數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-行簡化梯形矩陣的唯一性證明及應(yīng)用.doc

行簡化梯形矩陣的唯一性證明及應(yīng)用目 錄1 引言(1)2 符號說明、基本定義、性質(zhì)和命題(1)2.1 符號說明(1)2.2 初等行變換(1)2.3 矩陣的行等價(1)2.4 行簡化梯形矩陣和主元列的定義(2)3 行簡化梯形矩陣唯一性定理的證明(2)3.1 矩陣的行簡化梯形矩陣的存在性(2)3.2 證明唯一性(2)4 行簡化梯形矩陣的一些簡單應(yīng)用(5)4.1 化矩陣為行簡化梯形矩陣，并確定主元列(5)4.2 應(yīng)用行化簡算法解線性方程組(5)4.3 行簡化梯形矩陣的唯一性的兩個重要應(yīng)用(7)5 與已有的證明方法進(jìn)行比較(7)6 對一些文獻(xiàn)資料的思考(8)結(jié)束語(9)致謝(9)參考文獻(xiàn)(9)行簡化梯形矩陣的唯一性證明及應(yīng)用（莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系 指導(dǎo)教師：）摘要：行簡化梯形矩陣是矩陣的一種標(biāo)準(zhǔn)形,也稱為行標(biāo)準(zhǔn)形或行最簡形.它在線性代數(shù)中有著重要的應(yīng)用,在國內(nèi)外很多的教材中都有給出行簡化梯形矩陣的定義及其應(yīng)用,并指出它是唯一的,但對此唯一性很少給出證明.本文在前人已有證明的基礎(chǔ)上給出了另一種證明方法,并總結(jié)出了它的幾個應(yīng)用.通過幾種證明方法間的對比,來分析本文的證明過程與已有證明方法的不同之處.最后對幾個文獻(xiàn)資料進(jìn)行了思考,指出了其中存在的錯誤,并說明了自己的一些看法.關(guān)鍵字：行簡化梯形矩陣 唯一性 行等價 同解線性方程組 矩陣證法 Hermite標(biāo)準(zhǔn)形Abstract: Reduced echelon matrix is a form of matrix and also known as a row-canonical form or a row-easiest shape. It is very important in linear algebra. Many text books at home and abroad give the definition and application of the Reduced echelon matrix and show that it is unique, but few gives the proof for the conclusion. In this paper, we give another proof on the basis of the priors and introduce several applications of the Reduced echelon matrix. Then by comparing to the priors, we explain the differences between them. Finally, we point out some errors in some literatures and give some comments.Keywords: Reduced echelon matrix Unique Line equivalent Linear equations with the same solution Matrix Proof Hermite Standard Form101、引言 行簡化梯形矩陣是矩陣的一種標(biāo)準(zhǔn)形，在線性代數(shù)中有著重要的應(yīng)用（見文1，2，3，4等），但在很多的國內(nèi)外教材中都未將此標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性證明放在課堂教學(xué)上.“而2中雖亦列有唯一性定理,但未給出證明,只是說:這個定理的證明是十分麻煩的,我們省略它.”1對行簡化梯形矩陣唯一性的證明，前人至少已給出四種證明方法（見文1、5、6、7）,可將它們歸類總結(jié)為：一類是應(yīng)用線性空間的知識進(jìn)行證明（見文1、6、7），另一類是用矩陣證法（見文5）.這兩類方法具有各自的特點.由于這兩種方法所用的知識較多，不適合將它們放在課堂上進(jìn)行同步教學(xué)，這也是在教材中很少見到行簡化梯形矩陣唯一性證明的原因之一.