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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(謝永欽)課后習(xí)題答案.doc

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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(謝永欽)課后習(xí)題答案.doc

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題 一4.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P().【解】 P()=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.66.設(shè)A,B,C為三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=+-=8.對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題:(1) 求五個(gè)人的生日都在星期日的概率; (2) 求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率;(3) 求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.【解】(1) 設(shè)A1=五個(gè)人的生日都在星期日,基本事件總數(shù)為75,有利事件僅1個(gè),故 P(A1)=()(亦可用獨(dú)立性求解,下同)(2) 設(shè)A2=五個(gè)人生日都不在星期日,有利事件數(shù)為65,故P(A2)=()5(3) 設(shè)A3=五個(gè)人的生日不都在星期日 P(A3)=1-P(A1)=1-()510.一批產(chǎn)品共N件,其中M件正品.從中隨機(jī)地取出n件(n30.如圖陰影部分所示. 22.從(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),求:(1) 兩個(gè)數(shù)之和小于的概率; (2) 兩個(gè)數(shù)之積小于的概率.【解】 設(shè)兩數(shù)為x,y,則0 x,y1. (1) x+y. (2) xy=. 23.設(shè)P()=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5,求P(BA)【解】 24.在一個(gè)盒中裝有15個(gè)乒乓球,其中有9個(gè)新球,在第一次比賽中任意取出3個(gè)球,比賽后放回原盒中;第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球,求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率.【解】 設(shè)Ai=第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球,i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均為新球由全概率公式,有 25. 按以往概率論考試結(jié)果分析,努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格,不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查,學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的,試問:(1)考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人? (2)考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人?【解】設(shè)A=被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的,則=被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的.由題意知P(A)=0.8,P()=0.2,又設(shè)B=被調(diào)查學(xué)生考試及格.由題意知P(B|A)=0.9,P(|)=0.9,故由貝葉斯公式知 (1)即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%(2) 即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來,接收站收到時(shí),A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為21.若接收站收到的信息是A,試問原發(fā)信息是A的概率是多少?【解】 設(shè)A=原發(fā)信息是A,則=原發(fā)信息是B C=收到信息是A,則=收到信息是B由貝葉斯公式,得 27.在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊颍嚽笙渥又性幸话浊虻母怕剩ㄏ渲性惺裁辞蚴堑瓤赡艿念伾挥泻?、白兩種)【解】設(shè)Ai=箱中原有i個(gè)白球(i=0,1,2),由題設(shè)條件知P(Ai)=,i=0,1,2.又設(shè)B=抽出一球?yàn)榘浊?由貝葉斯公式知28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品,檢查產(chǎn)品時(shí),一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02,一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05,求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】 設(shè)A=產(chǎn)品確為合格品,B=產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品由貝葉斯公式得 29.某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類:“謹(jǐn)慎的”,“一般的”,“冒失的”.統(tǒng)計(jì)資料表明,上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30;如果“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故,則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少?【解】 設(shè)A=該客戶是“謹(jǐn)慎的”,B=該客戶是“一般的”, C=該客戶是“冒失的”,D=該客戶在一年內(nèi)出了事故則由貝葉斯公式得 30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序,設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互獨(dú)立的,求加工出來的零件的次品率.【解】設(shè)Ai=第i道工序出次品(i=1,2,3,4). 31.設(shè)每次射擊的命中率為0.2,問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊. 即為 故 n11至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.32.證明:若P(AB)=P(A),則A,B相互獨(dú)立.【證】 即 亦即 因此 故A與B相互獨(dú)立.33.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,他們能破譯的概率分別為,求將此密碼破譯出的概率.【解】 設(shè)Ai=第i人能破譯(i=1,2,3),則 34.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊,設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7,若只有一人擊中,則飛機(jī)被擊落的概率為0.2;若有兩人擊中,則飛機(jī)被擊落的概率為0.6;若三人都擊中,則飛機(jī)一定被擊落,求:飛機(jī)被擊落的概率.【解】設(shè)A=飛機(jī)被擊落,Bi=恰有i人擊中飛機(jī),i=0,1,2,3由全概率公式,得 =(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.45835.已知某種疾病患者的痊愈率為25%,為試驗(yàn)一種新藥是否有效,把它給10個(gè)病人服用,且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效,反之則認(rèn)為無效,求:(1) 雖然新藥有效,且把治愈率提高到35%,但通過試驗(yàn)被否定的概率. (2) 新藥完全無效,但通過試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.