浙大四版《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第一章內(nèi)容提要及課后習(xí)題解答.doc

第一章 概率論的基本概念內(nèi)容提要考試要求1. 了解樣本空間的概念, 理解隨機(jī)事件的概念, 掌握事件的關(guān)系與運(yùn)算.2. 理解概率、條件概率的概念, 掌握概率的基本性質(zhì), 會(huì)計(jì)算古典型概率和幾何型概率, 掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式, 以及貝葉斯公式.3. 理解事件獨(dú)立性的概念, 掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率, 掌握計(jì)算有關(guān)事件概率的方法.一、古典概型與幾何概型1隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間與事件.2古典概型：設(shè)樣本空間為一個(gè)有限集，且每個(gè)樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有等可能性，則 3幾何概型：設(shè)為歐氏空間中的一個(gè)有界區(qū)域, 樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有等可能性，則二 事件的關(guān)系與概率的性質(zhì)1. 事件之間的關(guān)系與運(yùn)算律（與集合對應(yīng)）, 其中特別重要的關(guān)系有： （1） A與B互斥（互不相容） （2） A與B 互逆（對立事件） ,（3） A與B相互獨(dú)立 P（AB）=P（A）P（B）. P（B|A）=P（B） （P（A）0）. （0P（A）1）.P（B|A） =P（B|） （ 0 P（A） 1 ） 注: 若（0P（B）0） （0P（B）1）. P（A|B）=P（A|） （0P（B）1） P（|B）=P（|） （0P（B）0）三、乘法公式，全概率公式，Bayes公式與二項(xiàng)概率公式1 乘法公式：2 全概率公式：3Bayes公式：4二項(xiàng)概率公式: ,課后習(xí)題解答隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件1. 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間（1）記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（充以百分制記分）（一 1），n表小班人數(shù)（2）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（一 2）S=10，11，12，n，（3）對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。S=00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，（4）在單位圓內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)2. 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為：或A (AB+AC)或A (BC)（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為：或ABABC或ABC（3）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生表示為：A+B+C（4）A，B，C都發(fā)生，表示為：ABC（5）A，B，C都不發(fā)生，表示為：或S (A+B+C)或（6）A，B，C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：。（7）A，B，C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：（8）A，B，C中至少有二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：AB，BC，AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：AB+BC+AC頻率與概率3.（1）設(shè)A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解：P (A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+ P(ABC)= 。（2）已知，求的概率解：（3）已知（i）若A，B互不相容，求；（ii）若，求解：（i）因?yàn)锳，B互不相容，所以，（ii）因?yàn)椋?4、設(shè)A，B兩個(gè)事件.（1）已知，驗(yàn)證A=B。（2）驗(yàn)證事件A和B恰有一個(gè)發(fā)生的概率為解：（1）因?yàn)椋?，A=B（2）事件A和B恰有一個(gè)發(fā)生等價(jià)于，所以古典概型5、10片藥片中有5片是安慰劑.（1）從中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰劑的概率；（2）從中每次取1片，作不放回抽樣，求前3次都取到安慰劑的概率。解：（1）設(shè)抽取的5片中安慰劑的片數(shù)，B其中至少有2片是安慰劑則 或（2）設(shè)C前3次都取到安慰劑,則，或6 在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號碼。（1）求最小的號碼為5的概率。記“三人紀(jì)念章的最小號碼為5”為事件A 10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能。又事件A相當(dāng)于：有一人號碼為5，其余2人號碼大于5。這種組合的種數(shù)有（2）求最大的號碼為5的概率。記“三人中最大的號碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有種，且每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有種7 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？解：記所求事件為A。在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。取得4白3黑2紅的取法有故8 在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。（1）求恰有90個(gè)次品的概率。解：記“恰有90個(gè)次品”為事件A 在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有種，每種取法等可能。200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有種（2）至少有2個(gè)次品的概率。解：記：A表“至少有2個(gè)次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法有種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有種 且B0，B1互不相容。