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2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓4 數(shù)列求和與綜合應用 文

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2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓4 數(shù)列求和與綜合應用 文

專題限時集訓(四) 數(shù)列求和與綜合應用 [專題通關練] (建議用時:30分鐘) 1.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項和,若Sn=126,則n=(  ) A.9    B.8    C.7    D.6 D [因為a1=2,an+1=2an,所以{an}是首項和公比均為2的等比數(shù)列,所以Sn==126,解得n=6.] 2.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6>S7>S5,則滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為(  ) A.10 B.11 C.12 D.13 C [由S6>S7>S5,得S7=S6+a7<S6,S7=S5+a6+a7>S5,所以a7<0,a6+a7>0,所以S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,所以S12S13<0,即滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為12,故選C.] 3.已知{an}是首項為1的等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,且9S3=S6,則數(shù)列的前5項和為(  ) A.或5 B.或5 C. D. C [依題意知{an}的公比q≠1,否則9S3=27a1≠S6=6a1,9S3=S6?9×=?q3=8?q=2,∴數(shù)列是首項為=1,公比為的等比數(shù)列,∴數(shù)列的前5項和為S5==.] 4.已知函數(shù)f(n)=且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100=(  ) A.0 B.100 C.-100 D.10 200 B [由題意,a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-1+101=100,故選B.] 5.已知數(shù)列{an}滿足an=,則a1+++…+的值為(  ) A. B. C. D. A [由題意,因為數(shù)列{an}滿足an=,所以數(shù)列的通項公式為==-,所以a1+++…+=1-+-+…+-=1-=.] 6.(2019·太原模擬)已知數(shù)列{an}滿足=,且a2=2,則a4=________. 11 [因為數(shù)列{an}滿足=,所以an+1+1=2(an+1),即數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,公比為2,則a4+1=22(a2+1)=12,解得a4=11.] 7.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,過點P(n,Sn)和點Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直線的斜率為3n-2,則a2+a4+a5+a9=________. 40 [因為過點P(n,Sn)和點Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直線的斜率為3n-2,所以=Sn+1-Sn=an+1=3n-2(n∈N*),所以a2=1,a4=7,a5=10,a9=22,所以a2+a4+a5+a9=40.] 8.若數(shù)列{an}滿足a1=1,且對于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,則++…++=________.  [由an+1=an+n+1, 得an+1-an=n+1, 則a2-a1=1+1, a3-a2=2+1, a4-a3=3+1, …, an-an-1=(n-1)+1,n≥2. 以上等式相加,得an-a1=1+2+3+…+(n-1)+n-1,n≥2, 把a1=1代入上式得,an=1+2+3+…+(n-1)+n=, ==2, 則++…++=21-+-+…+-+-=21-=.] [能力提升練] (建議用時:15分鐘) 9.(2019·泰安模擬)數(shù)列{an}中,a1=2,a2=3,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),那么a2 019=(  ) A.1 B.-2 C.3 D.-3 A [因為an+1=an-an-1(n≥2),所以an=an-1-an-2(n≥3),所以an+1=an-an-1=(an-1-an-2)-an-1=-an-2(n≥3). 所以an+3=-an(n∈N*), 所以an+6=-an+3=an, 故{an}是以6為周期的周期數(shù)列. 因為2 019=336×6+3, 所以a2 019=a3=a2-a1=3-2=1.故選A.] 10.(2019·洛陽模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)記bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解] (1)當n=1時,a1=S1=2a1-1,得a1=1.當n≥2時,有Sn-1=2an-1-1, 所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1. 所以{an}是公比為2,首項為1的等比數(shù)列,故通項公式an=2n-1(n∈N*). (2)bn===2, Tn=b1+b2+b3+…+bn=2×+2×+2×+…+2×=. 11.已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2){bn}為各項非零的等差數(shù)列,其前n項和為Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求數(shù)列的前n項和Tn. [解] (1)設{an}的公比為q, 由題意知:a1(1+q)=6,aq=a1q2, 又an>0,解得a1=2,q=2,所以an=2n. (2)由題意知:S2n+1==(2n+1)bb+1, 又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+1. 令cn=,則cn=. 因此Tn=c1+c2+…+cn=+++…++, 又Tn=+++…++, 兩式相減得Tn=+-, 所以Tn=5-. 題號 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 由an與Sn的關系求通項公式 由an與Sn的關系求通項公式常以小題形式出現(xiàn),有時也出現(xiàn)在解答題的第(1)問,難度中等.本題考查邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng),綜合性強,符合全國卷的命題趨勢 2 等差數(shù)列、三個“二次”間的關系、分組求和 本題將等差數(shù)列的基本運算、三個“二次”的關系及數(shù)列分組求和有機組合且難度不大,符合全國卷的命題需求,主要考查通項公式的求解與分組求和,在運算過程中體現(xiàn)了數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng) 【押題1】 已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn,且an+Sn=2n+1,則數(shù)列{an}的通項公式an=________. 2-n [當n=1時,由an+Sn=2n+1知,a1+S1=2×1+1, 即a1+a1=3,解得a1=. 由an+Sn=2n+1,① 知當n≥2時,an-1+Sn-1=2(n-1)+1=2n-1,② ①-②得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2,即2an-an-1=2, 即2(an-2)=an-1-2,即an-2=(an-1-2), 故數(shù)列{an-2}是以a1-2=-為首項,為公比的等比數(shù)列, 所以an-2=-×n-1=-n,即an=2-n.] 【押題2】 已知等差數(shù)列{an}的公差為d,且關于x的不等式a1x2-dx-3<0的解集為(-1,3). (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若bn=2+an,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. [解] (1)由題意知,方程a1x2-dx-3=0的兩個根分別為-1和3. 則解得 故數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1. (2)由(1)知an=2n-1,所以bn=2+an=2n+(2n-1), 所以Sn=(2+22+23+…+2n)+(1+3+5+…+2n-1)=2n+1+n2-2. - 5 -

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