【解】(1) (2) 36.一架升降機(jī)開始時(shí)有6位乘客,并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率: (1) A=“某指定的一層有兩位乘客離開”; (2) B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”; (3) C=“恰有兩位乘客在同一層離開”; (4) D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開,故所有可能結(jié)果為106種. (1) ,也可由6重貝努里模型: (2) 6個(gè)人在十層中任意六層離開,故 (3) 由于沒有規(guī)定在哪一層離開,故可在十層中的任一層離開,有種可能結(jié)果,再從六人中選二人在該層離開,有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開的情況,因此可包含以下三種離開方式:4人中有3個(gè)人在同一層離開,另一人在其余8層中任一層離開,共有種可能結(jié)果;4人同時(shí)離開,有種可能結(jié)果;4個(gè)人都不在同一層離開,有種可能結(jié)果,故 (4) D=.故 37. n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐,求下列事件的概率:(1) 甲、乙兩人坐在一起,且乙坐在甲的左邊的概率; (2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3) 如果n個(gè)人并排坐在長桌的一邊,求上述事件的概率.【解】 (1) (2) (3) 38.將線段0,a任意折成三折,試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】 設(shè)這三段長分別為x,y,a-x-y.則基本事件集為由 0 xa,0ya,0a-x-y乙反)由對(duì)稱性知P(甲正乙正)=P(甲反乙反) 因此P(甲正乙正)=46.證明“確定的原則”(Sure-thing):若P(A|C)P(B|C),P(A|)P(B|),則P(A)P(B).【證】由P(A|C)P(B|C),得 即有 同理由 得 故 47.一列火車共有n節(jié)車廂,有k(kn)個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客的概率.【解】 設(shè)Ai=第i節(jié)車廂是空的,(i=1,n),則 其中i1,i2,in-1是1,2,n中的任n-1個(gè). 顯然n節(jié)車廂全空的概率是零,于是 故所求概率為 48.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中,某一事件A出現(xiàn)的概率為0.試證明:不論0如何小,只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn),則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗(yàn)中,A至少出現(xiàn)一次的概率為 49.袋中裝有m只正品硬幣,n只次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國徽).在袋中任取一只,將它投擲r次,已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少?【解】設(shè)A=投擲硬幣r次都得到國徽 B=這只硬幣為正品由題知 則由貝葉斯公式知50.巴拿赫(Banach)火柴盒問題:某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴,每盒有N根火柴,每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少?第一次用完一盒火柴時(shí)(不是發(fā)現(xiàn)空)而另一盒恰有r根的概率又有多少?【解】以B1、B2記火柴取自不同兩盒的事件,則有.(1)發(fā)現(xiàn)一盒已空,另一盒恰剩r根,說明已取了2n-r次,設(shè)n次取自B1盒(已空),n-r次取自B2盒,第2n-r+1次拿起B(yǎng)1,發(fā)現(xiàn)已空。把取2n-r次火柴視作2n-r重貝努里試驗(yàn),則所求概率為 式中2反映B1與B2盒的對(duì)稱性(即也可以是B2盒先取空).(2) 前2n-r-1次取火柴,有n-1次取自B1盒,n-r次取自B2盒,第2n-r次取自B1盒,故概率為 51.求n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】 設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由 以上兩式相減得所求概率為 若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率,則只要將兩式相加,即得 .52.設(shè)A,B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件,求P(+B)(A+B)(+)(A+)的值.【解】因?yàn)椋ˋB)()=AB (B)(A)=AB所求 故所求值為0.53.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件,A,B和C滿足條件: ABC=F,P(A)=P(B)=P(C) 1/2,且P(ABC)=9/16,求P(A).【解】由故或,按題設(shè)P(A),故P(A)=.54.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等,求P(A).【解】 故 故 由A,B的獨(dú)立性,及、式有故 故或(舍去) 即P(A)=.55.隨機(jī)地向半圓0y0,P(A|B)=1,試比較P(AB)與P(A)的大小. (2006研考)解:因?yàn)?所以.習(xí)題二1.一袋中有5只乒乓球,編號(hào)為1,2,3,4,5,在其中同時(shí)取3只,以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼,寫出隨機(jī)變量X的分布律.【解】 故所求分布律為X345P0.10.30.62.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽樣,以X表示取出的次品個(gè)數(shù),求:(1) X的分布律;(2) X的分布函數(shù)并作圖; (3) .【解】 故X的分布律為X012P(2) 當(dāng)x0時(shí),F(xiàn)(x)=P(Xx)=0 當(dāng)0 x1時(shí),F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(X=0)= 當(dāng)1x2時(shí),F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)= 當(dāng)x2時(shí),F(xiàn)(x)=P(Xx)=1故X的分布函數(shù) (3) 3.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊,每次擊中率為0.8,求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù),并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0,1,2,3. 故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù) 4.(1) 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 PX=k=,其中k=0,1,2,0為常數(shù),試確定常數(shù)a.(2) 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 PX=k=a/N, k=1,2,N,試確定常數(shù)a.【解】(1) 由分布律的性質(zhì)知 故 (2) 由分布律的性質(zhì)知 即.5.甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次,求: (1) 兩人投中次數(shù)相等的概率; (2) 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù),則Xb(3,0.6),Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.2436.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有200架飛機(jī)在此降落,任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02,且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道,才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)?