2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 保分專題三 空間位置與空間計(jì)算練習(xí) 理

第一部分 保分專題三 空間位置與空間計(jì)算 A組　小題提速練 一、選擇題 1．已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點(diǎn)，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的(　　) A．必要不充分條件　　 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：若E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，則直線EF和GH肯定不相交，但直線EF和GH不相交，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)可以共面，例如EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要條件． 答案：B 2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題： ①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則α⊥β； ②若m⊥α，m⊥β，則α∥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β. 其中正確的命題是(　　) A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 解析：兩個(gè)平面斜交時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一個(gè)平面內(nèi)的直線垂直于兩個(gè)平面的交線的情況，①不正確；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，②正確；當(dāng)兩個(gè)平面與兩條互相垂直的直線分別垂直時(shí)，它們所成的二面角為直二面角，故③正確；當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，分別與兩個(gè)平面平行的直線也平行，故④不正確． 答案：B 3.如圖，在三棱錐P­ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是(　　) A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC 解析：A中，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因?yàn)槠矫鍮PC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出AP⊥BC，故選B. 答案：B 4．已知α，β表示兩個(gè)不同平面，a，b表示兩條不同直線，對(duì)于下列兩個(gè)命題： ①若b?α，a?α，則“a∥b”是“a∥α”的充分不必要條件； ②若a?α，b?α，則“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要條件． 判斷正確的是(　　) A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題 C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題 解析：若b?α，a?α，a∥b，則由線面平行的判定定理可得a∥α，反過(guò)來(lái)，若b?α，a?α，a∥α，則a，b可能平行或異面，則b?α，a?α，“a∥b”是“a∥α”的充分不必要條件，①是真命題；若a?α，b?α，α∥β，則由面面平行的性質(zhì)可得a∥β，b∥β，反過(guò)來(lái)，若a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α，β可能平行或相交，則a?α，b?α，則“α∥β”是“a∥β，b∥β”的充分不必要條件，②是假命題，選項(xiàng)B正確． 答案：B 5.如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面4個(gè)結(jié)論： ①直線BE與直線CF異面； ②直線BE與直線AF異面； ③直線EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正確的有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：將展開(kāi)圖還原為幾何體(如圖)，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD∥BC，即直線BE與CF共面，①錯(cuò)；因?yàn)锽?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE與AF是異面直線，②正確；因?yàn)镋F∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，④錯(cuò)．故選B. 答案：B 6．在下列四個(gè)正方體中，能得出異面直線AB⊥CD的是(　　) 解析：對(duì)于A，作出過(guò)AB的平面ABE，如圖①，可得直線CD與平面ABE垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知，AB⊥CD成立，故A正確；對(duì)于B，作出過(guò)AB的等邊三角形ABE，如圖②，將CD平移至AE，可得CD與AB所成的角等于60°，故B不成立；對(duì)于C、D，將CD平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的側(cè)棱處，可得AB，CD所成的角都是銳角，故C和D均不成立．故選A. 答案：A 7．(2018·貴陽(yáng)一中適應(yīng)性考試)已知l為平面α內(nèi)的一條直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，則“α⊥β ”是“l(fā)⊥β ”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：若l為平面α內(nèi)的一條直線且l⊥β，則α⊥β，反過(guò)來(lái)則不一定成立，所以“α⊥β”是“l(fā)⊥β”的必要不充分條件，故選B. 