淺談冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用畢業(yè)論文.doc

2009屆本科生畢業(yè)論文2012屆本科畢業(yè)論文淺談冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用姓 名： 系 別： 數(shù)學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 2012年2月16日11 2012屆本科生畢業(yè)論文目 錄摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Keywords1引言2一 基本知識(shí)21.1冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) 21.2. 冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 2二冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)3三冪級(jí)數(shù)的展開4四冪級(jí)數(shù)的展開及其應(yīng)用64.1. 冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算的應(yīng)用64.2. 冪級(jí)數(shù)在計(jì)算積分得應(yīng)用64.3. 冪級(jí)數(shù)在求極限中的應(yīng)用74.4. 冪級(jí)數(shù)在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用74.5. 冪級(jí)數(shù)用于推導(dǎo)歐拉公式84.6. 冪級(jí)數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用94.7. 冪級(jí)數(shù)在不等式的中的應(yīng)用94.8. 冪級(jí)數(shù)在組合中的應(yīng)用10參考文獻(xiàn)11致謝1111冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用摘 要在數(shù)學(xué)中，冪級(jí)數(shù)是一類形式簡(jiǎn)單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)在微積分中也是個(gè)重要的題材，許多重要的函數(shù)可表成冪級(jí)數(shù)，而冪級(jí)數(shù)全體也代表了相當(dāng)廣泛的函數(shù)類別。 在本文中簡(jiǎn)介了冪級(jí)數(shù)的簡(jiǎn)單知識(shí)，注重探討了冪級(jí)數(shù)展開式各方面的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞冪級(jí)數(shù)；展開式 ；應(yīng)用Power series expansion of the type of applicationAbstractIn mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansionKeyword Power series; expansion; applicati引言： 冪級(jí)數(shù)的展開式應(yīng)用廣泛，但是由于不同研究者用的方法不同以及研究結(jié)果沒有集中起來，現(xiàn)在用我粗淺的知識(shí)略把冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用搜集了一下，以便大家更方便的應(yīng)用更好的學(xué)習(xí)。由冪級(jí)數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為冪級(jí)數(shù)，它是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。從某種意義上說，可以看作是多項(xiàng)式的延伸。冪級(jí)數(shù)在理論和實(shí)際上有很多的應(yīng)用，尤其是在表示函數(shù)方面。特別地當(dāng)，即是一種重要的情況。一 基本知識(shí) 1.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)（1）. 冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。（2）. 冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間左（右）端點(diǎn)上收斂，則其和函數(shù)也在這一端上左（右）連續(xù)。 (3). 設(shè)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)為，若為內(nèi)任意一點(diǎn)，則）、在可導(dǎo)，且）、在0與這個(gè)區(qū)間上可積，且2.收斂區(qū)間設(shè)冪級(jí)數(shù)在的和函數(shù)，則（1）. 在內(nèi)連續(xù)，若冪級(jí)數(shù)在也收斂，則在處左連續(xù)（或在處右連續(xù)）。（2）.在內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，且有可導(dǎo)公式：與原冪級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑。（3）. 在內(nèi)可以積分，且有逐項(xiàng)積分公式：，其中是內(nèi)任一點(diǎn)，積分后的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑。二冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在冪級(jí)數(shù)的計(jì)算中有著重要的作用，在計(jì)算過程中也有一定的難度，不過計(jì)算過程也要注意計(jì)算方法的使用。例1：求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù) 解： 易知級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?令 有冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可導(dǎo)性得 對(duì)上式兩端積分得： 例2： 求級(jí)數(shù) 的和解：因?yàn)? =其中下面求設(shè)顯然收斂域?yàn)橹痦?xiàng)積分得：在次積分得： 故 = 故原式=+= 有很多這樣的例題，上面的題中主要的方法是逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積。