2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)10 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì) 理

專題限時集訓(xùn)(十)　圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì) [專題通關(guān)練] (建議用時：30分鐘) 1．(2019·貴陽一模)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F到準線l的距離為2，則C的焦點坐標為(　　) A．(4,0)　　　　　　 B．(2,0) C．(1,0) D. C　[因為拋物線焦點到準線的距離為2，所以p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，拋物線的焦點坐標為(1,0)，選C.] 2．(2019·沈陽一模)若點(，0)到雙曲線C1：－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C.或 D. A　[雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即ay±bx＝0，由題知(，0)到漸近線的距離為，即＝，由a2＋b2＝c2得b＝c,3(c2－a2)＝2c2，即c2＝3a2，得e＝＝，故選A.] 3．若中心在坐標原點的橢圓的長軸長與短軸長之比為2，它的一個焦點是(2，0)，則橢圓的標準方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 D　[設(shè)橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，依題意得，＝＝2?a＝2b，∵c＝2，c2＝a2－b2， ∴(2)2＝(2b)2－b2?b2＝20，得a2＝4b2＝80，故所求橢圓的標準方程為＋＝1.] 4.如圖，橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，則a的值為(　　 ) A．2　　　　　　 B．3 C．4 D．5 B　[因為b2＝2，c＝，所以|F1F2|＝2. 又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理得 cos 120°＝＝－，解得a＝3.] 5．過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線相交于點M，若|MN|＝|AB|，則直線l的傾斜角為(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° B　[分別過A，B，N作拋物線準線的垂線，垂足分別為A′，B′，N′(圖略)，由拋物線的定義知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因為|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°，故選B.] 6．[易錯題]若方程－＝1表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是________． ∪　[由題意可知 解得－2＜m＜－1且m≠－.] 7．若三個點(－2,1)，(－2,3)，(2，－1)中恰有兩個點在雙曲線C：－y2＝1(a＞0)上，則雙曲線C的漸近線方程為________． y＝±x　[由于雙曲線的圖象關(guān)于原點對稱，故(－2,1)，(2，－1)在雙曲線上，代入方程解得a＝，又因為b＝1，所以漸近線方程為y＝±x.] 8．[易錯題]若橢圓的對稱軸是坐標軸，且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到同側(cè)頂點的距離為，則橢圓的方程為________． ＋＝1或＋＝1　[由題意，得所以 所以b2＝a2－c2＝9. 所以當橢圓焦點在x軸上時，橢圓的方程為＋＝1；當橢圓焦點在y軸上時，橢圓的方程為＋＝1. 故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.] [能力提升練] (建議用時：20分鐘) 9．(2019·全國卷Ⅰ)雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為(　　) A．2sin 40° B．2cos 40° C. D. D　[由題意可得－＝tan 130°， 所以e＝＝＝ ＝＝. 故選D.] 10．(2019·珠海質(zhì)檢)過點M(1,1)作斜率為－的直線l與橢圓C：＋＝1(a＞b＞0) 相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為________． 　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意得， ∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0， ∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)． ∴＝－＝，∴a2＝3b2. ∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.] [點評]　點差法適用范圍：與弦的中點(軌跡)有關(guān)、與弦所在直線斜率有關(guān). 11．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，△ABC的頂點都在拋物線上，且滿足＋＋＝0，則＋＋＝________. 0　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(xiàn)，由＋＝－，得＋＝－，y1＋y2＋y3＝0.因為kAB＝＝，kAC＝＝，kBC＝＝，所以＋＋＝＋＋＝＝0.] 12．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且點在該橢圓上． (1)求橢圓C的方程； (2)過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AOB的面積為，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程． [解](1)由題意可得e＝＝， 又a2＝b2＋c2， 所以b2＝a2. 因為橢圓C經(jīng)過點， 所以＋＝1， 解得a2＝4，所以b2＝3， 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)由(1)知F1(－1,0)，設(shè)直線l的方程為x＝ty－1， 由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0， 顯然Δ＞0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以|y1－y2|＝ ＝＝， 所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2| ＝＝， 化簡得18t4－t2－17＝0， 即(18t2＋17)(t2－1)＝0， 解得t＝1，t＝－(舍去)． 又圓O的半徑r＝＝， 所以r＝， 故圓O的方程為x2＋y2＝. 題號 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 圓的標準方程，雙曲線的方程及性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系 圓與圓錐曲線的位置關(guān)系是最近幾年的高考熱點，而雙曲線的漸近線是雙曲線的特有幾何性質(zhì)，將兩者結(jié)合較好的考查了考生的知識遷移能力 2 軌跡的求法，弦長公式，方程思想的應(yīng)用，向量的運算 以定長線段為載體，向量為工具考查了動點軌跡的求法，并借助方程思想解決問題，考查了考生的轉(zhuǎn)化能力，探索能力及數(shù)學(xué)運算能力 【押題1】　經(jīng)過點(2,1)，且漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切，則下列說法正確的編號有________． ①該雙曲線的離心率為2； ②該雙曲線的一條漸近線方程為 y－x＝0； ③該雙曲線的標準方程為－＝1. ①②　[設(shè)雙曲線的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切可得圓心(0,2)到漸近線的距離等于半徑1，由點到直線的距離公式可得＝1，解得k＝±，即漸近線方程為y±x＝0，故②正確；因為雙曲線經(jīng)過點(2,1)，所以雙曲線的焦點在x軸上，可設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，將點(2,1)代入可得－＝1，由得故所求雙曲線的方程為－＝1，故③錯誤，又離心率e＝＝2，故①正確，綜上可知①②正確．] 【押題2】　已知|MN|＝1，＝3 ，當N，M分別在x軸，y軸上滑動時，點P的軌跡記為E. (1)求曲線E的方程； (2)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線MN與E交于P，Q兩點，若|PN|＝|MQ|，求k. [解]　(1)設(shè)M(0，m), N(n,0)，P(x，y)，由|MN|＝1得m2＋n2＝1. 由＝3，得(x，y－m)＝3(n，－m)， 從而x＝3n，y－m＝－3m， ∴n＝，m＝－， ∴曲線E的方程為＋＝1. (2)直線MN為y＝kx＋t，∴n＝－.① 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 將MN的方程代入到E的方程并整理，可得(4＋9k2)x2＋18ktx＋9t2－36＝0， ∴x1＋x2＝. ∵|PN|＝|MQ|，所以MN的中點和PQ的中點重合， ∴＝－，② 聯(lián)立①②可得k2＝，故k＝±. [點評]　向量條件轉(zhuǎn)化，一是向坐標轉(zhuǎn)化，建立坐標間關(guān)系，二是挖掘向量條件的幾何意義(如共線、中點、垂直). - 7 -