層級訓練05 基本不等式（含解析）

課下層級訓練(五)　基本不等式 [A級　基礎強化訓練] 1．已知a，b∈R，且ab≠0，則下列結論恒成立的是(　　) A．a(chǎn)＋b≥2　　　　 B．＋ ≥2 C． ≥2 D．a(chǎn)2＋b2＞2ab 【答案】C　[對A，當a＜0，b＜0時不成立；對B，只有當a，b同號時成立；對D，當a＝b時，有a2＋b2＝2ab；對C，由于與同號，滿足，綜上可知C正確．] 2．(2019·黑龍江大慶月考)當x>0時，函數(shù)f(x)＝有(　　) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B　[f(x)＝ ≤＝1.當且僅當x＝，x>0即x＝1時取等號．所以f(x)有最大值1.] 3．(2019·山東臨沂月考)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　) A．[0，2] B．[－2，0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 【答案】D　[由1＝2x＋2y≥2·，變形為2x＋y≤，即x＋y≤－2，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號，則x＋y的取值范圍是(－∞，－2]．] 4．(2019·山東棗莊月考)高三學生在新的學期里，剛剛搬入新教室，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高，當教室在第n層樓時，上下樓造成的不滿意度為n，但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨教室所在樓層升高，環(huán)境不滿意度降低．設教室在第n層樓時，環(huán)境不滿意度為，則同學們認為最適宜的教室應在(　　) A．2樓 B．3樓 C．4樓 D．8樓 【答案】B　[由題意知，同學們總的不滿意度y＝n＋ ≥2 ＝4，當且僅當n＝，即n＝2≈3時，不滿意度最小，所以同學們認為最適宜的教室應在3樓．] 5．設a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a＋b的取值范圍是(　　) A．[－2，2 ] B．[－2，2 ] C．[－， ] D．[0， ] 【答案】A　[∵a2＋b2＝10，∴由基本不等式a2＋b2≥2ab得2(a2＋b2) ≥2ab＋a2＋b2＝(a＋b)2， 即(a＋b)2≤2(a2＋b2)＝20， ∴－2 ≤a＋b≤2.] 6．已知a>0，b>0，a，b的等比中項是1，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是________. 【答案】4　[由題意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b) ≥4＝4. 當且僅當a＝b＝1時取等號．] 7．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________. 【答案】30　[設總費用為y萬元，則y＝×6＋4x＝4 ≥240.當且僅當x＝，即x＝30時，等號成立．] 8．(2019·山東威海檢測)已知a＞0，則的最小值為________. 【答案】－1　[＝＝4a－5＋.∵a＞0，∴4a－5＋ ≥2 －5＝－1，當且僅當4a＝，即a＝時取等號，∴的最小值為－1.] 9．若a>0，b>0，且＋＝. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并說明理由． 【答案】解：　(1)因為a>0，b>0，且＋＝， 所以＝＋ ≥2，所以ab≥2， 當且僅當a＝b＝時取等號． 因為a3＋b3≥2 ≥2＝4， 當且僅當a＝b＝時取等號， 所以a3＋b3的最小值為4. (2)由(1)可知，2a＋3b≥2＝2 ≥4>6， 故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立． [B級　能力提升訓練] 10．(2019·山東青島模擬))已知a＞b，ax2＋2x＋b≥0對于一切實數(shù)x恒成立，又?x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，則的最小值為(　　) A．1 B． C．2 D．2 【答案】D　[∵ax2＋2x＋b≥0對一切實數(shù)x恒成立， ∴又∵?x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，∴Δ＝4－4ab≥0， 故只能4－4ab＝0，即ab＝1. ∴＝＝(a－b)＋ ≥2.] 11．(2019·山東濰坊檢測)設正實數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則＋的最小值為________. 【答案】1　[因為a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由基本不等式有＋ ≥2 ＝，當且僅當a＝2b即時取等號，故所求最小值為1.] 12．定義運算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，當x＞0，y＞0時，x?y＋(2y)?x的最小值為________. 【答案】　[由題意，得x?y＋(2y)?x＝＋＝ ≥＝，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號．] 13．(2019·福建廈門月考)某廠家擬在2018年舉行促銷活動，經(jīng)調查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x＝3－(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元．每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)． (1)將2018年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)； (2)該廠家2018年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？ 【答案】解　(1)由題意知，當m＝0時，x＝1(萬件)， ∴1＝3－k?k＝2，∴x＝3－， 每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×(元)， ∴2018年的利潤y＝1.5x×－8－16x－m ＝－＋29(m≥0)． (2)∵m≥0時，＋(m＋1) ≥2＝8， ∴y≤－8＋29＝21， 當且僅當＝m＋1?m＝3(萬元)時，ymax＝21(萬元)． 故該廠家2018年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元． 4