2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 題型專項練 壓軸題提分練（二）文

壓軸題提分練(二) 1．設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若·＋·＝8，O為坐標原點，求△OCD的面積． 解析：(1)因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為，所以＝. 因為橢圓的離心率為，所以＝， 又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝. 所以橢圓的方程為＋＝1. (2)由(1)可知F(－1,0)，則直線CD的方程為y＝k(x＋1)． 聯(lián)立消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 又A(－，0)，B(，0)，所以·＋· ＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋＝8， 解得k＝±. 從而x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0. 所以|x1－x2|＝＝＝， |CD|＝|x1－x2|＝×＝. 而原點O到直線CD的距離為d＝＝＝， 所以△OCD的面積為S＝|CD|×d＝××＝. 2．已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1(a為常數(shù))，曲線y＝f(x)在與y軸的交點A處的切線斜率為－1. (1)求a的值及函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若x1<ln 2，x2>ln 2，且f(x1)＝f(x2)，試證明：x1＋x2＜2ln 2. 解析：(1)由f(x)＝ex－ax－1得f′(x)＝ex－a. 又f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2， 所以f(x)＝ex－2x－1，f′(x)＝ex－2. 由f′(x)＝ex－2>0得x>ln 2. 所以函數(shù)y＝f(x)在(－∞，ln 2)上單調(diào)遞減， 在(ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)證明：設(shè)x>ln 2，所以2ln 2－x<ln 2， 由(1)知f(x)＝ex－2x－1， 所以f(2ln 2－x)＝e2ln 2－x－2(2ln 2－x)－1 ＝＋2x－4ln 2－1， 令g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x>ln 2)， 則g′(x)＝ex＋4e－x－4≥2－4＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝ln 2時，等號成立， 所以g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增． 又g(ln 2)＝0，所以當(dāng)x>ln 2時， g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)>g(ln 2)＝0， 即f(x)>f(2ln 2－x)，所以f(x2)>f(2ln 2－x2)， 又因為f(x1)＝f(x2)，所以f(x1)>f(2ln 2－x2)． 由于x2>ln 2，所以2ln 2－x2<ln 2. 因為x1<ln 2，由(1)知函數(shù)y＝f(x)在(－∞，ln 2)上單調(diào)遞減，所以x1<2ln 2－x2，即x1＋x2<2ln 2. 3