9 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只中至少有兩只配成一對”則表“4只全不配對” 從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有10 在11張卡片上分別寫上probability這11個(gè)字母，從中任意連抽7張，求其排列結(jié)果為ability的概率解：設(shè)A=排列結(jié)果為ability因?yàn)榭ㄆ杏袃蓚€(gè)b和兩個(gè)i，所以組成ability的方式有=4 所以：11 將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432種。 (選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列)對A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有種。(從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有，再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3種。對A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此3個(gè)球，選法有4種)12 50個(gè)鉚釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件，其中有三個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用3只鉚釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。法一：用古典概率作：把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去鉚完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個(gè)部件要分先后次序）對E：鉚法有種，每種裝法等可能對A：三個(gè)次釘必須鉚在一個(gè)部件上。這種鉚法有10種法二：用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計(jì)先后次序）對E：鉚法有種，每種鉚法等可能對A：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。這種鉚法有種13一俱樂部有5名一年級的學(xué)生，2名二年級的學(xué)生，3名三年級的學(xué)生，2名四年級的學(xué)生。（1）從中任選4名學(xué)生，求四個(gè)年級各有一名學(xué)生的概率；（2）在其中任選5名學(xué)生，求四個(gè)年級的學(xué)生均包含在內(nèi)的概率。解：（1）記A表示“四個(gè)年級各有一名學(xué)生”，則（2）設(shè)表示“從第i個(gè)年級抽取兩名學(xué)生，從其他年級各取一名”（i1，2，3，4），則四者互斥。，所以，所求概率為條件概率、乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式14（1） 已知。解一： 注意. 故有P (AB)=P (A)P (A)=0.70.5=0.2。再由加法定理，P (A)= P (A)+ P ()P (A)=0.7+0.60.5=0.8于是（2） 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得15 擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）。解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每種結(jié)果（x, y）等可能。A=擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故方法二：（用公式S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每種結(jié)果均可能A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個(gè)為“1”點(diǎn)”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。則，故16 據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P孩子得病=0.6，P (B|A)=P母親得病|孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父親得病|母親及孩子得病=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，這里不是求P (|AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P (|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6.從而P (AB)= P (AB) P(|AB)=0.30.6=0.18.17 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（記為事件A）法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種取法等可能。法二：用排列做 在10只中任取兩個(gè)來排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)排列等可能。法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。記A1，A2分別表第一、二次取得正品。（2）二只都是次品（記為事件B）法一：法二：法三：（3）一只是正品，一只是次品（記為事件C）法一：法二：法三： （4）第二次取出的是次品（記為事件D）法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作，法二：法三： 18 某人忘記了電話號碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？解：記H表撥號不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號能接通。注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個(gè)號碼。 如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。 19（1） 設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)）解：記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再從乙袋中取得白球”。B=A1B+A2B且A1，A2互斥P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) = (2) 第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。