2019年高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系 2.3.3 直線與平面垂直的性質 2.3.4 平面與平面垂直的性質課時作業(yè)（含解析）新人教A版必修2

2.3.3直線與平面垂直的性質 2.3.4平面與平面垂直的性質1.已知直線l平面,直線m平面,有下列四個命題:若,則lm;若,則lm;若lm,則;若lm,則,其中,正確命題的序號是(C)(A)(B)(C)(D)解析:當l,時,l,又m,所以lm,故正確;當,l時,l或l,又m,則l與m可能相交、平行、異面,故不正確;因為lm,l,所以m,又m,所以,故正確;顯然不正確.2.已知a,b為兩條不同的直線,為兩個不同的平面,下列四個命題:ab,ab;ab,ab;a,a;a,a.其中不正確的有(D)(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個解析:中b有可能成立,所以不正確;中b有可能成立,故不正確;中a有可能成立,故不正確;中a有可能成立,故不正確.綜上均不正確,故選D.3.已知直線m,n和平面,若,=m,要使n,則應增加的條件是(C)(A)n,且mn(B)n(C)n且nm (D)n解析:由面面垂直的性質定理可知選C.4.若平面平面,平面平面,則(D)(A)(B)(C)與相交但不垂直(D)以上都有可能解析:,則或或與相交但不垂直.故選D.5.已知m,n是兩條不同直線,是兩個不同平面,則下列命題正確的是(D)(A)若,垂直于同一平面,則與平行(B)若m,n平行于同一平面,則m與n平行(C)若,不平行,則在內不存在與平行的直線(D)若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面解析:若,垂直于同一個平面,則,可以都過的同一條垂線,即,可以相交,故A錯;若m,n平行于同一個平面,則m與n可能平行,也可能相交,還可能異面,故B錯;若,不平行,則,相交,設=l,在內存在直線a,使al,則a,故C錯;從原命題的逆否命題進行判斷,若m與n垂直于同一個平面,由線面垂直的性質定理知mn,故D正確.6.如圖,PA矩形ABCD,下列結論中不正確的是(A)(A)PDBD(B)PDCD(C)PBBC(D)PABD解析:因為PA矩形ABCD,所以PABD,若PDBD,則BD平面PAD,又BA平面PAD,則過平面外一點有兩條直線與平面垂直,不成立,故A不正確;因為PA矩形ABCD,所以PACD,ADCD,所以CD平面PAD,所以PDCD,同理可證PBBC.故選A.7.設l是直二面角,直線a平面,直線b平面,a,b與直線l都不垂直,那么(C)(A)a與b可能垂直,但不可能平行(B)a與b可能垂直,也可能平行(C)a與b不可能垂直,但可能平行(D)a與b不可能垂直,也不可能平行解析:當al,bl時,ab.若ab,可在a上任取點A,過點A在內作l的垂線c,如圖,則c,所以cb.因為ac=A,所以b,所以bl,這與已知矛盾.所以a與b不可能垂直.8.如圖所示,平面平面,A,B,AB與平面,所成的角分別為45°和30°,過點A,B分別作兩平面交線的垂線,垂足分別為A,B,則ABAB等于(A)(A)21(B)31(C)32(D)43解析:如圖,連接AB,AB.由已知,得AA,ABA=30°,BB,BAB=45°.設AB=a,則BA=a,BB=a,在RtBBA中,AB=a,所以ABAB=21.故選A.9.設,是兩個不同的平面,l是一條直線,給出四個命題:若l,則l;若l,則l;若l,則l;若l,則l.則正確命題的個數(shù)為. 解析:錯,可能有l(wèi);錯,可能有l(wèi);正確;錯,也可能有l(wèi),或l或l與相交.答案:110.如圖,四面體PABC中,PA=PB=13,平面PAB平面ABC,ACB=90°,AC=8,BC=6,則PC=. 解析:取AB的中點E,連接PE,EC.因為ACB=90°,AC=8,BC=6,所以AB=10,所以CE=5.因為PA=PB=13,E是AB的中點,所以PEAB,PE=12.因為平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,所以PE平面ABC.因為CE平面ABC,所以PECE.在RtPEC中,PC=13.答案:1311.設m,n為空間的兩條直線,為空間的兩個平面,給出下列命題:若m,m,則 ;若m,m,則;若m,n,則mn;若m,n,則mn.上述命題中,其中假命題的序號是. 解析:若m,m,則與相交或平行都可能,故不正確;若m,m,則,故正確;若m,n,則m與n相交、平行或異面,故不正確;若m,n,由線面垂直的性質定理知mn,故正確.答案:12.如圖所示,三棱錐PABC的底面在平面上,且ACPC,平面PAC平面PBC,P,A,B是定點,則動點C運動形成的圖形是 . 解析:因為平面PAC平面PBC,ACPC,AC平面PAC,平面PAC平面PBC=PC.所以AC平面PBC.又BC平面PBC,所以ACBC,所以ACB=90°.所以動點C運動形成的圖形是以AB為直徑的圓(除去A,B兩點).答案:以AB為直徑的圓(除去A,B兩點)13.如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,PA平面ABCD.(1)證明:平面PBD平面PAC;(2)設AP=1,AD=,CBA=60°,求A到平面PBC的距離.(1)證明:因為四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,所以BDAC,因為PA平面ABCD,所以BDPA,因為ACPA=A,所以BD平面PAC,因為BD平面PBD,所以平面PBD平面PAC.(2)解:因為AP=1,AD=,CBA=60°,所以AC=,SABC=×()2=,因為PC=PB=2,所以SPBC=××=,設A到平面PBC的距離為h,因為=,所以×h×=××1,解得h=.所以A到平面PBC的距離為.14.如圖,在三棱錐VABC中,平面VAB平面ABC,VAB為等邊三角形,ACBC,且AC=BC=,O,M分別為AB,VA的中點.(1)求證:VB平面MOC;(2)求證:平面MOC平面VAB;(3)求三棱錐VABC的體積.(1)證明:因為O,M分別為AB,VA的中點,所以OMVB.