所以，尋找另一種應(yīng)用工具簡單、適合用于課堂進(jìn)行同步教學(xué)的證明方法是非常有必要的.在深刻認(rèn)識此課題的研究意義之后，現(xiàn)給出此唯一性的另一種證明方法.2、符號說明、基本定義、性質(zhì)和命題2.1、符號說明數(shù)域 矩陣 階單位矩陣 等價關(guān)系 矩陣的第行 2.2、初等行變換 矩陣的初等行變換是指對矩陣施行下列某個變換：(1)交換矩陣的第行和第行,記為；(對換變換)(2)用一個不等于零的常數(shù)乘矩陣的第行,記為；(數(shù)乘變換)(3)將矩陣的第行乘以一個常數(shù)，加到第行,記為.(倍加行變換)命題1（見1,定理3） 初等行變換不改變矩陣的秩.命題2(見2,定理) 對矩陣作行的初等變換，不改變列向量之間的線性關(guān)系.2.3、矩陣的行等價定義11 設(shè)，如果可以由通過有限次初等行變換得到，則稱與行等價.記作.命題3(見1,定理1) 矩陣的行等價是的一個等價關(guān)系.由等價關(guān)系的定義可以得到:性質(zhì)114 等價關(guān)系具有以下三種性質(zhì)：(1)自反性：.(2)對稱性：若，則.(3)傳遞性：若，則.2.4、行簡化梯形矩陣和主元列的定義定義2(見1,定義1) 令表示數(shù)域上的所有矩陣，的任意非零的行中第一個非零元素稱為這一行的“首”元素，如果矩陣滿足下列條件：(1)每個首元素是1；(2)包含首元素1的每列中，其它的元素都是零；(3)每個零行（若有的話）都排在所有非零行的下面；(4)設(shè)在的第行首元素出現(xiàn)在列，的個非零行中首元所在列數(shù)滿足，則稱為行簡化梯形矩陣.例如,矩陣 就是一個行簡化梯形矩陣，也即是行最簡形或行標(biāo)準(zhǔn)形.定義3 包含首元素1的每列中，其它的元素都是零，這些列稱為主元列.首元素1所在的位置稱為主元位置.命題4(見1,定理4) 矩陣的秩等于的行簡化梯形矩陣中非零行的個數(shù).3、行簡化梯形矩陣唯一性定理的證明3.1、矩陣的行簡化梯形矩陣的存在性命題5 中任意一個矩陣都可通過初等行變換使它行等價于行簡化梯形矩陣.這個命題顯然是成立的.對,先從最左的非零列開始,這是一個主元列,主元位置要在該列頂端,所以要在主元列中選取一個非零元作為主元,若有必要的話,對換兩行使這個元素移到主元位置上.再用倍加行變換將主元下面的元素變成0.暫時不管包含主元位置的行以及它上面的各行,對剩下的子矩陣使用上述的三個步驟直到?jīng)]有非零行需要處理為止.最后由最右面的主元開始,把每個主元上方的各元素變成0,若某個主元不是1,用數(shù)乘變換將它變成1.這樣就可以得到的一個行等價矩陣行簡化梯形矩陣.具體的證明過程可見3或4.3.2、證明唯一性命題6（唯一性定理） 中任意一個矩陣僅與唯一的行簡化梯形矩陣行等價，即的行簡化梯形矩陣是唯一的.記的唯一行簡化梯形矩陣為.證明 設(shè)，是的兩個行簡化梯形矩陣，則，.由性質(zhì)1，得：.由命題1，4知與的秩相同，且非零行的個數(shù)相同，令的秩為，所以，可設(shè) (1) (2)如上所示，設(shè)和中主元列分別為，和，.1)現(xiàn)證因為和是行等價的，所以由命題2可知,和中列向量之間的線性關(guān)系是一樣的.設(shè)其中和分別是和的列向量.若，則，.設(shè)與的線性關(guān)系是， (3)則.得到.這樣可知,對都會使(3)成立.由命題2知,此時，所以.而，所以.與(3)中的為任意數(shù)矛盾.所以不成立.同理可得：也不成立.所以.若，則，.設(shè)， (4)由(4),則有解得由命題2同樣可知,此時，因為(4)中的,所以.而，所以.與上面(4)所得的解矛盾.所以不成立.同理可得：也不成立.所以.依此類推，可得：這就證明了：2）因為和是行等價的，所以存在一個階可逆陣，使得：.設(shè)，則由(1),(2)有(5)比較(5)兩邊對應(yīng)可得：，即，其中是矩陣，是矩陣，是矩陣.由命題1可將矩陣和進(jìn)行分塊變成和，則.所以因為,而中含有個主元列,所以可容易計算解得.即有這樣的一個階可逆陣存在.而，即.這就證得了唯一性. 證畢.4、行簡化梯形矩陣的一些簡單應(yīng)用4.1、化矩陣為行簡化梯形矩陣，并確定主元列化矩陣為行簡化梯形矩陣的基本步驟是:(1)由最左的非零列開始,這是一個主元列,主元位置在該列頂端.(2)在主元列中選取一個非零元作為主元,若有必要的話,對換兩行使這個元素移到主元位置上.(3)用倍加行變換將主元下面的元素變成0.