逐項(xiàng)可導(dǎo)與逐項(xiàng)可積是冪級(jí)數(shù)和函數(shù)在其收斂區(qū)間上的兩個(gè)主要分析性質(zhì)。在很多方面都有重要的應(yīng)用。在具體應(yīng)用時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體的問題具體分析，再?zèng)Q定用逐項(xiàng)求導(dǎo)或者逐項(xiàng)可積。三. 冪級(jí)數(shù)的展開函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式有兩種形式，一種形如稱為一般（或叫做函數(shù)在的冪級(jí)數(shù)），另一種形如稱為標(biāo)準(zhǔn)式，即函數(shù)在0處得冪級(jí)數(shù)。若函數(shù)在U內(nèi)可以展成的冪級(jí)數(shù)，那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)一定是泰勒級(jí)數(shù)。當(dāng)時(shí)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)。具體展開式如下：在處的泰勒展開（冪級(jí)數(shù)的展開式）： （在與之間）令即為麥克勞林級(jí)數(shù)。 冪級(jí)數(shù)的展開式中，是一種應(yīng)用廣泛的展開。求出，形式上作用冪級(jí)數(shù) =當(dāng)時(shí)，即為牛頓二項(xiàng)式定理。下面討論的情形。求出收斂半徑 分析在收斂區(qū)間內(nèi)，柯西余項(xiàng)，的極限。 因級(jí)數(shù)當(dāng)1時(shí)收斂（由比試判別法可得），故 由于-1時(shí)，有，且，。又由于1時(shí)，0 故0，故有界 綜上所述，當(dāng)0絕對(duì)收斂，-10絕對(duì)收斂，0發(fā)散.綜上可得: -1時(shí),收斂域?yàn)?；?dāng)-10時(shí)，收斂域?yàn)?。四冪?jí)數(shù)的展開及其應(yīng)用1.冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算的應(yīng)用我們通過的近似計(jì)算來研究，利用冪級(jí)數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算的方法。可以用的冪級(jí)數(shù)展開式取=近似計(jì)算。= ，取得上式兩邊同乘以2得：它的部分和易計(jì)算0.001.就是說用s表示的近似值，其誤差小于0.001.經(jīng)計(jì)算3.14159利用此方法還可以計(jì)算其它數(shù)的近似值。2.冪級(jí)數(shù)在計(jì)算積分得應(yīng)用 當(dāng)?shù)脑瘮?shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來，計(jì)算的定積分就遇到了困難?，F(xiàn)在，我們可以利用冪級(jí)數(shù)展開式取有限項(xiàng)的辦法近似計(jì)算這些定積分的值。具體計(jì)算時(shí)，要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級(jí)數(shù)。且積分區(qū)間必須在冪級(jí)數(shù)的收斂域之內(nèi)，然后利用冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)來計(jì)算所求定積分的值。例： 證明 證明：因?yàn)?所以= = = （3.冪級(jí)數(shù)在求極限中的應(yīng)用求函數(shù)極限的方法很多，冪級(jí)數(shù)法也是其中之一例： 求 解：因?yàn)?， 所以 = 4.冪級(jí)數(shù)在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用例：求 解：設(shè) = = = 設(shè) ，則，且從而當(dāng)時(shí)，此時(shí)，令，可得5.冪級(jí)數(shù)用于推導(dǎo)歐拉公式例： 試用冪級(jí)數(shù)的展開式來推導(dǎo)歐拉公式： ，解：當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，有指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開知 用純虛數(shù)代替是變量有因?yàn)椋?所以即 （*）在（*）式中置換可得 （*）由（*）和（*）式聯(lián)立解得：，6.冪級(jí)數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用例: 求 在的階導(dǎo)數(shù) 解：因?yàn)楹瘮?shù) 進(jìn)行兩次積分得： 則，即7.冪級(jí)數(shù)在不等式的中的應(yīng)用在證明不等式時(shí)可以巧妙利用函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式，能將問題化難為易。 例：證明：當(dāng)時(shí)， 證明：有三角函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式易知 且 又 即 則 故當(dāng)時(shí)不等式成立。8.冪級(jí)數(shù)在組合中的應(yīng)用冪級(jí)數(shù)在組合恒等式中用重要的作用。 例：證明 證明：由二項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式得 在上式的乘積中，的系數(shù)為，從展開式中知的系數(shù)為，因而得等式參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京：高等教育出版社.20042 劉玉蓮. 數(shù)學(xué)分析講義M. 北京：高等教育出版社.2001.3 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M. 北京：高等教育出版社.1983.4 秦曾復(fù).于躍年.高等數(shù)學(xué)講義M.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1996.125 羅振聲.劉曉華.高等數(shù)學(xué)概論與方法M.電子科技出版社，1996.126 吳迪光.張彬.微積分（下冊(cè)）M.杭州：浙江大學(xué)出版社，2003.11致 謝在此，我對(duì)在論文寫作過程中給予我?guī)椭睦蠋?、同學(xué)表示感謝！