2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)13 導(dǎo)數(shù)的概念及運 理（含解析）北師大版

課后限時集訓(xùn)(十三)　導(dǎo)數(shù)的概念及運算 (建議用時：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．函數(shù)y＝ln(2x2＋1)的導(dǎo)數(shù)是(　　) A.　　　　　　　 B． C. D． B　[y′＝·4x＝，故選 B．] 2．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值等于(　　) A. B． C. D． D　[因為f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝.故選 D．] 3．(2018·廣州一模)已知直線y＝kx－2與曲線y＝xln x相切，則實數(shù)k的值為(　　) A．ln 2 B．1 C．1－ln 2 D．1＋ln 2 D　[由y＝xln x知y′＝ln x＋1，設(shè)切點為(x0，x0ln x0)，則切線方程為y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，因為切線y＝kx－2過定點(0，－2)，所以－2－x0ln x0＝(ln x0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln 2，選 D．] 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2，若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為x＋y＝0，則點P的坐標(biāo)為(　　) A．(0,0) B．(1，－1) C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1) D　[由題意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線斜率為f′(x0)＝3x＋2ax0，又切線方程為x＋y＝0，所以x0≠0，且，解得a＝±2，x0＝－.所以當(dāng)時，點P的坐標(biāo)為(1，－1)；當(dāng)時，點P的坐標(biāo)為(－1,1)，故選 D．] 5．已知曲線y＝，則曲線的切線斜率取得最大值時的切線方程為(　　) A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0 C．4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0 A　[y′＝＝，因為ex＞0，所以ex＋≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)ex＝，即x＝0時取等號)，則ex＋＋2≥4，故y′＝≤－(當(dāng)x＝0時取等號)．當(dāng)x＝0時，曲線的切線斜率取得最大值，此時切點的坐標(biāo)為，切線的方程為y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.故選A.] 二、填空題 6．(2019·漳州模擬)曲線y＝－2sin x在x＝處的切線的傾斜角大小為________． 　[∵y′＝－2cos x，∴y′|x＝＝－2cos ＝－1， 設(shè)切線的傾斜角為θ，則tan θ＝－1， 又0≤θ＜π，∴θ＝.] 7．若曲線f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________． (－∞，0)　[由題意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y軸的切線，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x＞0)，故a∈(－∞，0)．] 8．(2019·大連調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________． [2，＋∞)　[∵f(x)＝x2－ax＋ln x， ∴f′(x)＝x－a＋. ∵f(x)存在垂直于y軸的切線， ∴f′(x)存在零點， ∴x＋－a＝0有解， ∴a＝x＋≥2(x＞0)．] 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程． [解]　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1， 又f(2)＝－2，∴曲線在點(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2， 即x－y－4＝0. (2)設(shè)曲線與經(jīng)過點A(2，－2)的切線相切于點P(x0，x－4x＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x－8x0＋5， ∴切線方程為y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切線過點P(x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0， 解得x0＝2或1， ∴經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0. 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明曲線f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． [解]　(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當(dāng)x＝2時，y＝. 又因為f′(x)＝a＋， 所以解得所以f(x)＝x－. (2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線y＝f(x)上任一點，由y′＝1＋知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－，所以切線與直線x＝0的交點坐標(biāo)為.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切線與直線y＝x的交點坐標(biāo)為(2x0,2x0)． 所以曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積S＝|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6. B組　能力提升 1．曲線y＝e在點(4，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為(　　) A.e2 B．4e2 C．2e2 D．e2 D　[易知曲線y＝e在點(4，e2)處的切線斜率存在，設(shè)其為k.∵y′＝e，∴k＝e×4＝e2，∴切線方程為y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面積為S＝×2×|－e2|＝e2.] 2．已知函數(shù)f(x)＝x2的圖像在點(x0，x)處的切線為l，若l也與函數(shù)y＝ln x，x∈(0,1)的圖像相切，則x0必滿足(　　) A．0＜x0＜ B．＜x0＜1 C.＜x0＜ D．＜x0＜ D　[由題意，得f′(x)＝2x，所以f′(x0)＝2x0，f(x0)＝x，所以切線l的方程為y＝2x0(x－x0)＋x＝2x0x－x.因為l也與函數(shù)y＝ln x(0＜x＜1)的圖像相切，設(shè)切點坐標(biāo)為(x1，ln x1)，易知y′＝，則切線l的方程為y＝x＋ln x1－1，則有又0＜x1＜1，所以x0＞1，所以1＋ln 2x0＝x，x0∈(1，＋∞)．令g(x)＝x2－ln 2x－1，x∈[1，＋∞)，則g′(x)＝2x－＝＞0，所以g(x)在[1，＋∞)上遞增，又g(1)＝－ln 2＜0，g()＝1－ln 2＜0，g()＝2－ln 2＞0，所以存在x0∈(，)，使得g(x0)＝0，故＜x0＜，選 D．] 3．(2017·天津高考)已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－ln x的圖像在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________． 1　[∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1. 又∵f(1)＝a，∴切線l的斜率為a－1，且過點(1，a)， ∴切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1)． 令x＝0，得y＝1，故l在y軸上的截距為1.] 4．已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖像為曲線C. (1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍； (2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標(biāo)的取值范圍． [解]　(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3， 則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)． (2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)． - 5 -