(4)暫時不管包含主元位置的行以及它上面的各行,對剩下的子矩陣使用上述的三個步驟直到?jīng)]有非零行需要處理為止.(5)由最右面的主元開始,把每個主元上方的各元素變成0,若某個主元不是1,用數(shù)乘變換將它變成1.例1 把下面的矩陣用行變換化為行簡化梯形矩陣，并確定主元列.解 對矩陣作初等行變換,得:.此矩陣已是行簡化梯形陣,第1、2、4列是主元列.4.2、應(yīng)用行化簡算法解線性方程組應(yīng)用行化簡算法解線性方程組的步驟是：(1)寫出方程組的增廣矩陣.(2)應(yīng)用行化簡算法把增廣矩陣化為階梯形，確定方程組是否有解.如果沒有解則停止；否則進(jìn)行下一步.(3)繼續(xù)行化簡算法得到它的簡化階梯形.(4)寫出由第（3）步所得矩陣所對應(yīng)的方程組.(5)把第(4)步所得的每個方程改寫為用自由變量表示基本變量的形式.例2 求出下列方程組的通解：解 對應(yīng)的增廣矩陣是：. 對作初等行變換，得：.由知，此方程組無解.其實在任何情況下我們都可將矩陣方程、向量方程以及線性方程組用相同的方法來求解即用行化簡算法來化簡增廣矩陣.例如，若是矩陣，它的各列為，而，則矩陣方程與向量方程有相同的解集.它又與增廣矩陣為的線性方程組有相同的解集. 所以用行化簡算法來化簡增廣矩陣就可以求解這三種形式的問題.例3(見9,P121) 解線性矩陣方程其中,.解 對增廣矩陣作初等行變換,其中.因為矩陣是一個通解矩陣(定義見9,定義2),所以,根據(jù)9,定理2, 有解且與同解.根據(jù)9,定理1的(i), 是的特解矩陣(定義見9,定義1).根據(jù)9,定理1的(ii),(iii),由的第2列和第4列構(gòu)造的基礎(chǔ)解系,得.于是的基礎(chǔ)解陣(定義見9,定義1)為.對任意矩陣,是的通解,也是的通解.4.3、行簡化梯形矩陣的唯一性的兩個重要應(yīng)用由文8,命題13可知有下面的兩個重要應(yīng)用:（1）用行簡化梯形矩陣來求方程組的基礎(chǔ)解系是唯一的，所以當(dāng)題目要求用行簡化梯形矩陣來求解方程組時,答案只有一個.不然線性方程組的基礎(chǔ)解系可以不一樣，這樣答案就會有多個,當(dāng)然它們互相等價.（2）同解線性方程組中，直接比較這兩個線性方程組的行簡化梯形矩陣，就可以知道這兩個方程組是否同解.也就是，若這兩個線性方程組的系數(shù)矩陣的行簡化梯形陣相同，那么它們同解；否則兩個方程組的解不同. 例4(見16,P105-106,例5.7) 設(shè)都是階方陣,齊次線性方程組與有相同的基礎(chǔ)解系,則也必是下列方程組的基礎(chǔ)解系. (A) (B) (C) (D)以上均不對在文16中對此問題的分析與解答并不完整,其中對秩()=秩()這個條件沒有說清楚.其實,可以用本文所提的“若兩個線性方程組的系數(shù)矩陣的行簡化梯形陣相同，那么它們同解”來解決這個問題.具體解答如下:因為線性方程組與有相同的基礎(chǔ)解系,即它們同解,根據(jù)本文的3.3(2)可知, 的行簡化梯形矩陣是相同的,設(shè)為,則存在階可逆陣使得.因為,且是階可逆陣,所以與同解,即與同解.又,均與同解,所以,這三個線性方程組是同解的.所以也必是(C)的基礎(chǔ)解系.答案選(C).5、與已有的證明方法進(jìn)行比較根據(jù)所收集的資料，已有的證明方法有以下四種：(1)文1中是應(yīng)用線性空間的知識，先用行向量組等價的理論來證得主元列是相同的，再根據(jù)等價向量組間可以互相表示且表法唯一來證出對應(yīng)的非零行向量是相等的，這樣即證得唯一性.(2)文5采用“矩陣證法”，設(shè)，是矩陣的兩個行標(biāo)準(zhǔn)形，由于，都是由經(jīng)過初等行變換得到的，所以，是行等價的，這樣就存在兩個可逆矩陣，使得：，.根據(jù)，所具有的特別結(jié)構(gòu)和特點進(jìn)行比較并推出可逆陣，的結(jié)構(gòu)，.這樣就有： ，即證得了此唯一性.(3)文6中作者D.C.Lay并沒有將此唯一性的證明放在定理中,而是將它放在課本的附錄中,且只是用很簡煉的語言說明了證明的思路.但要詳細(xì)寫出來的話并不是一件簡單的事.D.C.Lay對此唯一性證明的思路是：假設(shè)一個矩陣的兩個行最簡形是和，先利用行等價矩陣的列具有完全一樣的線性相關(guān)性思想來證出主元列相等，然后再考慮任意的非主元列，例如的列，“這個列或者是零或者是左邊主元列的線性組合（因為這些主元列是第列左邊列生成空間的一個基）.兩種情形下，對第個元素為1的都可表示寫成，那么也有.