2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法檢測(cè) 理 新人教A版

第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練·夯基練·提能練) A級(jí)　基礎(chǔ)夯實(shí)練 1．已知數(shù)列，，2，，…，則2是這個(gè)數(shù)列的(　　) A．第6項(xiàng)　　　　　　　 B．第7項(xiàng) C．第19項(xiàng) D．第11項(xiàng) 解析：選B.數(shù)列，，，，…，據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝，由＝2，解得，n＝7，即2是這個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)． 2．(2018·河南許昌二模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，則a11的值為(　　) A．31 B．32 C．61 D．62 解析：選A.∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6， ∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31. 3．(2018·株洲模擬)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝(　　) A．10 B．15 C．－5 D．20 解析：選D.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20. 4．(2018·銀川模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋2，若對(duì)所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－3，＋∞) 解析：選D.an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，則k＞－(2n＋1)對(duì)所有的n∈N*都成立， 而當(dāng)n＝1時(shí)，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3. 5．(2018·長春模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，數(shù)列{Sn＋nan}為常數(shù)列，則an＝(　　) A. B． C. D． 解析：選B.由題意知當(dāng)n＝1時(shí)，Sn＋nan＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＋(n－1)an－1＝2，所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，即＝，從而···…·＝··…·，則an＝，當(dāng)n＝1時(shí)上式成立，所以an＝. 6．對(duì)于數(shù)列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B.當(dāng)an＋1＞|an|(n＝1,2，…)時(shí)， ∵|an|≥an，∴an＋1＞an， ∴{an}為遞增數(shù)列． 當(dāng){an}為遞增數(shù)列時(shí)，若該數(shù)列為－2,0,1，則a2＞|a1|不成立，即an＋1＞|an|(n＝1,2，…)不一定成立． 綜上知，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件． 7．(2018·咸陽模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n2 C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ 解析：選B.∵＋＋…＋＝， ∴＋＋…＋＝(n≥2)， 兩式相減得＝－＝n(n≥2)， ∴an＝n2(n≥2)． 又當(dāng)n＝1時(shí)，＝＝1，a1＝1，適合上式， ∴an＝n2，n∈N*.故選B. 8．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________. 解析：由an＋1＝，得an＝1－， 因?yàn)閍8＝2，所以a7＝1－＝， a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，… 所以數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列，所以a1＝a7＝. 答案： 9．(2018·廈門調(diào)研)若數(shù)列{an}滿足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． 解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝6； 當(dāng)n≥2時(shí)， 故當(dāng)n≥2時(shí)，an＝， 所以an＝ 答案：an＝ 10．(2018·武漢調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}中，bn＝，且其前n項(xiàng)和為Tn，設(shè)cn＝T2n＋1－Tn. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)判斷數(shù)列{cn}的增減性． 解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． ∴bn＝ (2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1 ＝＋＋…＋， ∴cn＋1－cn＝＋－ ＝－＝＜0， ∴{cn}是遞減數(shù)列． B級(jí)　能力提升練 11．(2018·江西九江模擬)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和．人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為斐波那契數(shù)列．則(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7＋a6a8)－(a＋a＋a＋a＋a＋a)＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 解析：選A.a1a3－a＝1×2－1＝1，a2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，a4a6－a＝3×8－52＝－1，…，則(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7＋a6a8)－(a＋a＋a＋a＋a＋a)＝0. 12．(2018·佛山測(cè)試)定義：在數(shù)列{an}中，若滿足－＝d(n∈N*，d為常數(shù))，稱{an}為“等差比數(shù)列”．已知在“等差比數(shù)列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，則等于(　　) A．4×2 0212－1 B．4×2 0202－1 C．4×2 0192－1 D．4×2 0192 解析：選C.由題意知是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則＝2n－1，所以an＝××…××a1＝(2n－3)×(2n－5)×…×1. 所以＝ ＝4 039×4 037＝(4 038＋1)(4 038－1) ＝4 0382－1＝4×2 0192－1. 13．(2018·蘇州調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，則的最小值為________． 解析：由a1＝1，an＋1＝an＋n＋1得 a2－a1＝2，a3－a2＝3，…… an－an－1＝n. 以上等式相加得an＝a1＋2＋3＋…＋n＝， ∴＝＋＋≥2＋＝， 當(dāng)且僅當(dāng)n＝4時(shí)上式取到等號(hào)． 答案： 14．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為Tn，且3Tn＝S＋2Sn，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)由3T1＝S＋2S1， 得3a＝a＋2a1，即a－a1＝0. 因?yàn)閍1＞0，所以a1＝1. (2)因?yàn)?Tn＝S＋2Sn，① 所以3Tn＋1＝S＋2Sn＋1，② ②－①，得3a＝S－S＋2an＋1. 因?yàn)閍n＋1＞0，所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2，③ 所以3an＋2＝Sn＋2＋Sn＋1＋2，④ ④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1， 即an＋2＝2an＋1， 所以當(dāng)n≥2時(shí)，＝2. 又由3T2＝S＋2S2， 得3(1＋a)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a－2a2＝0. 因?yàn)閍2＞0，所以a2＝2，所以＝2， 所以對(duì)n∈N*，都有＝2成立， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，n∈N*. C級(jí)　素養(yǎng)加強(qiáng)練 15．已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝2S2＋4，數(shù)列{bn}中，bn＝. (1)求公差d的值； (2)若a1＝－，求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值； (3)若對(duì)任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍． 解：(1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1. (2)∵a1＝－，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－＋(n－1)＝n－， ∴bn＝1＋＝1＋. ∵函數(shù)f(x)＝1＋在和上分別是單調(diào)減函數(shù)， ∴b3＜b2＜b1＜1，當(dāng)n≥4時(shí)，1＜bn≤b4， ∴數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)是b4＝3，最小項(xiàng)是b3＝－1. (3)由bn＝1＋，得bn＝1＋. 又函數(shù)f(x)＝1＋在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分別是單調(diào)減函數(shù)，且x＜1－a1時(shí)，y＜1； 當(dāng)x＞1－a1時(shí)，y＞1. ∵對(duì)任意的n∈N*，都有bn≤b8， ∴7＜1－a1＜8，∴－7＜a1＜－6， ∴a1的取值范圍是(－7，－6)． 6