2020年高考數(shù)學一輪復習 考點題型 課下層級訓練39 空間向量的運算及應用（含解析）

課下層級訓練(三十九)　空間向量的運算及應用 [A級　基礎強化訓練] 1．如圖，三棱錐O ­ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，設＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則＝(　　) A．(－a＋b＋c) B．(a＋b－c) C．(a－b＋c) D．(－a－b＋c) 【答案】B　[＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c)．] 2．已知四邊形ABCD滿足：·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，則該四邊形為(　　) A．平行四邊形 B．梯形 C．長方形 D．空間四邊形 【答案】D　[由·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，知該四邊形一定不是平面圖形．] 3．在空間四邊形ABCD中，·＋·＋·＝(　　) A．－1　 B．0　 C．1　 D．不確定 【答案】B　[如圖， 令＝a，＝b，＝c，則·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.] 4．如圖，在大小為45°的二面角A ­EF ­D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是(　　) A． B． C．1 D． 【答案】D　[∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.] 5．正方體ABCD ­A1B1C1D1的棱長為1，若動點P在線段BD1上運動，則·的取值范圍是(　　) A．(0, 1) B．[0, 1) C．[0, 1] D．[－1, 1] 【答案】C　[如圖所示， 由題意，設＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝1＋λ·＝1－λ∈[0,1]．因此·的取值范圍是[0, 1]．] 6．在空間四邊形ABCD中，G為CD的中點，則＋(＋)＝________. 【答案】　[依題意有＋(＋)＝＋×2＝＋＝.] 7．如圖，在四面體O ­ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝________.(用a，b，c表示) 【答案】a＋b＋c　[＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.] 8．正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點，則EF的長為________. 【答案】　[||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴||＝，∴EF的長為.] 9．如圖，四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的各個面都是平行四邊形，E、F分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)求證：A、E、C1、F四點共面； (2)已知＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． 【答案】(1)證明　∵＝＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋. 又AC1、AE、AF有公共點A， ∴A、E、C1、F四點共面． (2)解　∵＝－＝＋－(＋) ＝＋－－＝－＋＋. ∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝. 10．如圖，在正方體ABCD ­A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，點M，N分別是A1D，B1D1的中點． (1)試用a，b，c表示； (2)求證：MN∥平面ABB1A1. 【答案】(1)解　∵＝－＝c－a， ∴＝＝(c－a)． 同理，＝(b＋c)， ∴＝－＝(b＋c)－(c－a) ＝(b＋a)＝a＋b. (2)證明　∵＝＋＝a＋b， ∴＝，即MN∥AB1， ∵AB1?平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1， ∴MN∥平面ABB1A1. [B級　能力提升訓練] 11．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則·的值為(　　) A．a2　 B．a2　 C．a2　 D．a2 【答案】C　[·＝(＋)·＝(·＋·)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.] 12．空間四邊形ABCD的各邊和對角線均相等，E是BC的中點，那么(　　) A．·<· B．·＝· C．·>· D．·與·的大小不能比較 【答案】C　[取BD的中點F，連接EF，則EF∥CD且EF＝CD. 因為AE⊥BC，〈，〉＝〈，〉>90°，所以·＝0，·<0，因此·>·.] 13．A，B，C，D是空間不共面四點，且·＝0，·＝0，·＝0，則△BCD的形狀是________三角形．(填銳角、直角、鈍角中的一個) 【答案】銳角　[因為·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋2＝2>0， 所以∠CBD為銳角．同理∠BCD，∠BDC均為銳角．] 14．已知ABCD ­A1B1C1D1為正方體， ①(＋＋)2＝32； ②·(－)＝0； ③向量與向量的夾角是60°； ④正方體ABCD ­A1B1C1D1的體積為|··|. 其中正確的序號是________. 【答案】①②　[①中，(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故①正確；②中，－＝，因為AB1⊥A1C，故②正確；③中，兩異面直線A1B與AD1所成的角為60°，但與的夾角為120°，故③不正確；④中，|··|＝0，故④也不正確．] 15．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點，計算： (1)·；(2)·； (3)EG的長；(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值． 【答案】解　設＝a，＝b，＝c. 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， (1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c， ·＝(c－a)·(－a)＝a2－a·c＝. (2)·＝(c－a)·(b－c) ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－. (3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，則||＝. (4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－， 由于異面直線所成角的范圍是(0，]，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為. 16．(2019·遼寧沈陽模擬)如圖，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點． (1)求證：CE⊥A′D； (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值． 【答案】(1)證明　設＝a，＝b，＝c， 根據(jù)題意得，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0， ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴·＝－c2＋b2＝0. ∴⊥，即CE⊥A′D. (2)解　∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|. ·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝. 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為. 7