答案：B 8．(2018·廣州模擬)用a，b，c表示空間中三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題： ①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；②若a∥b，a∥c，則b∥c； ③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b. 其中真命題的序號(hào)是(　　) A．①②　　　　　　 B．②③ C．①④ D．②④ 解析：對(duì)于①，正方體從同一頂點(diǎn)引出的三條直線a，b，c，滿足a⊥b，b⊥c，但是a⊥c，所以①錯(cuò)誤； 對(duì)于②，若a∥b，a∥c，則b∥c，滿足平行線公理，所以②正確； 對(duì)于③，平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系可能是平行、相交或者異面，所以③錯(cuò)誤； 對(duì)于④，由垂直于同一平面的兩條直線平行，知④正確．故選D. 答案：D 9.(2018·菏澤模擬)如圖所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是(　　) A．異面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 解析：在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1， ∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC， ∴A1B1∥平面ABC， ∵過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于DE， ∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.故選B. 答案：B 10.(2018·貴陽(yáng)模擬)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的內(nèi)心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 解析：由題意可知PA、PE、PF兩兩垂直， 所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF， 而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因?yàn)镻O∩PA＝P， 所以EF⊥平面PAO， ∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO， ∴O為△AEF的垂心．故選A. 答案：A 11．已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD­A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段D1E與C1F上的點(diǎn)，則滿足與平面ABCD平行的直線MN有(　　) A．0條　　　　　　　　 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條 解析：如圖所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于點(diǎn)N，M，連接MN，由面面平行的性質(zhì)得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有無(wú)數(shù)多個(gè)，所以平行于平面ABCD的MN有無(wú)數(shù)多條，故選D. 答案：D 12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折過(guò)程中，下面四個(gè)命題中不正確的是(　　) A．BM是定值 B．點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng) C．存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C D．MB∥平面A1DE 解析：取CD的中點(diǎn)F，連接MF，BF，AF(圖略)，則MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正確． ∵∠A1DE＝∠MFB，MF＝A1D，F(xiàn)B＝DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB，∴MB是定值，故A正確．∵B是定點(diǎn)，BM是定值，∴M在以B為球心，MB為半徑的球上，故B正確．∵A1C在平面ABCD中的射影是點(diǎn)C與AF上某點(diǎn)的連線，不可能與DE垂直，∴不存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C.故選C. 答案：C 二、填空題 13.如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線MN與AC所成的角為60°. 其中正確的結(jié)論為_(kāi)_______(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)． 解析：AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線．因?yàn)镈1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，為60°. 答案：③④ 14．如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖．在這個(gè)正方體中，①BM與ED是異面直線；②CN與BE平行；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直． 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________． 解析：由題意畫(huà)出該正方體的圖形如圖所示，連接BE，BN，顯然①②正確；對(duì)于③，連接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN與BM成60°角，所以③正確；對(duì)于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正確． 