【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù),則Xb(200,0.02),設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N條跑道,則有 即 利用泊松近似 查表得N9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù),則Xb(1000,0.0001) 8.已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足PX=1=PX=2,求概率PX=4.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p,則 故 所以 .9.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí),指示燈發(fā)出信號(hào), (1) 進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn),試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率;(2) 進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn),試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】(1) 設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù),則X6(5,0.3) (2) 令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù),則Yb(7,0.3) 10.某公安局在長度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2)t的泊松分布,而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無關(guān)(時(shí)間以小時(shí)計(jì)).(1) 求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒收到呼救的概率; (2) 求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.【解】(1) (2) 11.設(shè)PX=k=, k=0,1,2 PY=m=, m=0,1,2,3,4 分別為隨機(jī)變量X,Y的概率分布,如果已知PX1=,試求PY1.【解】因?yàn)椋? 而故得 即 從而12.某教科書出版了2000冊(cè),因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001,試求在這2000冊(cè)書中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù),則Xb(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算, 得 13.進(jìn)行某種試驗(yàn),成功的概率為,失敗的概率為.以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù),試寫出X的分布律,并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】 14.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求:(1) 保險(xiǎn)公司虧本的概率; (2) 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.(1) 在1月1日,保險(xiǎn)公司總收入為250012=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則Xb(2500,0.002),則所求概率為 由于n很大,p很小,=np=5,故用泊松近似,有 (2) P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000) 即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上 P(保險(xiǎn)公司獲利不少于20000) 即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ae-|x|, -x+, 求:(1)A值;(2)P0X1; (3) F(x).【解】(1) 由得 故 . (2) (3) 當(dāng)x0時(shí), 當(dāng)x0時(shí), 故 16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管,電子管使用壽命X的密度函數(shù)為 f(x)=求:(1) 在開始150小時(shí)內(nèi)沒有電子管損壞的概率; (2) 在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率; (3) F(x).【解】(1) (2) (3) 當(dāng)x100時(shí)F(x)=0 當(dāng)x100時(shí) 故 17.在區(qū)間0,a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn),以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在0,a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例,試求X的分布函數(shù).【解】 由題意知X0,a,密度函數(shù)為 故當(dāng)xa時(shí),F(xiàn)(x)=1 即分布函數(shù) 18.設(shè)隨機(jī)變量X在2,5上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè),求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率.【解】XU2,5,即 故所求概率為 19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(以分鐘計(jì))服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10分鐘他就離開.他一個(gè)月要到銀行5次,以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),試寫出Y的分布律,并求PY1.【解】依題意知,即其密度函數(shù)為 該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為 ,即其分布律為 20.某人乘汽車去火車站乘火車,有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠,所需時(shí)間X服從N(40,102);第二條路程較長,但阻塞少,所需時(shí)間X服從N(50,42).(1) 若動(dòng)身時(shí)離火車開車只有1小時(shí),問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些? (2) 又若離火車開車時(shí)間只有45分鐘,問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些?【解】(1) 若走第一條路,XN(40,102),則 若走第二條路,XN(50,42),則 + 故走第二條路乘上火車的把握大些.(2) 若XN(40,102),則 若XN(50,42),則 故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)XN(3,22), (1) 求P2X5,P-4X10,PX2,PX3; (2) 確定c使PXc=PXc.【解】(1) (2) c=322.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度(cm)XN(10.05,0.062),規(guī)定長度在10.050.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X(小時(shí))服從正態(tài)分布N(160,2),若要求P120X2000.8,允許最大不超過多少?【解】 故 24.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為 F(x)= (1) 求常數(shù)A,B; (2) 求PX2,PX3; (3) 求分布密度f(x).【解】(1)由得 (2) (3) 25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f(x)= 求X的分布函數(shù)F(x),并畫出f(x)及F(x).