2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)28 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 文（含解析）北師大版

課后限時(shí)集訓(xùn)(二十八)　 (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an等于(　　) A．　　 B．cos C．cosπ D．cosπ [答案]　D 2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則an＝(　　) A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1 C　[當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2，所以an＝2n.] 3．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，對(duì)于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5＝(　　) A．　　　B. C．　　　D. A　[由題意知a1·a2＝4，a1·a2·a3＝9，a1a2a3a4＝16，a1a2a3a4a5＝25，則a3＝，a5＝，則a3＋a5＝，故選A．] 4．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝n－1 B．a(chǎn)n＝(n－1)2 C．a(chǎn)n＝(n－1)3 D．a(chǎn)n＝(n－1)4 B　[由題意知an－an－1＝2n－3(n≥2)， 則an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1 ＝＝(n－1)2.故選B.] 5．若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝，an＝1－(n≥2，且n∈N*)，則a2 018等于(　　) A．－1　　　　B. C．1　　　　D．2 A　[a1＝，a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，…. 因此數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列． 從而a2 018＝a2＝－1，故選A．] 二、填空題 6．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. n－1　[當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2－(n－1)＝－1. 又a1＝適合上式，則an＝n－1.] 7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. 　[由an＝an－1得＝， ∴an＝××…××a1 ＝××…××1＝. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1適合上式． 故an＝.] 8．(2019·合肥模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，則a10＝________. 256　[因?yàn)閍1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，所以Sn＋1－1＝2(Sn－1)，所以{Sn－1}是等比數(shù)列，且公比為2，所以Sn－1＝2n－1，所以Sn＝2n－1＋1，所以a10＝S10－S9＝29－28＝256.] 三、解答題 9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an； (2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an. [解]　(1)因?yàn)閍5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)， 又a1也適合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)． (2)因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝6， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2. 由于a1不適合此式，所以an＝ 10．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足Sn＝a＋an(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)， 可得a1＝a＋a1，解得a1＝1； S2＝a1＋a2＝a＋a2， 解得a2＝2； 同理a3＝3，a4＝4. (2)Sn＝a＋an，① 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝a＋an－1，② ①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1， 故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n. B組　能力提升 1．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿(mǎn)足a－an＋1an－2a＝0，且a1＝2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2n－1　　　　　　B．a(chǎn)n＝3n－1 C．a(chǎn)n＝2n D．a(chǎn)n＝3n C　[∵a－an＋1an－2a＝0， ∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0. ∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴an＋1＋an＞0， ∴an＋1－2an＝0， 即an＋1＝2an(n∈N*)， ∴數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列． ∵a1＝2，∴an＝2n.] 2．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，＋＋…＋＝，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n2 C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ B　[∵＋＋…＋＝， ∴＋＋…＋＝(n≥2)， 兩式相減得＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，① 又當(dāng)n＝1時(shí)，＝＝1，a1＝1，適合①式，∴an＝n2，n∈N*.故選B.] 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，則an＝__________. 　[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)， 兩式相減可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)， ∴an＋1＝4an(n≥2)． ∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1， ∴數(shù)列{an}是從第二項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列， ∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)． 故an＝] 4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值； (2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． [解]　(1)由n2－5n＋4<0， 解得1<n<4. 因?yàn)閚∈N*，所以n＝2,3， 所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3. 因?yàn)閍n＝n2－5n＋4＝2－， 由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2. (2)由an＋1>an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列， 又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，即得k>－3. 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)． - 5 -