答案：①②③④ 15.如圖，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確命題的序號(hào)是________． 解析：∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑， ∴CB⊥PA，CB⊥AC，又PA∩AC＝A， ∴CB⊥平面PAC.又AF?平面PAC，∴CB⊥AF. 又∵F是點(diǎn)A在PC上的射影， ∴AF⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC， ∴AF⊥平面PBC， 故①③正確．又∵E為A在PB上的射影， ∴AE⊥PB， ∴PB⊥平面AEF，故②正確． 而AF⊥平面PCB， ∴AE不可能垂直于平面PBC. 故④錯(cuò)． 答案：①②③ 16．如圖所示，在四棱錐PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形，則異面直線CD與PB所成角的大小為_(kāi)_______． 解析：如圖所示，延長(zhǎng)DA至E，使AE＝DA，連接PE，BE. ∵∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD， ∴DE＝BC，DE∥BC. ∴四邊形CBED為平行四邊形，∴CD∥BE. ∴∠PBE就是異面直線CD與PB所成的角． 在△PAE中，AE＝PA，∠PAE＝120°，由余弦定理，得 PE＝ ＝ ＝AE. 在△ABE中，AE＝AB，∠BAE＝90°， ∴BE＝AE. ∵△PAB是等邊三角形，∴PB＝AB＝AE， ∴PB2＋BE2＝AE2＋2AE2＝3AE2＝PE2， ∴∠PBE＝90°. 答案：90° B組　大題規(guī)范練 1．(2018·臨沂模擬)如圖①，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝4，E是邊AD上一點(diǎn)，且AE＝3，把△ABE沿BE翻折，使得點(diǎn)A到A′滿足平面A′BE與平面BCDE垂直(如圖②)． (1)若點(diǎn)P在棱A′C上，且CP＝3PA′，求證：DP∥平面A′BE； (2)求二面角B­A′E­D的余弦值的大?。? 解析：(1)證明：過(guò)P作PQ∥BC交A′B于點(diǎn)Q.如圖所示． 因?yàn)镃P＝3PA′，所以＝＝， 因?yàn)锽C＝4，所以PQ＝1， 因?yàn)镈E∥BC，DE＝1，所以DE綊PQ， 所以四邊形QEDP為平行四邊形， 所以DP∥EQ. 因?yàn)镈P?平面A′BE，EQ?平面A′BE，所以DP∥平面A′BE. (2)如圖，過(guò)A′作A′F⊥BE于點(diǎn)F， 因?yàn)槠矫鍭′BE⊥平面BCDE. 所以A′F⊥平面BCDE. 因?yàn)椤螧A′E＝90°，A′B＝，A′E＝3， 所以∠A′EB＝30°，A′F＝，EF＝， 過(guò)F作FG⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則FG＝，EG＝. 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，D(0,0,0)，E(1,0,0)，B(4，，0)，C(0，，0)，A′，F(xiàn)，則＝，＝，＝(1,0,0)． 設(shè)平面A′BE的法向量n＝(x，y，z)， 則 即 可取n＝(1，－，0)． 設(shè)平面A′DE的法向量m＝(x1，y1，z1)， 則 即 可取m＝(0,2，－)． 所以cos〈m，n〉＝＝－. 因?yàn)槎娼荁­A′E­D為鈍角， 所以二面角B­A′E­D的余弦值的大小為－. 2.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4. (1)求證：M為PB的中點(diǎn)； (2)求二面角B­PD­A的大??； (3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值． 解析：(1)證明：如圖，設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為E，連接ME. 因?yàn)镻D∥平面MAC， 平面MAC∩平面PDB＝ME， 所以PD∥ME. 因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形， 所以E為BD的中點(diǎn)． 所以M為PB的中點(diǎn)． (2)取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OE. 因?yàn)镻A＝PD，所以O(shè)P⊥AD. 又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP?平面PAD， 所以O(shè)P⊥平面ABCD. 因?yàn)镺E?平面ABCD，所以O(shè)P⊥OE. 因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以O(shè)E⊥AD. 以O(shè)為原點(diǎn)，以，，為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz， 則P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)， ＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)． 設(shè)平面BDP的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令x＝1，得y＝1，z＝. 于是n＝(1,1，)． 又平面PAD的一個(gè)法向量為p＝(0,1,0)， 所以cos〈n，p〉＝＝. 由題知二面角B­PD­A為銳角， 所以二面角B­PD­A的大小為60°. (3)由題意知M，C(2,4,0)，則＝. 設(shè)直線MC與平面BDP所成角為α， 則sin α＝|cos〈n，〉|＝＝. 所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為. 3.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1. (1)求證：AD⊥平面BFED； (2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試求θ的最小值． 