【解】當(dāng)x0時(shí)F(x)=0 當(dāng)0 x1時(shí) 當(dāng)1x0; (2) f(x)= 試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F(x).【解】(1) 由知 故 即密度函數(shù)為 當(dāng)x0時(shí) 當(dāng)x0時(shí) 故其分布函數(shù) (2) 由 得 b=1 即X的密度函數(shù)為 當(dāng)x0時(shí)F(x)=0 當(dāng)0 x1時(shí)當(dāng)1x0時(shí), 故 (2)當(dāng)y1時(shí) 當(dāng)y1時(shí)故 (3) 當(dāng)y0時(shí) 當(dāng)y0時(shí)故31.設(shè)隨機(jī)變量XU(0,1),試求:(1) Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù); (2) Z=-2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】(1) 故 當(dāng)時(shí)當(dāng)1ye時(shí) 當(dāng)ye時(shí)即分布函數(shù) 故Y的密度函數(shù)為 (2) 由P(0X0時(shí),即分布函數(shù) 故Z的密度函數(shù)為 32.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 f(x)= 試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】 當(dāng)y0時(shí),當(dāng)0y1時(shí), 當(dāng)y1時(shí),故Y的密度函數(shù)為 33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下: 試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由知填1。 由右連續(xù)性知,故為0。從而亦為0。即 34.同時(shí)擲兩枚骰子,直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止,求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai=第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)。(i=1,2),P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立。再設(shè)C=每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。35.隨機(jī)數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù),設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字,則 Xb(n,0.1) 即 得 n22 即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。36.已知F(x)= 則F(x)是( )隨機(jī)變量的分布函數(shù). (A) 連續(xù)型; (B)離散型; (C) 非連續(xù)亦非離散型.【解】因?yàn)镕(x)在(-,+)上單調(diào)不減右連續(xù),且 ,所以F(x)是一個(gè)分布函數(shù)。 但是F(x)在x=0處不連續(xù),也不是階梯狀曲線,故F(x)是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。選(C)37.設(shè)在區(qū)間a,b上,隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx,而在a,b外,f(x)=0,則區(qū)間 a,b等于( )(A) 0,/2; (B) 0,; (C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上sinx0,且.故f(x)是密度函數(shù)。 在上.故f(x)不是密度函數(shù)。在上,故f(x)不是密度函數(shù)。 在上,當(dāng)時(shí),sinx0)=1,故01-e-2X1,即P(0Y1)=1 當(dāng)y0時(shí),F(xiàn)Y(y)=0當(dāng)y1時(shí),F(xiàn)Y(y)=1 當(dāng)0y1時(shí), 即Y的密度函數(shù)為 即YU(0,1)41.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 f(x)= 若k使得PXk=2/3,求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P(Xk)=知P(Xk)= 若k0,P(Xk)=0 若0k1,P(Xk)= 當(dāng)k=1時(shí)P(Xk)= 若1k3時(shí)P(Xk)= 若3k6,則P(X6,則P(Xk)=1故只有當(dāng)1k3時(shí)滿足P(Xk)=.42.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 F(x)= 求X的概率分布. (1991研考)【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系,可知X的概率分布為X-113P0.40.40.243.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27,求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù),若設(shè)P(A)=p,則 Xb(3,p)由P(X1)=知P(X=0)=(1-p)3= 故p=44.若隨機(jī)變量X在(1,6)上服從均勻分布,則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少? 【解】 45.若隨機(jī)變量XN(2,2),且P2X4=0.3,則 PX0= . 【解】故 因此 46.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器,以概率0.7可以直接出廠;以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試,經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠,以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n2)臺(tái)儀器(假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立).求(1) 全部能出廠的概率;(2) 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率;(3)其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率. 【解】設(shè)A=需進(jìn)一步調(diào)試,B=儀器能出廠,則=能直接出廠,AB=經(jīng)調(diào)試后能出廠由題意知B=AB,且 令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù),則X6(n,0.94), 故 47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明,考生的外語成績(百分制)近似服從正態(tài)分布,平均成績?yōu)?2分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績?cè)?0分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語成績,則XN(72,2) 故 查表知 ,即=12從而XN(72,122) 故 48.在電源電壓不超過200V、200V240V和超過240V三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2(假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,252).試求:(1) 該電子元件損壞的概率; (2) 該電子元件損壞時(shí),電源電壓在200240V的概率【解】設(shè)A1=電壓不超過200V,A2=電壓在200240V, A3=電壓超過240V,B=元件損壞。由XN(220,252)知 由全概率公式有 由貝葉斯公式有 49.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布,試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】 因?yàn)镻(1X2)=1,故P(e2Ye4)=1 當(dāng)ye2時(shí)FY(y)=P(Yy)=0. 當(dāng)e2y1時(shí),即 故 51.