2021屆高三數學二輪復習 專題六 第1講 排列與組合、二項式定理教案

專題六 概率與統(tǒng)計第1講排列與組合、二項式定理自主學習導引真題感悟1(2012·安徽)(x22)5的展開式的常數項是A3B2C2D3解析第一個因式取x2，第二個因式取得：1×C(1)45，第一個因式取2，第二個因式取(1)5得：2×(1)52展開式的常數項是5(2)3.2(2012·大綱全國卷)6名選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，則不同的演講次序共有A240種 B360種 C480種 D720種解析解法一甲先安排在除開始與結尾的位置有C個選擇，剩余的元素與位置進行全排列有A種，故不同的演講次序共有CA480種解法二若不考慮元素甲的特殊性，共有A中演講次序，其中甲在第一個演講的有A種，甲在最后一個演講的也有A種，故不同的演講次序共有AAA480(種)考題分析考查排列與組合的題目高考中多以小題的形式出現，與兩個計數原理綜合應用；二項式定理的問題常涉及展開式中項的系數，特定項的求法，也可與其他知識交匯命題，如定積分計算，數列知識，方程根的個數等網絡構建高頻考點突破考點一：兩個原理及其應用【例1】用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？審題導引顏色可以反復使用，即說明在不相鄰的小方格內可以使用同一種顏色，首先確定第一個小方格的涂法，再考慮其相鄰的兩個小方格的涂法規(guī)范解答如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4，第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法1234當第2、第3個小方格涂不同顏色時，有A12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法由分步計數原理可知，有5×12×3180(種)不同的涂法；當第2個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步計數原理可知，有5×4×480(種)不同涂法由分類加法計數原理可得，共有18080260(種)不同的涂法【規(guī)律總結】涂色問題的解決方法(1)涂色問題沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結合兩個原理與排列組合的知識靈活處理，其難點是對相鄰區(qū)域顏色不同的處理，解決的方法往往要采用分類討論的方法，根據“兩個原理”計算(2)本題也可以考慮對使用的顏色的種數進行分類，如果使用2種顏色，則只能是第1,4涂一種、第2,3涂一種，方法數是CA20；若是使用3種顏色，若第1,2,3方格不同色，第4個方格只能和第1個方格相同，方法數是CA60，如果第1,2,3方格只用兩種顏色，則第4個方格只能用第3種顏色，方法數是C×3×260；如果使用4種顏色，方法數是CA120.根據加法原理總的涂法種數是260.易錯提示在涂色問題中一定要看顏色是否可以重復使用，不允許重復使用的涂色問題實際上就是一般的排列問題，當顏色允許重復使用時，要充分利用“兩個基本原理”分析解決問題【變式訓練】1某次活動中，有30個人排成6行5列，現要從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數為_(用數字作答)解析其中最先選出的一個有30種方法，此時這個人所在的行和列不能再選人，還剩一個5行4列的隊形，選第二個人有20種方法，此時該人所在的行和列不能再選人，還剩一個4行3列的隊形，此時第三個人的選法有12種，根據分步乘法計數原理，總的選法種數是30×20×127 200.答案7 200考點二：排列與組合【例2】(1)(2012·海淀一模)從甲、乙等5個人中選出3人排成一列，則甲不在排頭的排法種數是A12B24C36D48(2)(2012·深圳模擬)值域為2,5,10，其對應關系為yx21的函數的個數為A1 B27 C39 