這說明的第列或者是零或者同樣是它左邊的主元列的線性組合，由于和對應(yīng)的主元列是相等的，和的第列也相等，這個結(jié)果對和所有非主元列相等.”6這就證明了，即唯一性得證.(4)文7將此唯一性作為矩陣行標(biāo)準(zhǔn)形的一種性質(zhì)給出.在文7,性質(zhì)6中指出矩陣的行標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的并給出了證明.先利用文7中的性質(zhì)4：“是中最靠前的個線性無關(guān)的列向量，即任取的個線性無關(guān)的列向量，必有，其中，.”7證得主元列相同，再根據(jù)等價向量組間可以互相表示且表法唯一來證出對應(yīng)的非主元列也是相等的，這樣即證得唯一性.本文的證明正是在這已有的四種證明方法上給出的，它是采用了第三種證明方法中所提到的行等價矩陣的列具有完全一樣的線性相關(guān)性思想，以及第二種所提到的兩個行等價矩陣，間存在一可逆陣有這個知識點，較完整地表述了證明過程. 所以,可以說它是前人已有證明方法的一種結(jié)合,與他們相比,是有存在不同之處的.此種方法也更適合用于課堂教學(xué)上，學(xué)生不需要積累太多的理論知識就可以理解這個證明.對于教師授課，教師也只要講述大概的證明過程，學(xué)生在課后可以自己去補(bǔ)充完成證明，讓他們對此唯一性的證明有更深刻的理解.6、對一些文獻(xiàn)資料的思考 文10,P229中有以下斷言：“對任何，易證下列結(jié)論.1）總可以通過行初等變換化成行階梯形陣，即存在初等方陣，使，且是唯一的，此時記為.”而從我們上面所做的這些工作可知，這個唯一性結(jié)論并不是那么容易證明的. 文11中給出Hermite標(biāo)準(zhǔn)形的定義：“定義1，設(shè)，若其元素滿足：1）是上三角陣，即時，；2）或；3）若,則；4）若,則，（此時，稱為首一元素），則稱為Hermite標(biāo)準(zhǔn)形.”與行簡化梯形矩陣的定義相比，當(dāng)矩陣是時，行簡化梯形矩陣是Hermite標(biāo)準(zhǔn)形的一種特殊情況；而當(dāng)矩陣不是方陣時，行簡化梯形矩陣可以通過增加或者刪除零行來變成Hermite標(biāo)準(zhǔn)形.文12，P89有定理1:“對于齊次線性方程組,若,則該方程組的基礎(chǔ)解系一定存在,且每個基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)均等于,其中是方程組所含未知量的個數(shù).”對此定理的證明中有這樣一段：“因為，故對矩陣施以初等行變換，可化為如下形式.”而根據(jù)行簡化梯形矩陣的結(jié)構(gòu)和相關(guān)定理可知，在這個證明中若對矩陣只施以初等行變換，是不可能化為像的這種形式，而應(yīng)該化為像行簡化梯形矩陣結(jié)構(gòu)的形式，所以這個證明是有錯誤的.本文中的例1就是它的一個反例.另外，在國內(nèi)外很多的高等代數(shù)和線性代數(shù)教材中(如文13,15)，雖然都有提到行簡化梯形矩陣的定義及其應(yīng)用，但就筆者所掌握的情況來看，還沒有一本教材把“矩陣的行標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的”這一結(jié)論的證明放在教學(xué)同步中使用.如文13，P61中敘述有：“由行最簡形矩陣，即可寫出方程組的解（2）：，其中為任意常數(shù)，反之，由方程組的解（2），也可寫出矩陣，由此可猜想到一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一確定的.”13指出了矩陣行標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，但沒有給出證明，也沒有它的應(yīng)用.而這種現(xiàn)象產(chǎn)生的主要原因在于,沒有充分認(rèn)識到其實對此唯一性的證明是復(fù)雜的.而且在這里作者使用“猜想”,顯然將猜想教給學(xué)生是很不合適的,因為猜想的結(jié)論不一定都是正確的,而只有經(jīng)過嚴(yán)格證明的結(jié)論才是可靠的.結(jié)束語：本文所給出的證明相對已有的證明方法來說，既是對已有方法的改進(jìn)和簡化，對現(xiàn)在的課堂教學(xué)來說，它也很適合用在課堂上直接對學(xué)生進(jìn)行教學(xué).本文先介紹了此證明所要用到的符號、定義、性質(zhì)及命題，然后再對此唯一性進(jìn)行證明,并在第三部分中簡單總結(jié)了它的幾個應(yīng)用.