解：記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。 C2為“從第一盒子中取得2只白球”。 C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1C2C3=S，由全概率公式，有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 20、某種產(chǎn)品的商標(biāo)為MAXAM,其中有兩個(gè)字母脫落，有人撿起隨意放回，求放回后仍為MAXAM,的概率。解：設(shè)A=放回后仍為MAXAM字母脫落共有5種情況：（1）兩個(gè)M；（2）兩個(gè)A；（3）AM（4）XM（5）XA將其分別記為（i=1，2，3，4，5），則構(gòu)成了樣本空間的一個(gè)劃分。脫落字母的基本事件總數(shù)為，脫落MM只有一種情況，脫落A和X有2種情況（XA或AX），脫落MA有四種情況（第一個(gè)M第一個(gè)A，第一個(gè)M第二個(gè)A，第一個(gè)A第二個(gè)M，第二個(gè)A第二個(gè)M），依次類推，所以，設(shè)B表示“放回后仍為MAXAM”。則，所以，由全概率公式可得21 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：A1=男人，A2=女人，B=色盲，顯然A1A2=S，A1 A2=由已知條件知由貝葉斯公式，有 22 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格，i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P，（1）B=至少有一次及格所以 （2）（*）由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有 將以上兩個(gè)結(jié)果代入（*）得23將兩信息分別編碼為A和B傳送出去，接收站收到時(shí)，A被誤作B的概率為0.02，而B被誤作A的概率為0.01，信息A與B傳送的頻繁程度為2：1.若接受站收到信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？解：設(shè)A表示“收到信息為A”， 表示“收到信息為B”，B1表示“發(fā)送信息為A”，B2表示“發(fā)送信息為B”，則由題意，所以由全概率公式得所求概率由貝葉斯公式可得24 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2Aj表示“第j箱產(chǎn)品”j=1,2，顯然A1A2=SA1A2=（1）（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。（2） （先用條件概率定義，再求P (B1B2)時(shí)，由全概率公式解）25 某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時(shí)間5:355:395:405:445:455:495:505:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)A=“乘地鐵”，B=“乘汽車”，C=“5:455:49到家”，由題意,AB=,AB=S已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5由貝葉斯公式有26 .病樹的主人外出，委托鄰居澆水，設(shè)已知如果不澆水，樹死亡的概率為0.8，若澆水則樹死亡的概率為0.15，有90的把握確定鄰居會(huì)記得澆水。（1）求主人回來時(shí)樹還活著的概率（2）若主人回來時(shí)樹已死，求鄰居忘記澆水的概率。解：設(shè)A表示“樹已死亡”，則表示“樹還活著”；設(shè)B表示“鄰居澆水”，則表示“忘記澆水”。由題意，已知（1）因?yàn)椋杂扇怕使娇傻茫?）由條件概率公式可求所求概率27 設(shè)A，B，C都是事件（1）已知，證明 證明：因?yàn)?，而，所以?）若，證明證明：因?yàn)?，所以，即，而?）若，證明。證：因?yàn)樗砸驗(yàn)?，所以，即所以?dú)立性28. 兩種花籽，發(fā)芽率分別為0.8、0.9，從中各取一顆，設(shè)各花籽是否發(fā)芽相互獨(dú)立。求（1）這兩顆花籽都能發(fā)芽的概率；（2）至少有一顆發(fā)芽的概率；（3）恰有一顆能發(fā)芽的概率。解：設(shè)A表示“其中一顆發(fā)芽”，B表示“另一顆發(fā)芽”，則（1）（獨(dú)立）（2）（3） 29.據(jù)報(bào)道，美國人血型的分布近似為：A型為37，B型為13，O型為44，AB型為6. 夫妻擁有的血型是相互獨(dú)立的。（1）B型血的人只有輸入B或O兩種血型才安全。如果妻子是B型，夫是何種血型未知，求夫是妻子的安全輸血者的概率；（2）隨機(jī)地取一對夫婦，求妻子為B丈夫?yàn)锳的概率；（3）隨機(jī)地取一對夫婦，求其中一人為A型，另一人為B型的概率；（4）隨機(jī)地取一對夫婦，求其中至少有一人為O型的概率。解：設(shè)表示丈夫分別擁有A、B、O、AB型的血；表示妻子分別擁有A、B、O、AB型的血。（1） 當(dāng)丈夫擁有B或O型血時(shí)，才是妻子的安全輸血者，因此，所求概率為（2）（3）（4）30. （1）給出事件A、B的例子，使得（i）；（ii）；（iii）解：（i）一個(gè)袋子中有10個(gè)球，其中紅球3個(gè)、白球7個(gè)，先后兩次從中各取1球（不放回）設(shè)A表示“第一次取到紅球”，B表示“第二次取到紅球”，則，所以（ii）在100件產(chǎn)品中有5件次品.現(xiàn)采用有放回抽樣,即每次從中取出一件樣品觀察后在放回,然后進(jìn)行下次抽樣.設(shè),分別表示第二、一次取得次品的事件,則所以（iii）已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級品,今從這批產(chǎn)品中任取一件,求取得的為一級的概率.令 = 任取一件產(chǎn)品為一級品, = 任取一件產(chǎn)品為合格品，顯然，即有，所以，于是所要求的概率為.而（2）設(shè)事件A、B、C相互獨(dú)立，證明（i）C與AB獨(dú)立；（ii）C與獨(dú)立。證：（i）所以獨(dú)立；（ii）所以獨(dú)立.（3）設(shè)事件A的概率，證明對于任意另一事件B，有A、B獨(dú)立。證：因任意事件，所以如果，因，所以，即，所以概率是零的事件與任意事件獨(dú)立，自然，不可能事件與任何事件獨(dú)立。同樣，如果 ，則，由于，所以，從而可見概率是1的事件與任意事件獨(dú)立，自然，必然事件與任意事件獨(dú)立. （4）A、B獨(dú)立的充要條件是證：若A、B獨(dú)立，則A與也獨(dú)立，所以，；若，則有，即，所以有。31. 設(shè)A、B的概率都大于0，說明下列的敘述（1）必然對；（2）必然錯(cuò)；（3）可能對。（1）若A、B互斥，則相互獨(dú)立。必然錯(cuò)。因?yàn)槿鬉、B互斥，則，而，所以。（2）若A、B獨(dú)立，則互斥。必然錯(cuò)。因?yàn)槿鬉、B獨(dú)立，則必有，因此如果A、B互斥，則，而，這樣就有，矛盾。（3），且A、B互斥。必然錯(cuò)。因?yàn)槿绻鸄、B互斥，則。