D8審題導引(1)分“選甲”與“不選甲”兩類進行討論；(2)根據函數的值域，求出函數定義域中可能包含的元素，分類討論確定其定義域規(guī)范解答(1)若選甲，則有AA種排法；若不選甲，則有A種排法，則共有AAA48(種)(2)分別由x212，x215，x2110解得x±1，x±2，x±3，由函數的定義，定義域中元素的選取分四種情況：取三個元素：有C·C·C8(種)；取四個元素：先從±1，±2，±3三組中選取一組C，再從剩下的兩組中選兩個元素C·C，故共有C·C·C12(種)；取五個元素：C6(種)；取六個元素：1種由分類計數原理，共有8126127(種)答案(1)D(2)B【規(guī)律總結】排列、組合問題的解法解排列組合綜合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手“分析”就是找出題目的條件、結論哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有無限制等；“分類”就是對于較復雜的應用題中的元素往往分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；“分步”就是把問題化成幾個互相聯系的步驟，而每一步都是簡單的排列組合問題，然后逐步解決【變式訓練】2(2012·寧波模擬)某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為A14 B24 C28 D48解析選1名女生的方案有：CC種；選2名女生的方案有：CC種；故至少選1名女生共有：CCCC14種方案答案A3(2012·銀川模擬)用0,1,2,3,4排成無重復數字的五位數，要求偶數字相鄰，奇數字也相鄰，則這樣的五位數的個數是A36 B32 C24 D20解析0,1,2,3,4五個數字，偶數字相鄰，奇數字也相鄰的排法共有AAA種排法，其中0在首位的排法有AA種，所以共有AAAAA20個五位數答案D考點三：二項式定理【例3】(1)(2012·西城二模)(x2)6的展開式中，x3的系數是_(用數字作答)(2)已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，則(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于_審題導引(1)利用二項展開式的通項公式求解；(2)采用賦值法，分別求出a0a2a4和a1a3a5.規(guī)范解答(1)(x2)6的展開式中通項公式為Tr1Cx6r(2)r，令r3，得T4Cx3·(2)3160x3，所以x3的系數是160.(2)分別令x1、x1得a0a1a2a3a4a50.a0a1a2a3a4a532，由此解得a0a2a416，a1a3a516，(a0a2a4)(a1a3a5)256.答案 (1)160(2)256【規(guī)律總結】五招制勝，解決二項式問題二項式定理是一個恒等式，應對二項式定理問題主要有五種方法：(1)特定項問題通項公式法；(2)系數和與差型問題賦值法；(3)近似問題截項法；(4)整除(或余數)問題展開法；(5)最值問題不等式法易錯提示在二項式定理問題中，常見的誤區(qū)有：(1)二項展開式的通項Tk1中，項數與k的關系搞不清；(2)二項式系數與各項的系數混淆不清；(3)在展開二項式(ab)n或求特定項時，忽略中間的“”號【變式訓練】4(2012·武漢模擬)4展開式中常數為_解析4展開式中的通項為Tr1C(1)rx124r，令124r0，得r3，所以常數項為T4C(1)34.答案45(2012·山師附中模擬)二項式(1sin x)n的展開式中，末尾兩項的系數之和為7，且系數最大的一項的值為，則x在0,2內的值為_解析(1sin x)n的展開式中末尾兩項的系數和為CCn17，n6，則(1sin x)6的展開式中系數最大的一項為T4C(sin x)3，C(sin x)3，sin x.又x0,2，x或.答案或名師押題高考【押題1】學校組織高一年級4個班外出春游，每個班從指定的甲、乙、丙、丁四個景區(qū)中任選一個游覽，則恰有兩個班選擇了甲景區(qū)的選法共有_種解析從4個班中選2個班游覽甲景區(qū)，有C種選法，剩余的2個班各有3種選法，有32種選法，根據乘法原理知，C·3254.押題依據兩個計數原理、排列與組合是解決計數問題的工具，在高考試題中可能單獨命題，以選擇題或填空題的形式出現，也可能與概率統(tǒng)計相結合命題，難度中等或偏下【押題2】設asin xdx，則二項式4的展開式的常數項是A24B24C48 D48解析asin xdxcos x2，的展開式中的通項為Tr1(1)rCx2r·24r，令2r0，得r2，T3(1)2C·226×424.答案A押題依據二項展開式的通項公式的運用是高考考查的重點內容，一般用以求展開式中的特定項，以選擇題或填空題的形式出現，本題與定積分交匯命題，立意新穎、考查全面，故押此題 - 5 -