2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五單元 平面向量與復(fù)數(shù) 第34講 平面向量的應(yīng)用練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第34講　平面向量的應(yīng)用 1．一船從某河一岸駛向另一岸，船速為v1，水速為v2，已知船可垂直到達(dá)對(duì)岸，則(B) A．|v1|<|v2| B．|v1|>|v2| C．|v1|＝|v2| D．|v1|與|v2|的大小不確定 2．設(shè)a，b是非零向量，若函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的圖象是一條直線，則必有(A) A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)∥b C．|a|＝|b| D．|a|≠|(zhì)b| f(x)＝xa2－x2a·b＋a·b－xb2， 因?yàn)閒(x)為直線，即a·b＝0，所以a⊥b. 3．已知O、N、P在△ABC所在平面內(nèi)，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，則點(diǎn)O、N、P依次是△ABC的(C) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心 由||＝||＝||知，O為△ABC的外心． 由＋＋＝0知，N為△ABC的重心． 由·＝·?(－)·＝0?⊥， 同理，⊥，⊥，所以P為△ABC的垂心． 4．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1，則z的取值范圍為(D) A．[－2,2] B．[－2,3] C．[－3,2] D．[－3,3] 　　 因?yàn)閍⊥b，所以2(x＋z)＋3(y－z)＝0， 則z＝2x＋3y，x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1， 畫出可行域如下： 當(dāng)z＝2x＋3y經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)時(shí)，z＝2x＋3y取得最大值3，當(dāng)z＝2x＋3y經(jīng)過點(diǎn)C(0，－1)時(shí)，z＝2x＋3y取得最小值－3. 5．兩人一起提重為|G|的書包時(shí)，兩拉力的夾角為θ，每人用力均為|F|，則|F|與|G|的關(guān)系是　|F|＝　. 按力的平行四邊形法則有|F|＝. 6．在正三角形ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，若AB＝3，＝2，則·＝　　. 　　 如圖，在△ABD中， ·＝·(＋)＝2＋· ＝9＋||·||·cos 120°＝. 7．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點(diǎn)P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上，且＝m＋n(m，n∈R)． (1)若m＝n＝，求||； (2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． (1)因?yàn)閙＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)， 所以＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)． 所以||＝＝2. (2)因?yàn)椋絤(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n), 即兩式相減得：m－n＝y(tǒng)－x. 令y－x＝t，由圖可知，當(dāng)直線y＝x＋t過點(diǎn)B(2,3)時(shí)，t取得最大值1，故m－n的最大值為1. 8．已知A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量m滿足|m|＝，且m＝(sin，cos)，若A最大時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P使得||、||、||成等差數(shù)列，則 的最大值是(A) A. B. C. D. 由題意知2sin2＋cos2＝， 即1－cos(B＋C)＋＝， 則cosA＝－cos(B－C)， 因?yàn)锽，C∈(0，π)，所以B－C∈(－π，π)， 當(dāng)B＝C時(shí)，cos A取最小值－，A取最大值，此時(shí)B＝C＝. 設(shè)||＝2c(c≠0)，因?yàn)閨|，||，||成等差數(shù)列， 所以||＋||＝2||＝4c>||， 所以點(diǎn)P的軌跡為以B、C為焦點(diǎn)的橢圓， 且橢圓方程為＋＝1， 不妨設(shè)A(0，)，P(2ccos θ，csin θ)(θ為參數(shù))， 則||＝ ＝c≤c， 當(dāng)且僅當(dāng)sin θ＝－1時(shí)取等號(hào)， 所以的最大值是＝ . 9．已知點(diǎn)P(－3，0)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線AQ上，滿足·＝0，＝－，當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為__y2＝4x(x>0)__． 設(shè)M(x，y)為軌跡上的任一點(diǎn)，設(shè)A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，則＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)， 因?yàn)椋剑?，所?x，y－b)＝－(a－x，－y)， 所以a＝x，b＝－，即A(0，－)，Q(，0)， ＝(3，－)，＝(x，y)， 因?yàn)?#183;＝0，所以3x－y2＝0， 即所求軌跡的方程為y2＝4x(x>0)． 10．如圖，平行四邊形OACB中，BD＝BC，OD與BA相交于E，求證：BE＝BA. 　　 如圖，設(shè)＝a，＝b， 則＝a，＝b＋a， 設(shè)＝ma＋nb， 因?yàn)镺，E，D三點(diǎn)共線，所以＝，① ＝－＝(m－1)a＋nb，＝b－a， 又A，E，B三點(diǎn)共線，所以＝，即m＋n－1＝0.② 由①②解得m＝，n＝3m＝，故＝a＋b. 所以＝－＝a＋b－b＝a－b， 又＝a－b，所以＝，即BE＝BA. 5