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)=, 求Y=1-的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為t的泊松分布.(1) 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布;(2) 求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時(shí)的情形下,再無故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.【解】(1) 當(dāng)tt與N(t)=0等價(jià),有 即 即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 (2) 53.設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1,PX=-1=1/8,PX=1=1/4.在事件-1X1出現(xiàn)的條件下,X在-1,1內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比,試求X的分布函數(shù)F(x)=PXx. (1997研考)【解】顯然當(dāng)x-1時(shí)F(x)=0;而x1時(shí)F(x)=1 由題知 當(dāng)-1x1時(shí),此時(shí) 當(dāng)x=-1時(shí), 故X的分布函數(shù) 54. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分N(1,12),Y服從正態(tài)分布N(2,22),且P|X-1|P|Y-2|1,試比較1與2的大小. 解: 依題意 ,則 , .因?yàn)?,?, 所以有 ,即.習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次,以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表:XY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表:XY0123000102P(0黑,2紅,2白)=03.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x,y)= 求二維隨機(jī)變量(X,Y)在長方形域內(nèi)的概率.【解】如圖 題3圖 說明:也可先求出密度函數(shù),再求概率。4.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度 f(x,y)= 求:(1) 常數(shù)A; (2) 隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù); (3) P0X1,0Y2.【解】(1) 由 得 A=12(2) 由定義,有 (3) 5.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 f(x,y)=(1) 確定常數(shù)k; (2) 求PX1,Y3; (3) 求PX1.5; (4) 求PX+Y4.【解】(1) 由性質(zhì)有 故 (2) (3) (4) 題5圖6.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在(0,0.2)上服從均勻分布,Y的密度函數(shù)為fY(y)= 求:(1) X與Y的聯(lián)合分布密度;(2) PYX.題6圖【解】(1) 因X在(0,0.2)上服從均勻分布,所以X的密度函數(shù)為 而 所以 (2) 7.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x,y)= 求(X,Y)的聯(lián)合分布密度.【解】8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 f(x,y)= 求邊緣概率密度.【解】 題8圖 題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 f(x,y)= 求邊緣概率密度.【解】 題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 f(x,y)= (1) 試確定常數(shù)c; (2) 求邊緣概率密度.【解】(1) 得.(2) 11.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 f(x,y)= 求條件概率密度fYX(yx),fXY(xy). 題11圖【解】 所以 12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1,2,3,4,5,從中任取三個(gè),記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X,最大的號(hào)碼為Y.(1) 求X與Y的聯(lián)合概率分布;(2) X與Y是否相互獨(dú)立?【解】(1) X與Y的聯(lián)合分布律如下表YX345120300(2) 因 故X與Y不獨(dú)立13.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03(1)求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布; (2) X與Y是否相互獨(dú)立?【解】(1)X和Y的邊緣分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因 故X與Y不獨(dú)立.14.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在(0,1)上服從均勻分布,Y的概率密度為fY(y)=(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度; (2) 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求a有實(shí)根的概率.【解】(1) 因 故 題14圖(2) 方程有實(shí)根的條件是 故 X2Y,從而方程有實(shí)根的概率為: 15.設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命(以小時(shí)計(jì)),并設(shè)X和Y相互獨(dú)立,且服從同一分布,其概率密度為f(x)=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù) (1) 當(dāng)z0時(shí),(2) 當(dāng)0z1時(shí),(這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y=)(如圖a) 題15圖(3) 當(dāng)z1時(shí),(這時(shí)當(dāng)y=103時(shí),x=103z)(如圖b) 即 故 16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命(以小時(shí)計(jì))近似地服從N(160,202)分布.隨機(jī)地選取4 只,求其中沒有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4),則XiN(160,202),從而 17.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其分布律分別為 PX=k=p(k),k=0,1,2, PY=r=q(r),r=0,1,2,.證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為 PZ=i=,i=0,1,2,.【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù), 所以 于是 18.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們都服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n,p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一:X+Y可能取值為0,1,2,2n. 方法二:設(shè)1,2,n;1,2,,n均服從兩點(diǎn)分布(參數(shù)為p),則 X=1+2+n,Y=1+2+n,X+Y=1+2+n+1+2+n, 所以,X+Y服從參數(shù)為(2n,p)的二項(xiàng)分布.20.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R,設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)(X,Y)在屏幕上服從均勻分布.(1) 求PY0YX;(2) 設(shè)M

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