又因為VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)證明:因為AC=BC,O為AB的中點,所以OCAB.又因為平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,所以AB=2,OC=1,所以SVAB=,又因為OC平面VAB,所以=OC·SVAB=.又因為三棱錐VABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等,所以三棱錐VABC的體積為.15.如圖,在四棱錐ABCDE中,平面ABC平面BCDE,CDE=BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(1)證明:AC平面BCDE;(2)求直線AE與平面ABC所成的角的正切值.(1)證明:如圖,連接BD,在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=.由AC=,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即ACBC.又平面ABC平面BCDE,平面ABC平面BCDE=BC,AC平面ABC,所以AC平面BCDE.(2)解:在直角梯形BCDE中,由BD=BC=,DC=2,得BDBC,又平面ABC平面BCDE,BD平面BCDE.所以BD平面ABC.作EFBD,與CB延長線交于點F,連接AF,則EF平面ABC.所以EAF是直線AE與平面ABC所成的角.在RtBEF中,由EB=1,EBF=45°,得EF=,BF=.在RtACF中,由AC=,CF=,得AF=.在RtAEF中,由EF=,AF=,得tanEAF=.所以直線AE與平面ABC所成的角的正切值是.16.如圖所示,平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BDCD,將其沿對角線BD折成四面體ABCD,使平面ABD平面BCD,則下列說法中不正確的是(D)(A)平面ACD平面ABD (B)ABCD(C)平面ABC平面ACD (D)AB平面ABC解析:因為BDCD,平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD,因為CD平面ACD,所以平面ACD平面ABD,故A正確;因為平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,所以ABAD,又CD平面ABD,所以ABCD,故B正確;因為ABAD,ABCD,所以AB平面ACD,又因為AB平面ABC,所以平面ABC平面ACD,故C正確;因為AB平面ABC,所以AB平面ABC不成立,故D錯誤.故選D.17.如圖所示,PA垂直于O所在的平面,AB是O的直徑,C是O上的一點,E,F分別是點A在PB,PC上的射影,給出下列結論:AFPB,EFPB,AFBC,AEBC,其中正確的個數(shù)是(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:因為AB是O的直徑,所以ACBC.因為PA垂直于O所在的平面,所以PABC,所以BC平面PAC,所以BCAF,所以正確.又AFPC,所以AF平面PBC,所以AFPB,所以正確.又AEPB,所以PB平面AEF,所以EFPB,所以正確.若AEBC,則由AEPB,得AE平面PBC,此時E,F重合,與已知矛盾,所以錯誤.故選C.18.已知直二面角l,點A,ACl,點C為垂足,B,BDl,點D為垂足.若AB=2,AC=BD=1,則CD的長為. 解析:如圖,連接BC.因為二面角l為直二面角,AC,且ACl,=l,所以AC.又BC,所以ACBC,所以BC2=AB2-AC2=3.又BDCD,所以CD=.答案:19.如圖,邊長為2a的正三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于點G.已知AED是AED繞DE旋轉過程中的一個圖形,現(xiàn)給出下列結論,其中正確的結論有(填上所有正確結論的序號). 動點A在平面ABC上的射影在線段AF上;三棱錐AFED的體積有最大值;恒有平面AGF平面BCED;異面直線AE與BD不可能互相垂直.解析:在正三角形ABC中,AF為中線,DE為中位線,所以AFBC,DEBC,所以DEAG,DEGF,又AGGF=G,所以DE平面AGF.又DE平面BCED,所以平面AGF平面BCED,故正確.過A作AHAF,垂足為點H,則AH平面AGF,又平面AGF平面BCED,平面AGF平面BCED=AF,所以AH平面ABC,故正確.三棱錐AFED的底面FED的面積是定值,高是點A到平面FED的距離.易證當AG平面FED時距離(即高)最大,三棱錐AFED的體積最大,故正確.易知BDEF,所以AEF是異面直線AE與BD所成的角.因為正三角形ABC的邊長為2a,所以AE=a,EF=a.而0<AF<AF,所以AF的長度的取值范圍是(0,a),當AF=a時,AE2+EF2=AF2,則AEF=90°,此時直線AE與BD互相垂直,故錯誤.答案:20.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是DAB=60°且邊長為a的菱形,側面PAD為等邊三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證:ADPB;(2)若E為BC的中點,能否在棱PC上找到一點F,使平面DEF平面ABCD?并證明你的結論.(1)證明:設G為AD的中點,連接PG,BG.因為PAD為等邊三角形,所以PGAD.在菱形ABCD中,DAB=60°,G為AD的中點,所以BGAD.又BGPG=G,所以AD平面PGB.因為PB平面PGB,所以ADPB.(2)解:當F為PC的中點時,滿足平面DEF平面ABCD.證明:取PC的中點F,連接DE,EF,DF.則EFPB,所以可得EF平面PGB.在菱形ABCD中,GBDE,所以可得DE平面PGB.而EF平面DEF,DE平面DEF,EFDE=E,所以平面DEF平面PGB.由(1)得PG平面ABCD,而PG平面PGB,所以平面PGB平面ABCD,所以平面DEF平面ABCD.- 10 -