解析：(1)證明：在梯形ABCD中， ∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2. ∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos 60°＝3. ∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD. ∵平面BFED⊥平面ABCD， 平面BFED∩平面ABCD＝BD， DE?平面BFED，DE⊥DB， ∴DE⊥平面ABCD， ∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D， ∴AD⊥平面BFED. (2)由(1)知，直線AD，BD，ED兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令EP＝λ(0≤λ≤)，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)， ∴＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1)． 設(shè)n1＝(x，y，z)為平面PAB的法向量， 由得 取y＝1，則n1＝(，1，－λ)． ∵n2＝(0,1,0)是平面ADE的一個(gè)法向量， ∴cos θ＝＝ ＝. ∵0≤λ≤，∴當(dāng)λ＝時(shí)，cos θ有最大值，∴θ的最小值為60°. 4.在三棱錐P­ABC中，PA＝PB＝PC＝2，BC＝1，AC＝，AC⊥BC. (1)求點(diǎn)B到平面PAC的距離． (2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值． 解析：(1)以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過(guò)C作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 取AB的中點(diǎn)D，連接PD，DC， 因?yàn)椤鰽CB為直角三角形且AC＝，BC＝1， 所以AB＝2，故DC＝1， 所以△PAB為正三角形， 所以PD⊥AB且PD＝， 在△PDC中，PC＝2，PD＝，DC＝1， 所以PC2＝PD2＋DC2， 所以PD⊥DC，又AB∩DC＝D， 所以PD⊥平面ABC. 則A(，0,0)，B(0,1,0)，D，P，C(0,0,0)，＝(，0,0)，＝，＝，＝(0,1,0)， 設(shè)平面PAC的法向量n＝(x，y，z)， 則 取y＝2，得n＝(0,2，－1)， 所以點(diǎn)B到平面PAC的距離 d＝＝＝. (2)＝，＝(0，－1,0)， 設(shè)異面直線PA與BC所成角為θ， cos θ＝＝＝. 所以異面直線PA與BC所成角的余弦值為. (二) A組　小題提速練 一、選擇題 1．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．6　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．3 解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為2，高為的三角形，正視圖的長(zhǎng)為三棱柱的高，故h＝3，所以幾何體的體積V＝S·h＝×3＝3. 答案：B 2．某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓，則該幾何體的表面積為(　　) A．92＋24π B．82＋24π C．92＋14π D．82＋14π 解析：依題意，題中的幾何體是在一個(gè)長(zhǎng)方體的上表面放置了半個(gè)圓柱，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是5、4、4，圓柱的底面半徑是2，高是5，因此該幾何體的表面積等于3×(4×5)＋2×(4×4)＋π×22＋×(2π×2)×5＝92＋14π，故選C. 答案：C 3．如圖，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P­BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為(　　) A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 解析：由題意可得正視圖的面積等于矩形ADD1A1面積的，側(cè)視圖的面積等于矩形CDD1C1面積的，又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1與矩形CDD1C1的面積相等，即正視圖與側(cè)視圖的面積之比是1∶1，故選A. 答案：A 4．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析：如圖，設(shè)點(diǎn)C到平面OAB的距離為h，球O的半徑為R，因?yàn)椤螦OB＝90°，所以S△OAB＝R2，要使VO－ABC＝·S△OAB·h最大，則OA，OB，OC應(yīng)兩兩垂直，且(VO－ABC)max＝×R2×R＝R3＝36，此時(shí)R＝6，所以球O的表面積為S球＝4πR2＝144π.故選C. 答案：C 5．在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B. C．6π D. 解析：由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個(gè)側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過(guò)直三棱柱的高，所以這個(gè)球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時(shí)球的半徑R＝，該球的體積最大，Vmax＝πR3＝×＝. 答案：B 6．已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝＝；同理SB＝.過(guò)A點(diǎn)作SC的垂線交SC于D點(diǎn)，連接DB(圖略)，因?yàn)椤鱏AC≌△SBC，所以BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD為等腰三角形，因?yàn)椤螦SC＝30°，所以AD＝SA＝，則△ABD的面積為×1× ＝，則三棱錐的體積為××2＝. 答案：A 7．