2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)22 正弦定理和余弦定理（含解析）理

課后限時集訓(xùn)(二十二) (建議用時：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 B　[法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因為－π＜A－B＜π，所以A＝B. 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c?a2＝b2?a＝b.] 2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是( ) A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定 C　[由正弦定理得＝， ∴sin B＝＝＝＞1. ∴角B不存在，即滿足條件的三角形不存在．] 3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，則AC＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化簡得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故選A.] 4．(2019·長春模擬)△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積等于( ) A. B. C.或 D.或 D　[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， 即1＝3＋BC2－3BC，解得BC＝1或BC＝2， 當(dāng)BC＝1時，△ABC的面積S＝AB·BCsin B＝××1×＝. 當(dāng)BC＝2時，△ABC的面積S＝AB·BCsin B＝××2×＝. 總上之，△ABC的面積等于或.] 5．(2016·全國卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則sin A＝( ) A. B. C. D. D　[過A作AD⊥BC于D，設(shè)BC＝a，由已知得AD＝.∵B＝，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝，DC＝a， ∴AC＝＝a，在△ABC中，由正弦定理得＝， ∴sin ∠BAC＝，故選D.] 二、填空題 6．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，則c＝________. 4　[由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cos C＝，得－＝，解得c＝4.] 7．(2019·青島模擬)如圖所示，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，則BD的長為________． 　[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝， ∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD， ∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3， ∴BD＝.] 8．設(shè)△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2sin C＝4sin A，(ca＋cb)(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)，則△ABC的面積為________． 　[由a2sin C＝4sin A得ac＝4，由(ca＋cb)·(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)得(a＋b)(a－b)＝2－c2，即a2＋c2－b2＝2，所以cos B＝，則sin B＝，所以S△ABC＝acsin B＝.] 三、解答題 9．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B＝2sin Asin C. (1)若a＝b，求cos B； (2)設(shè)B＝90°，且a＝，求△ABC的面積． [解]　(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2＝2ac. 又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. 由余弦定理可得cos B＝＝. (2)由(1)知b2＝2ac. 因為B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2， 故a2＋c2＝2ac，進(jìn)而可得c＝a＝. 所以△ABC的面積為××＝1. 10．(2019·鄭州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)． (1)求角B的大??； (2)若b＝4，△ABC的面積為，求△ABC的周長． [解]　(1)∵bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)，∴bcos A＝(2c＋a)(－cos B)． 由正弦定理可得，sin Bcos A＝(－2sin C－sin A)cos B， 即sin(A＋B)＝－2sin Ccos B＝sin C. 又角C為△ABC的內(nèi)角，∴sin C＞0，∴cos B＝－. 又B∈(0，π)，∴B＝. (2)由S△ABC＝acsin B＝，得ac＝4. 又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16. ∴a＋c＝2，∴△ABC的周長為4＋2. B組　能力提升 1．(2019·佛山模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，則△ABC的面積為( ) A.＋1 　B.－1 　C．4 　D．2 A　[法一：由余弦定理可得(2)2＝22＋a2－2×2×a×cos，即a2－2a－4＝0，解得a＝＋或a＝－(舍去)，△ABC的面積S＝absin C＝×2×(＋)sin＝×2××(＋)＝＋1，選A. 法二：由正弦定理＝，得sin B＝＝，又c＞b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面積S＝bcsin A＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1.] 2．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高為( ) A. B. C. D. B　[在△ABC中，由余弦定理可得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B，因為AC＝，BC＝2，B＝60°，所以7＝AB2＋4－4×AB×，所以AB2－2AB－3＝0，所以AB＝3，作AD⊥BC，垂足為D，則在Rt△ADB中，AD＝AB×sin 60°＝，即BC邊上的高為，故選B.] 3．(2019·寶雞模擬)如圖，在Rt△ABC中，兩條直角邊分別為AB，BC，且AB＝2，BC＝2，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°.若PB＝1，則PA＝________. 　[依題意，在Rt△ABC中，AC＝＝4，sin∠ACB＝＝，所以∠ACB＝60°.在Rt△PBC中，PC＝＝，sin∠PCB＝＝，∠PCB＝30°，因此∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝30°.在△ACP中，AP＝＝.] 4．(2019·貴陽模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c,1＋＝. (1)求角A的大?。? (2)若△ABC為銳角三角形，求函數(shù)y＝2sin2B－2sin Bcos C的取值范圍； (3)現(xiàn)在給出下列三個條件：①a＝1；②2c－(＋1)b＝0；③B＝，試從中選擇兩個條件以確定△ABC，求出所確定的△ABC的面積． [解]　(1)因為1＋＝，所以由正弦定理，得1＋＝＝. 因為A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin C， 所以＝， 所以cos A＝，故A＝. (2)因為A＋B＋C＝π，A＝， 所以B＋C＝. 所以y＝2sin2B－2sin Bcos C ＝1－cos 2B－2sin Bcos ＝1－cos 2B＋sin Bcos B－sin2B ＝1－cos 2B＋sin 2B－＋cos 2B ＝＋sin 2B－cos 2B ＝sin＋. 又△ABC為銳角三角形， 所以＜B＜?＜2B－＜， 所以＜sin＜1， 所以y＝sin＋∈. (3)法一：選擇①②，可確定△ABC. 因為A＝，a＝1,2c－(＋1)b＝0， 由余弦定理，得12＝b2＋2－2b·b·， 整理得b2＝2，b＝，c＝， 所以S△ABC＝bcsin A＝×××＝. 法二：選擇①③，可確定△ABC. 因為B＝，所以C＝. 又sin＝sin＝sincos＋cossin＝， 故由正弦定理得c＝＝＝， 所以S△ABC＝acsin B＝×1××＝. - 7 -