（4），且A、B獨(dú)立?？赡軐?。因?yàn)槿绻鸄、B獨(dú)立，則.32. 有一種檢驗(yàn)艾滋病毒的檢驗(yàn)法，其結(jié)果有概率0.005報(bào)導(dǎo)為假陽性（即不攜帶病毒者，經(jīng)此法檢驗(yàn)有0.005的概率被認(rèn)為帶病毒）。今有140名不帶病毒的正常人接受此種檢驗(yàn)，被報(bào)導(dǎo)至少有一人帶病毒的概率是多少？解：設(shè)表示“第i人被報(bào)導(dǎo)攜帶病毒”（i1，2，140），相互獨(dú)立，A表示“140名不帶病毒的正常人接受此種檢驗(yàn)，被報(bào)導(dǎo)至少有一人帶病毒”則表示“沒有人被報(bào)導(dǎo)攜帶病毒”，由題意，則 33. 盒中裝有編號為1, 2, 3, 4的四個(gè)球. 隨機(jī)地從中取出一球, 設(shè)取出的是1號或2號球, 取出的是1號或3號球, 取出的是1號或4號球, 試驗(yàn)證：、兩兩獨(dú)立但.【證明】 由題意知，所以有，因而、兩兩獨(dú)立.由于表示“取到1號球”，所以，而，所以34（1）設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i=1，2，3，4，2413A表示系統(tǒng)正常。 A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4獨(dú)立)312LR（2）如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L和R是通路的概率。54記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通記A表從L到R是構(gòu)成通路的。 A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥 P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)P (A1A2A3A5)- P (A1A2 A4A5)- P (A1A2 A3 A4) -P (A1A3 A4A5)- P (A1A2 A3A4A5)- P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1，A2， A3， A4，A5互相獨(dú)立。故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4 + p5 + p5+ p5+ p5p5=2 p2+ 3p35p4 +2 p535. 如果一危險(xiǎn)情況C發(fā)生時(shí)，一電路閉合并發(fā)出警報(bào)，我們可以借用兩個(gè)或多個(gè)開關(guān)并聯(lián)以改善可靠性。在C發(fā)生時(shí)這些開關(guān)都應(yīng)該閉合，且若至少一個(gè)開關(guān)閉合，警報(bào)就發(fā)出。（1）如果兩個(gè)這樣的開關(guān)并聯(lián)，它們每個(gè)具有0.96的可靠性（即在情況發(fā)生時(shí)開關(guān)閉合的概率），問這時(shí)系統(tǒng)的可靠性（即電路閉合的概率）是多少？（2）如果需要有一個(gè)可靠性至少為0.9999的系統(tǒng)，則至少需要多少只開關(guān)并聯(lián)？（開關(guān)閉合與否相互獨(dú)立）解：設(shè)表示“第I個(gè)開關(guān)閉合”，A表示“電路閉合”，則（1）（2）設(shè)有n只這樣的開關(guān)閉合，由題意，解得36 三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別是，求他們將此密碼譯出的概率. 解1 設(shè)將密碼譯出，第個(gè)人譯出 則 . 解2 事件如上所設(shè)，則37 設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍(lán)球，3只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍(lán)球的概率，（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。解：記A1、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。（1）記C=至少有一只藍(lán)球C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5種情況互斥由概率有限可加性，得（2）記D=有一只藍(lán)球，一只白球，而且知D= A1B3+A3B1兩種情況互斥（3）38 袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？解：設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面”=Br “任取一只是正品”=A由全概率公式，有 （條件概率定義與乘法公式）39 設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%（這一事件記為A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分別為P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），試分別求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地）解：B表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥由全概率公式，有P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =0.8(0.98)3+0.15(0.9)3+0.05(0.1)3=0.862440 將A，B，C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出為其它一字母的概率都是(1)/2。今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。）解：設(shè)D表示輸出信號為ABCA，B1、B2、B3分別表示輸入信號為AAAA，BBBB，CCCC，則B1、B2、B3為一完備事件組，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類推，依題意有P (A收| A發(fā))= P (B收| B發(fā))= P (C收| C發(fā))=，P (A收| B發(fā))= P (A收| C發(fā))= P (B收| A發(fā))= P (B收| C發(fā))= P (C收| A發(fā))= P (C收| B發(fā))=又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A發(fā)) P (B收| A發(fā)) P (C收| A發(fā)) P (A收| A發(fā)) =，同樣可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =于是由全概率公式，得由Bayes公式，得P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = =