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1、任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)及其效果分析0、 引 言 三角函數(shù)是高中教材中的一種重要函數(shù),與其他函數(shù)相比具有很多重要的特征: 它以角為自變量,是周期函數(shù),同時(shí)也是解決其他問題的重要工具,與后續(xù)學(xué)習(xí)的很多內(nèi)容有聯(lián)系. 作為高中階段最后學(xué)習(xí)的一個(gè)基本初等函數(shù),是深化函數(shù)性質(zhì)的極好素材,因此在教學(xué)上受到教師的足夠重視. 但是從實(shí)際教學(xué)效果上來看學(xué)生掌握的內(nèi)容并不理想. 造成這種結(jié)果有以下幾個(gè)原因: (1) 混淆初高中所學(xué)三角函數(shù)的定義,認(rèn)為高中所學(xué)的內(nèi)容就是在初中所學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上的推廣,任意角三角函數(shù)仍然是解決三角形邊角關(guān)系的工具,沒有體會(huì)其中所蘊(yùn)含的函數(shù)思想. (2) 對(duì)于弧度制的引入和單位圓的定義
2、在認(rèn)知上存在障礙.為了解決上述問題,本文從 HPM 的視角下重新對(duì)三角函數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行整合,探索符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律且順應(yīng)三角函數(shù)歷史發(fā)展規(guī)律的教學(xué)設(shè)計(jì). 希望能為教師教學(xué)提供一點(diǎn)幫助. 1、 HPM 理論簡(jiǎn)介 1972 年,在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上,成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組(International Study Group on the Relations betweenHistory and Pedagogy of Mathematics,簡(jiǎn)稱 HPM) ,這也標(biāo)志著一個(gè)數(shù)學(xué)教育研究的新領(lǐng)域出現(xiàn). HPM 研究主要內(nèi)容包括: 數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史研究、基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì)、關(guān)于
3、相似性的實(shí)證研究和數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐探索. 數(shù)學(xué)史的引入對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的確有一定的促進(jìn)作用,但是如何引入、引入哪些內(nèi)容,一直是困擾著老師們的問題,尤其在國(guó)內(nèi)研究此領(lǐng)域的內(nèi)容比較匱乏,因此在實(shí)際教學(xué)中有很多老師選擇避而不談或是簡(jiǎn)略帶過. 數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用方式通常有 3 種,一是提供直接的歷史信息,二是借鑒歷史進(jìn)行教學(xué),三是開發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)及其社會(huì)文化背景的深刻覺悟. 其第二種方式就是發(fā)生教學(xué)法,通常所說的 HPM(數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系) 視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)采用的主要就是這種方法. 從哲學(xué)家、教育家和數(shù)學(xué)家的論述可以看出,發(fā)生教學(xué)法是一種借鑒歷史、呈現(xiàn)知識(shí)自然發(fā)生過程、介于嚴(yán)格歷史方法和嚴(yán)格演繹
4、方法之間的一種方法. 本文基于 HPM 理論的背景下,以三角函數(shù)的概念教學(xué)為例,試圖找到將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂完美融合的思路,為今后教師在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史提供參考案例,并將數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂的作用發(fā)揮到最大. 2、 三角函數(shù)概念的歷史及其重構(gòu) 三角函數(shù)概念的發(fā)展前后經(jīng)歷了 4000 多年,從早期在天文學(xué)中應(yīng)用的三角學(xué)知識(shí)可以追溯至古巴比倫年代或者更早. 古埃及人由于尼羅河不定期的泛濫而遭受打擊,因此他們注意觀察尼羅河泛濫的規(guī)律以及時(shí)間. 后來人們注意到每逢天狼星于黃昏之后升起的日子尼羅河就會(huì)泛濫. 于是人們就開始記錄天狼星與太陽的位置,人們?yōu)榱私鉀Q實(shí)際問題引入了角等概念. 但是這并不是嚴(yán)格意義上的三
5、角學(xué),只能算是三角學(xué)的前身,是一種對(duì)天文觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行推算的方法. 三角學(xué)最早的創(chuàng)建者是希臘數(shù)學(xué)家 Hipparchus(約公元前 180 公元前 127) 被稱為三角學(xué)之父. 為了定量地解決天體的位置問題,他將球面三角方法引用于此,并且制作了弦表. 弦表是在固定的圓內(nèi)不同圓心角所應(yīng)的弦長(zhǎng),此時(shí)的正弦指的是圓弧所對(duì)弦的弦長(zhǎng)相當(dāng)于現(xiàn)在圓心角一半的正弦線的 2 倍. 后來 Ptolemy(約公元 100 178) 在此基礎(chǔ)上又豐富了弦表. 在 Ptolemy 的弦表中,弦指的是當(dāng)圓的半徑為 60 時(shí)弦的長(zhǎng)度,而不是一個(gè)比值.而印度數(shù)學(xué)家 Aryabhata 與希臘人的做法不同,他默認(rèn)曲線和直線可以用
6、同一單位,此時(shí)他計(jì)算的弦是圓弧所對(duì)弦的半弦長(zhǎng),相當(dāng)于現(xiàn)在所指的正弦. 其后Regiomontanus(1436 1476) 在他的著作論各種三角形中首次對(duì)三角學(xué)做了完整、獨(dú)立的闡述,使三角學(xué)正式從天文學(xué)中獨(dú)立出來. 在書中采用了印度人的正弦,即圓弧的半弦,明確使用了正弦函數(shù)這一概念. 討論了一半三角形的正弦定理,提出了求三角形邊長(zhǎng)的代數(shù)解法,給出了球面三角形的正弦定理和關(guān)于邊的余弦定理. 后來哥白尼的學(xué)生、印度數(shù)學(xué)家 Rheticus(1514 1576) 最先給出角的正弦概念,把原來說弧的正弦改成了說銳角的正弦. 三角形就形成了三角關(guān)系的基本結(jié)構(gòu),相應(yīng)的圓成了從屬.他把正弦、余弦、正切等定義
7、成直角三角形的邊長(zhǎng)之比,從而使平面三角學(xué)從球面三角學(xué)中獨(dú)立出來,至此三角學(xué)真正形成了. 總之 16 世紀(jì),三角學(xué)從天文學(xué)中分離出來,成為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支,值得注意的是,這時(shí)所討論的三角函數(shù)僅限于銳角三角函數(shù),而且研究銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計(jì)算. 一直到 17 世紀(jì),三角仍然是常量數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,直到 1729 年 Euler研究插值的方法時(shí)用三角級(jí)數(shù)表示了函數(shù),函數(shù)的思想成了三角學(xué)的組成部分,變量數(shù)學(xué)占據(jù)了核心地位. 隨著解析幾何和微積分的建立,三角函數(shù)的嚴(yán)格解析理論建立了,正弦不再是線段,而是變成了數(shù)值,是單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo),而三角級(jí)數(shù)在實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)上又形成了另一門重要的數(shù)
8、學(xué)分支調(diào)和分析.根據(jù)上面的歷史發(fā)展順序,三角函數(shù)概念(以正弦為例) 的發(fā)展歷史大致可以分為正弦是圓弧所對(duì)的弦的弦長(zhǎng),正弦是圓弧所對(duì)的弦的半弦長(zhǎng),正弦是比值,正弦是單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo). 概括的說就是經(jīng)歷了幾何的三角學(xué),代數(shù)的三角學(xué),解析的三角學(xué). 學(xué)生在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的內(nèi)容,相當(dāng)于代數(shù)的三角學(xué),是用來解決三角形三邊關(guān)系的主要工具. 而后來當(dāng)用解析的眼光來看待三角學(xué)的時(shí)候,三角函數(shù)是用來刻畫函數(shù)性質(zhì)的工具而不再拘泥于解決三角形邊角關(guān)系的問題,而任意角的三角函數(shù)的研究與圓周運(yùn)動(dòng)密不可分. 所以銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間關(guān)系而發(fā)展起來的,任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起
9、來的,他們研究的現(xiàn)象不同,表現(xiàn)的性質(zhì)也不同,我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣(或一般化) ,又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的限定.學(xué)生在高中學(xué)習(xí)的任意角三角函數(shù)的內(nèi)容應(yīng)該是以函數(shù)的眼光來對(duì)待,認(rèn)真體會(huì)其作為函數(shù)的一些性質(zhì),尤其是周期性. 因?yàn)槿呛瘮?shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)事物周期性很好的一個(gè)模型. 教材(人教 A 版) 只是在第一節(jié)內(nèi)容上安排了任意角與弧度制的內(nèi)容,接下來就用單位圓給出了任意角的三角函數(shù),教師的普遍作法也是回顧初中銳角三角函數(shù)的定義,然后讓學(xué)生考慮如何將銳角三角函數(shù)推廣的任意角三角函數(shù). 這種講法無疑就把學(xué)生陷入一個(gè)誤區(qū),即任意角三角函數(shù)是銳角三角
10、函數(shù)的推廣,自然有很多同學(xué)認(rèn)為任意角三角函數(shù)仍然是研究三角形三邊關(guān)系的工具只是不再局限于銳角三角形,也有很多同學(xué)排斥單位圓的定義,覺得不如初中給的比值法好,不直觀難用來計(jì)算. 盡管這樣的處理方式很直截了當(dāng),但對(duì)照發(fā)生教學(xué)法我們發(fā)現(xiàn)這種做法存在以下不足: (1) 沒有講明高中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)與初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)研究的內(nèi)容和方法都不同,容易造成學(xué)生的概念混淆. (2) 沒有很好的利用單位圓,單位圓是函數(shù)周期性的一個(gè)很好的體現(xiàn),在三角函數(shù)的后續(xù)學(xué)習(xí)中有很大的作用. 但學(xué)生在教師的實(shí)際教學(xué)中體會(huì)的很少.基于發(fā)生教學(xué)法,考慮學(xué)生在了解三角函數(shù)發(fā)展歷史之后,就不會(huì)陷入銳角三角函數(shù)同任意角三角函數(shù)概念混淆
11、的誤區(qū),能更好的認(rèn)識(shí)單位圓在研究三角函數(shù)中的重要作用,體會(huì)其作為一個(gè)周期函數(shù)的性質(zhì)等等,因此對(duì)三角函數(shù)的概念的歷史進(jìn)行重構(gòu)以便于教學(xué). 3、 任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì) 基于三角函數(shù)概念(以正弦為例) 的發(fā)展歷史,講其進(jìn)行重構(gòu)并應(yīng)于實(shí)際教學(xué). 如圖 1: 3. 1 學(xué)情分析 學(xué)生在前面一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了弧度制,從弧度制一課來講數(shù)學(xué)史的引入就很有必要,很多學(xué)者在前面的研究中已經(jīng)給出了很多寶貴的建議. 在前一節(jié)的很好的鋪墊下,學(xué)生已經(jīng)體會(huì)到引入弧度制的必要性,這也為本節(jié)學(xué)習(xí)單位圓打下了良好的基礎(chǔ). 學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)的定義,對(duì)三角函數(shù)(正弦、余弦、正切) 有一定的了解,而且學(xué)生通過弧度制
12、的歷史回顧,已經(jīng)了解了銳角三角函數(shù)在解三角形中的作用. 因此我建議對(duì)于銳角三角函數(shù)的概念的回顧可以放在弧度制一課對(duì)弧度制的歷史回顧之中完成,因?yàn)樵诨《戎谱钤绲囊彩菫榱私鉀Q三角形邊角關(guān)系的情況下產(chǎn)生的. 是區(qū)別于角度制的另外一種度量方式. 而在本節(jié)課任意角的三角函數(shù)中,先不要提及銳角三角函數(shù)的定義方式,以免學(xué)生發(fā)生概念的混淆. 等到學(xué)生熟練掌握了任意角三角函數(shù)的概念以后,再把初高中學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比,這樣即可以幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系,也能讓學(xué)生更好的體會(huì)任意角三角函數(shù)作為函數(shù)的性質(zhì). 3. 2 教學(xué)情景設(shè)計(jì) 高中生具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和聯(lián)想,因此從現(xiàn)實(shí)生活入手更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 如觀察: 鐘表
13、指針的旋轉(zhuǎn)、自行車輪子的旋轉(zhuǎn)、摩天輪、跳水運(yùn)動(dòng)員優(yōu)美的動(dòng)作,這些周期現(xiàn)象中都存在著超過 180°的角,而且形成的圖形都與圓有關(guān),那么我們?nèi)绾窝芯窟@種周期現(xiàn)象呢? 任意角的三角函數(shù)是我們的好幫手,回顧歷史我們可知,正弦和余弦是一對(duì)起源于圓周運(yùn)動(dòng),密切配合的周期函數(shù),是圓對(duì)稱性的直接反映. 因此三角函數(shù)也叫圓函數(shù),我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容與初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)存在很大的差別. 就此借助單位圓引入任意角三角函數(shù)的概念. 3. 2. 1 任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)片段 問題一: 如何借助圓來研究三角函數(shù)? 回顧歷史上數(shù)學(xué)家的做法,三角學(xué)最早起源于天文學(xué),而三角函數(shù)是用于研究圓內(nèi)接圖形(主要是三角形)
14、 的工具,隨著后來的發(fā)展是用于研究確定行星位置的工具. 那么如何借助于圓來研究三角函數(shù)的內(nèi)容呢? 通過觀察幾組圖片,鐘表兩個(gè)指針的運(yùn)動(dòng)軌跡、自行車輪子旋轉(zhuǎn)等圖片,激發(fā)學(xué)生的興趣. 顯然我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn),使這個(gè)點(diǎn)到角的頂點(diǎn)的距離為 1(方便定義三角函數(shù)) ,隨著角度的任意擴(kuò)大,以這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的軌跡圓,來幫助我們學(xué)習(xí)三角函數(shù). 雖然在此處沒有提到,這是數(shù)學(xué)家歐拉的做法,將單位圓的半徑定位 1,大大方便了我們研究三角函數(shù)的過程. 我們?cè)诖艘雴挝粓A的定義: 在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn) O 為圓心,以單位長(zhǎng)度為半徑的圓. 問題二: 如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義? 如圖 2
15、,設(shè) α 是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y) ,那么: (1) y 叫做α 的正弦(sine) ,記做 sinα,即sinα = y; (2) x叫做α 的余弦(cosine) ,記 問題三: 任一點(diǎn) P 的選擇,對(duì)于任意角三角函數(shù)的值有沒有影響? 回顧最初引入單位圓的過程,學(xué)生借助于相似三角形的知識(shí)可以得到點(diǎn) P 的選擇對(duì)于任意角三角函數(shù)的值沒有影響. 問題四: 任意角的三角函數(shù)符號(hào)的確定與點(diǎn)p(x,y) 的坐標(biāo)有什么關(guān)系? 引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析,r 0,三角函數(shù)值的符號(hào)決定于橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的正負(fù).問題五
16、: 如何借助單位圓研究三角函數(shù)的周期性? 我們觀察圖形發(fā)現(xiàn),角度每變化 360°的整數(shù)倍的時(shí)候,角的終邊又回到了同一位置,因此終邊相同的同名三角函數(shù)值應(yīng)該相等. 這樣一來可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求 0 到 2π(0° 360°) 角的三角函數(shù)值,簡(jiǎn)化我們的計(jì)算.課后思考: 觀察單位圓,我們可以得到同角三角函數(shù)之間存在著哪些關(guān)系呢? 為一下節(jié)課研究同角三角函數(shù)的關(guān)系做好鋪墊. 4、 課堂實(shí)施與問卷調(diào)查 按照 HPM 視角下的教學(xué)設(shè)計(jì),研究者在 2013年于北京市某重點(diǎn)高中實(shí)習(xí)期間做了充分的調(diào)查研究,并進(jìn)行了課堂教學(xué)的實(shí)踐. 該校在高中一年級(jí)學(xué)習(xí)完必修一之后
17、接著學(xué)習(xí)必修四的內(nèi)容,可以說為任意角三角函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做了良好的鋪墊. 該校文理科班級(jí)比例為 1: 3,考慮到文科班的同學(xué)對(duì)于歷史更感興趣效果應(yīng)該優(yōu)于理科班,所以選擇 2 個(gè)理科班,1 個(gè)文科班來進(jìn)行教學(xué). 但是結(jié)果卻出乎意料,理科生對(duì)本節(jié)課表示出了濃厚的興趣,甚至熱情高于文科班. 以下是對(duì)某個(gè)理科班同學(xué)的課后訪談片段: T(教師) : 對(duì)今天這節(jié)課的感覺如何?S(學(xué)生) : 挺好的,感覺比以往新穎,似乎更有興趣了.T: 你理解今天所講的任意角三角函數(shù)與初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的差別了嗎?S: 理解了,初中學(xué)習(xí)內(nèi)容是研究三角形邊角關(guān)系的,現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是具有函數(shù)性質(zhì)的. 不是同一個(gè)內(nèi)容.S: 那你理
18、解在這里引入單位圓的作用了嗎?T: 差不多吧,圓具有周期性、對(duì)稱性,用來研究三角函數(shù)很好. 最后老師又問了一個(gè)問題,感覺還有內(nèi)容要學(xué)習(xí).T: 那今后采用這種方式上課怎么樣?S: 好啊,不容易溜號(hào)了.圖 3 是對(duì)全體授課班級(jí)同學(xué)學(xué)習(xí)情況的統(tǒng)計(jì),我們可以看到本節(jié)課的教學(xué)效果還是顯著的. 三角函數(shù)歷史悠久,有幾何的、代數(shù)的、解析的視角,現(xiàn)在向量也進(jìn)入教材,三角函數(shù)和向量、復(fù)數(shù)之間的關(guān)系也應(yīng)引起教師重視,教師把對(duì)三角函數(shù)概念的理解局限于一節(jié)課、一章里是不對(duì)的,學(xué)生對(duì)一個(gè)概念的理解不是一蹴而就的,需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過程. 作為教師更要有全局觀念,在教三角這一章時(shí)要用三角的眼光看待后續(xù)內(nèi)容,適當(dāng)?shù)倪x擇教學(xué)
19、方式方法. 因此建議教師在教授任意角三角函數(shù)概念的時(shí)候,不要把對(duì)學(xué)生理解此概念的任務(wù)放在這一節(jié)里,而是在整個(gè)單元的教學(xué)中都要反復(fù)的重視學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解情況. 從本課的課堂反饋和效果調(diào)查來看,基于 HPM 視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念有一定的促進(jìn)作用. 5、結(jié)論與反思 人的認(rèn)識(shí)過程與人類認(rèn)識(shí)的過程是基本一致的,所以我們需要研究數(shù)學(xué)史. 了解數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展,數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程也應(yīng)在個(gè)人身上重現(xiàn),使我們懂得應(yīng)該怎樣安排學(xué)習(xí)順序,應(yīng)該選擇哪些有生命力的內(nèi)容. 教師在這一環(huán)節(jié)中起到了重要的作用.從實(shí)際教學(xué)上來看數(shù)學(xué)史雖然在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材中都有明確的要求,但在實(shí)際課堂教學(xué)中卻幾乎沒有融入,即存在高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用、理論層面和實(shí)踐操作層面相脫離的現(xiàn)象. 雖然實(shí)際教學(xué)中,教師需要查閱大量的歷史資料并對(duì)其進(jìn)行重新整合才能適用于課堂的教學(xué),費(fèi)時(shí)又費(fèi)力,數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的運(yùn)用確實(shí)存在一定的困難. 但是我們不能忽視其作用,應(yīng)該思考如何借助這一高效高產(chǎn)的方法提高我們教學(xué)的效果,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的來龍去脈,體會(huì)其發(fā)展過程中蘊(yùn)含的深刻數(shù)學(xué)思想,真正讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力,充分的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 參考文獻(xiàn): 汪曉勤. HPM 研究的內(nèi)容和方法J. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2006,2(1) : 18.
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