而在第四部分中,通過對已有的四種證明方法進(jìn)行分析比較,來說明本文證明方法的不同之處. 最后對幾個文獻(xiàn)資料進(jìn)行了思考,指出了其中存在的錯誤,并說明了自己的一些看法.當(dāng)然,本文也存在著一些不足，希望能為我提出您寶貴的意見.另外,尋找此唯一性的更簡單證明是非常有意義的,將它放在課堂上進(jìn)行同步教學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展.所以可以對此唯一性的證明進(jìn)行更深一步的研究.致謝：本論文是在導(dǎo)師楊忠鵬教授的悉心指導(dǎo)下完成的。導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠(yuǎn)。不僅使我樹立了遠(yuǎn)大的學(xué)術(shù)目標(biāo)、掌握了基本的研究方法，還使我明白了許多待人接物與為人處世的道理。本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血。在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！同時，本論文的順利完成還離不開各位老師、同學(xué)和朋友的關(guān)心和幫助，在此對他們表示深深的感謝！參考文獻(xiàn)：1 袁玉玲.簡化梯形矩陣及其應(yīng)用J.曲阜師范學(xué)報（自然科學(xué)版）,1983,(2):27-32.2 汪慶麗.矩陣行初等變換的定理及其應(yīng)用J.岳陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）, 2002,15(1):12-14.3 (美)G.伯克霍夫,S.麥克萊恩 著.王連祥,徐廣善 譯.近世代數(shù)概論(上冊)M.北京:人民教育出版社,1979:215-216.4 賈蘭香,張建華.線性代數(shù)M.天津:南開大學(xué)出版社,2004:80-81.5 譚思文,楊忠鵬.關(guān)于矩陣的行等價的一些問題J. 吉林師院學(xué)報(自然科學(xué)版),1985,(1):54-56.6 （美）David C.Lay 著.劉深泉,洪毅,馬東魁,郭國雄,劉勇平 譯.線性代數(shù)及其應(yīng)用（原書第3版）M.北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2005:433-435.7 徐兆強(qiáng).矩陣行標(biāo)準(zhǔn)形的一些性質(zhì)J.甘肅教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2001,15(4):11-13.8 晏瑜敏，楊忠鵬.矩陣行標(biāo)準(zhǔn)形與同解線性方程組J.北華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2006,7(1):6-10.9 韓維信.用初等行變換求線性矩陣方程的通解J.工科數(shù)學(xué),2000,16(1):121-122.10 黃承緒.論矩陣行標(biāo)準(zhǔn)形及其應(yīng)用J.武漢理工大學(xué)學(xué)報（交通科學(xué)與工程版）, 2003,27(2):229-330.11 孫卓明.一個被遺漏的Hermite標(biāo)準(zhǔn)形的重要性質(zhì)及應(yīng)用J.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2007,37(11):185-186.12 吳贛昌.線性代數(shù)(理工類)M.北京:中國人民大學(xué)出版社,2006.13 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版)M.北京:高等教育出版社,2003.14 牛少彰，劉吉佑.線性代數(shù)M.北京:北京郵電大學(xué)出版社,2000.15 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)(第二版)M.北京:高等教育出版社,1988:108-111.16 俞正光,劉坤林,譚澤光,葛余博.線性代數(shù)通用輔導(dǎo)講義(考研數(shù)學(xué)應(yīng)試導(dǎo)引與進(jìn)階)M.北京:清華大學(xué)出版社,2006:105-106.