2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 第3講 平面向量練習(xí) 理

第3講 平面向量 專題復(fù)習(xí)檢測(cè) A卷 1．已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，則λ＝(　　) A．3　 B．－3　　 C．　 D．－ 【答案】B 2．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是(　　) A．x＝－　 B．x＝－1 C．x＝5　 D．x＝0 【答案】D 3．在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(　　) A．　 B．2　　 C．5　 D．10 【答案】C 4．(2019年山東模擬)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，則向量a在b方向上的投影為(　　) A．1　 B．　　　　 C．　 D． 【答案】D 【解析】由a⊥(a－b)，可得a·(a－b)＝a2－a·b＝0，所以a·b＝a2＝1.所以向量a在b方向上的投影為|a|cos 〈a，b〉＝＝＝.故選D． 5．(2019年湖南懷化模擬)在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，若＝λ，＝＋μ，則λ＋μ＝(　　) A．　 B．－　　 C．　 D．－ 【答案】B 【解析】如圖所示，由＝λ，可得－＝λ(－)，則＝＋.又E是AD的中點(diǎn)，所以＝＋＝－＋＝＋.又＝＋μ，AB，AC不共線，所以＝，＝μ，解得λ＝，μ＝－，則λ＋μ＝－.故選B． 6．(2017年新課標(biāo)Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________. 【答案】2 【解析】|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，∴|a＋2b|＝＝2. 7．(2019年新課標(biāo)Ⅲ)已知a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，則cos 〈a，c〉＝________. 【答案】 【解析】a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，c2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋5b2＝9，則 |c|＝3.所以cos 〈a，c〉＝＝. 8．(2018年內(nèi)蒙古呼和浩特一模)在△ABC中，AB＝，BC＝2AC＝2，滿足|－t|≤||的實(shí)數(shù)t的取值范圍是________． 【答案】 【解析】由題意，得AC＝1，cos〈，〉＝＝＝.由|－t|≤||，得2－2t||||cos〈，〉＋t22≤32，即3－2t×2×＋4t2≤3，解得0≤t≤. 9．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°. (1)求|a＋b|的值； (2)當(dāng)(a＋2b)⊥(ka－b)時(shí)，求k的值． 【解析】(1)由已知，得a·b＝4×8×＝－16， ∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a＋b|＝4. (2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0. ∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 10．已知向量a＝(cos x,2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，函數(shù)f(x)＝a·b. (1)把函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當(dāng)a≠0，a與b共線時(shí)，求f(x)的值． 【解析】(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sin xcos x ＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1， ∴g(x)＝sin＋1 ＝sin＋1. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. (2)∵a≠0，a與b共線，∴cos x≠0. ∴sin xcos x－4cos2x＝0.∴sin x＝4cos x，tan x＝4. 則f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝＝＝. B卷 11．(2017年新課標(biāo)Ⅱ)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·(＋)的最小值是(　　) A．－2　 B．－　　　　 C．－　 D．－1 【答案】B 【解析】如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線DA所在直線為y軸，D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．設(shè)P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴＋＝(－2x，－2y)，·(＋)＝2x2－2y(－y)＝2x2＋22－≥－，當(dāng)x＝0，y＝，即P時(shí)，·(＋)有最小值－. 12．(2018年四川成都模擬)已知A，B是圓O：x2＋y2＝4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，||＝2，＝－.若M是線段AB的中點(diǎn)，則·的值為(　　) A．3　 B．2　　　　 C．－2　 D．－3 【答案】A 【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝，＝(x2－x1，y2－y1)．∴＝－＝.由||＝2，得(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝4.①　又A，B在圓O上，∴x＋y＝4，x＋y＝4.②　聯(lián)立①②得x1x2＋y1y2＝2，∴·＝·，化簡(jiǎn)得(x＋y)－(x＋y)＋(x1x2＋y1y2)＝×4－×4＋×2＝3. 13．(2019年浙江)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)每個(gè)λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1時(shí)，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________． 【答案】0　2 【解析】由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，可得＋＝，＝－，·＝0， ∴|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|＝|λ1＋λ2－λ3－λ4＋λ5＋λ5＋λ6－λ6|＝|(λ1－λ3＋λ5－λ6)·＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)|.要使|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|最小，只需要|λ1－λ3＋λ5－λ6|＝|λ2－λ4＋λ5＋λ6|＝0，此時(shí)只需取λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝1，λ4＝1，λ5＝1，λ6＝1，此時(shí)所求最小值為0.又|(λ1－λ3＋λ5－λ6)＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)·|2＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)2＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)2≤(|λ1|＋|λ3|＋|λ5－λ6|)2＋(|λ2|＋|λ4|＋|λ5＋λ6|)2＝(2＋|λ5－λ6|)2＋(2＋|λ5＋λ6|)2＝8＋4(|λ5－λ6|＋|λ5＋λ6|)＋(λ5－λ6)2＋(λ5＋λ6)2＝8＋4＋2(λ＋λ)＝12＋4＝20，當(dāng)且僅當(dāng)λ1－λ3，λ5－λ6均非負(fù)或均非正，并且λ2－λ4，λ5＋λ6均非負(fù)或均非正，可取λ1＝1，λ2＝1，λ3＝－1，λ4＝－1，λ5＝1，λ6＝1，則所求最大值為＝2. 14．(2019年四川眉山模擬)已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，設(shè)向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)． (1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形； (2)若m⊥p，邊長(zhǎng)c＝2，角C＝，求△ABC的面積． 【解析】(1)證明：因?yàn)閙＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，m∥n， 所以asin A＝bsin B. 結(jié)合正弦定理，可得a2＝b2，即a＝b， 所以△ABC為等腰三角形． (2)因?yàn)閙＝(a，b)，p＝(b－2，a－2)，m⊥p， 所以m·p＝a(b－2)＋b(a－2)＝0，則a＋b＝ab. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，其中c＝2，C＝， 所以a2＋b2－ab＝4，則(a＋b)2－3ab－4＝0. 所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)． 所以S△ABC＝absin C＝×4×sin＝. - 6 -