四棱錐SABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，其表面積等于8＋8，則球O的體積等于(　　) A. B. C．16π D. 解析：依題意，設(shè)球O的半徑為R，四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為a、高為h，則有h≤R，即h的最大值是R，又AC＝2R，則四棱錐SABCD的體積VSABCD＝×2R2h≤.因此，當(dāng)四棱錐SABCD的體積最大，即h＝R時(shí)，其表面積等于(R)2＋4××R× ＝8＋8，解得R＝2，因此球O的體積等于＝，選A. 答案：A 8．已知三棱錐PABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為，則球O的表面積為(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 解析：依題意，設(shè)球O的半徑為R，球心O到平面ABC的距離為d，則由O是PC的中點(diǎn)得，點(diǎn)P到平面ABC的距離等于2d，所以VP－ABC＝2VO－ABC＝2×S△ABC×d＝××12×d＝，解得d＝，又R2＝d2＋()2＝1，所以球O的表面積等于4πR2＝4π，選A. 答案：A 9．已知Rt△ABC，其三邊長(zhǎng)分別為a，b，c(a>b>c)．分別以三角形的邊a，b，c所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個(gè)幾何體，其表面積和體積分別為S1，S2，S3和V1，V2，V3.則它們的關(guān)系為(　　) A．S1>S2>S3，V1>V2>V3 B．S1<S2<S3，V1<V2<V3 C．S1>S2>S3，V1＝V2＝V3 D．S1<S2<S3，V1＝V2＝V3 解析：S1＝π··(b＋c)，V1＝π2a，S2＝πac＋πc2，V2＝πbc2，S3＝πab＋πb2，V3＝πb2c.由a>b>c，可得S1<S2<S3，V1<V2<V3. 答案：B 10．正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時(shí)四面體ABCD的外接球的半徑為(　　) A. B. C．2 D. 解析：球心O一定在與平面BCD垂直且過(guò)底面正三角形中心O′的直線上，也在平面ADO中AD的垂直平分線上，如圖．OE＝O′D＝××＝1，DE＝AD＝×2×＝，故所求外接球的半徑r＝ ＝. 答案：B 11．已知點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為(　　) A. B．8π C. D. 解析：∵AB＝BC＝，AC＝2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圓的圓心為邊AC的中點(diǎn)O1，如圖所示，若使四面體ABCD體積取得最大值只需使點(diǎn)D到平面ABC的距離最大，又OO1⊥平面ABC，∴點(diǎn)D是直線OO1與球上方的交點(diǎn)時(shí)體積最大．設(shè)球的半徑為R，則由體積公式有O1D＝2.在Rt△AOO1中，R2＝1＋(2－R)2，解得R＝，故球的表面積S＝，故選C. 答案：C 12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn)，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長(zhǎng)度的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：取B1C1的中點(diǎn)M，BB1的中點(diǎn)N，連接A1M，A1N，MN，則平面A1MN∥平面AEF，所以點(diǎn)P位于線段MN上．在△A1MN中，A1M＝A1N＝ ＝，MN＝＝.當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)M，N時(shí)，A1P最大，為；當(dāng)點(diǎn)P位于MN的中點(diǎn)時(shí)，A1P最小，為＝，所以≤A1P≤. 答案：B 二、填空題 13．若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與軸所成角的正弦值為_(kāi)_______． 解析：設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，母線與軸所成角為θ，則S側(cè)＝·2πr·，S底＝πr2，因?yàn)镾側(cè)＝3S底，所以πr·＝3πr2，得＝3r，即8r2＝h2，所以tan θ＝，sin θ＝. 答案： 14．已知三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)都等于3.螞蟻從A點(diǎn)沿側(cè)面經(jīng)過(guò)棱BB1上的點(diǎn)N和CC1上的點(diǎn)M爬到點(diǎn)A1，如圖所示，則螞蟻爬過(guò)的路程最短為_(kāi)_______． 解析：將三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)面展開(kāi)如圖所示，則有A′A′1＝3，AA′1＝＝3.所以螞蟻爬過(guò)的路程最短為AA′1. 答案：3 15．如圖所示，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P是棱AD上一點(diǎn)，且AP＝，過(guò)B1、D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________. 解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ. 又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ， 設(shè)PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ. ∴＝＝，即PQ＝2PM. 又知△APM∽△ADB，∴＝＝， ∴PM＝BD，又BD＝a，∴PQ＝a. 答案：a 16.如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點(diǎn)．若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AD＝2，點(diǎn)M在線段PC上，且PM＝2MC，則四棱錐P­ABCD與三棱錐P­QBM的體積之比是________． 解析：過(guò)點(diǎn)M作MH∥BC交PB于點(diǎn)H. ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD， ∴PQ⊥平面ABCD. ∵PA＝PD＝AD＝AB＝2，∠BAD＝60°， ∴PQ＝BQ＝. ∴VP­ABCD＝PQ·S菱形ABCD＝××2×＝2. 又PQ⊥BC，BQ⊥AD，AD∥BC. ∴BQ⊥BC，又QB∩QP＝Q， ∴BC⊥平面PQB，由MH∥BC， ∴MH⊥平面PQB，＝＝， ∵BC＝2，∴MH＝， ∴VP­QBM＝VM­PQB＝××××＝， ∴VP­ABCD∶VP­QBM＝3∶1. 答案：3∶1 B組　大題規(guī)范練 1．如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，E為棱CC1的中點(diǎn)． (1)求證：B1D1⊥AE； (2)求證：AC∥平面B1DE. 證明：(1)連接BD， 則BD∥B1D1. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD. ∵CE⊥平面ABCD， ∴CE⊥BD. 又AC∩CE＝C， ∴BD⊥平面ACE. ∵AE?平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE. (2)取BB1的中點(diǎn)F，連接AF，CF，EF， 則FC∥B1E， ∴CF∥平面B1DE. ∵E，F(xiàn)是CC1，BB1的中點(diǎn)，∴EF綊BC. 又BC綊AD，∴EF綊AD， ∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥ED. ∵AF?平面B1DE，ED?平面B1DE， ∴AF∥平面B1DE. ∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE. 又∵AC?平面ACF，∴AC∥平面B1DE. 2.如圖，在三棱錐V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)． (1)求證：VB∥平面MOC； (2)求證：平面MOC⊥平面VAB； (3)求三棱錐V­ABC的體積． 解析：(1)證明：因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)， 所以O(shè)M∥VB. 又因?yàn)閂B?平面MOC，所以VB∥平面MOC. (2)證明：因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)， 所以O(shè)C⊥AB. 又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，且OC?平面ABC， 所以O(shè)C⊥平面VAB. 所以平面MOC⊥平面VAB. (3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝， 所以AB＝2，OC＝1. 所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝. 又因?yàn)镺C⊥平面VAB， 所以三棱錐C­VAB的體積等于OC·S△VAB＝. 又因?yàn)槿忮FV­ABC的體積與三棱錐C­VAB的體積相等，所以三棱錐V­ABC的體積為. 3．如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn)． (1)求證：直線AF∥平面PEC； (2)求三棱錐P­BEF的表面積． 解析：(1)證明：作FM∥CD交PC于M，連接ME. ∵點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)，∴FM綊CD， 又AE綊CD，∴AE綊FM， ∴四邊形AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM， ∵AF?平面PEC，EM?平面PEC， ∴直線AF∥平面PEC. (2)連接ED，BD，可知ED⊥AB， ???AB⊥PE，AB⊥FE， 故S△PEF＝PF·ED＝××＝； S△PBF＝PF·BD＝××1＝； S△PBE＝PE·BE＝××＝； S△BEF＝EF·EB＝×1×＝. 因此三棱錐P­BEF的表面積SP­BEF＝S△PEF＋S△PBF＋S△PBE＋S△BEF＝. 4．如圖，在單位正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，BC1的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面C1CDD1； (2)在線段A1B上是否存在點(diǎn)G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求點(diǎn)G到平面C1DF的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解析：(1)證明：取BC的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M， ∵E，F(xiàn)分別是AD，BC1的中點(diǎn)， ∴EM∥DC，F(xiàn)M∥C1C， EM?平面EFM，F(xiàn)M?平面EFM，EM∩FM＝M， DC?平面C1CDD1，C1C?平面C1CDD1，DC∩C1C＝C， ∴平面EFM∥平面C1CDD1，而EF?平面EFM， ∴EF∥平面C1CDD1. (2)取A1B的中點(diǎn)G，連接EG，EA1，EB，易知EA1＝EB，而G為中點(diǎn)，∴EG⊥A1B. 連接FG，則FG∥A1C1， ∵正方體棱長(zhǎng)為1， 在△A1BC1中，F(xiàn)G＝A1C1＝. 在Rt△FME中，EF＝，在Rt△EAG中，EG＝， ∴FG2＋EG2＝FE2，即EG⊥FG，故EG⊥A1C1， 又A1B，A1C1?平面A1BC1，A1B∩A1C1＝A1， ∴EG⊥平面A1BC1. 點(diǎn)G到平面C1DF的距離就是點(diǎn)G到平面C1DB的距離． ∵GA∥C1D，∴GA∥平面C1DB， ∴點(diǎn)G到平面C1DB的距離就是點(diǎn)A到平面C1DB的距離．易知S△BDC1＝，S△ABD＝， 點(diǎn)C1到平面ABD的距離為1， 設(shè)點(diǎn)G到平面C1DF的距離為d， 由VC1­ABD＝VA­BDC1得×1×S△ABD＝·d·S△BDC1， 即＝d·，∴d＝， 即點(diǎn)G到平面C1DF的距離為. 23