2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第4講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 理 北師大版
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2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第4講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 理 北師大版
第4講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 基礎(chǔ)題組練1函數(shù)y|cos x|的一個(gè)增區(qū)間是()A,B0,C, D,2解析:選D.將ycos x的圖象位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱翻折到x軸上方,x軸上方(或x軸上)的圖象不變,即得y|cos x|的圖象(如圖)故選D.2設(shè)函數(shù)f(x)cos,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()Af(x)的一個(gè)周期為2Byf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱Cf(x)的一個(gè)零點(diǎn)為xDf(x)在上是減少的解析:選D.函數(shù)f(x)cos的圖象可由ycos x的圖象向左平移個(gè)單位得到,如圖可知,f(x)在上先減后增,D選項(xiàng)錯(cuò)誤3(2020·河北衡水第十三中學(xué)質(zhì)檢(四)同時(shí)滿足f(x)f(x)與ff的函數(shù)f(x)的解析式可以是()Af(x)cos 2xBf(x)tan xCf(x)sin x Df(x)sin 2x解析:選D.由題意得所求函數(shù)的周期為,且圖象關(guān)于x對(duì)稱Af(x)cos 2x的周期為,而f0不是函數(shù)的最值所以其圖象不關(guān)于x對(duì)稱Bf(x)tan x的周期為,但圖象不關(guān)于x對(duì)稱Cf(x)sin x的周期為2,不合題意Df(x)sin 2x的周期為,且f1為函數(shù)最大值,所以D滿足條件,故選D.4(2020·河南六市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)2sin(>0)的圖象與函數(shù)g(x)cos(2x)的圖象的對(duì)稱中心完全相同,則為()A. BC. D解析:選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2sin(>0)的圖象與函數(shù)g(x)cos(2x)的圖象的對(duì)稱中心完全相同,所以2,2k(kZ),即2k(kZ),因?yàn)閨<,所以,選D.5(2020·河南中原名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)4sin(x)(>0)在同一周期內(nèi),當(dāng)x時(shí)取最大值,當(dāng)x時(shí)取最小值,則的值可能為()A. BC. D解析:選C.T2,故2,又2×2k,kZ,所以2k,kZ,所以的值可能為.故答案為C.6函數(shù)f(x)sin的減區(qū)間為_解析:由已知可得函數(shù)為f(x)sin,欲求函數(shù)f(x)的減區(qū)間,只需求ysin的增區(qū)間由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)故所求函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(kZ)答案:(kZ)7已知函數(shù)f(x)2sin(x)1(xR)的圖象的一條對(duì)稱軸為x,其中為常數(shù),且(1,2),則函數(shù)f(x)的最小正周期為_解析:由函數(shù)f(x)2sin(x)1(xR)的圖象的一條對(duì)稱軸為x,可得k,kZ,所以k,又(1,2),所以,從而得函數(shù)f(x)的最小正周期為.答案:8已知函數(shù)f(x)2sin的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,其中為常數(shù),且(1,3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,總有f(x1)f(x)f(x2),則|x1x2|的最小值是_解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2sin的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,所以k,kZ,所以3k1,kZ,由(1,3)得,2.由題意得|x1x2|的最小值為函數(shù)的半個(gè)周期,即.答案:9已知函數(shù)f(x)(sin xcos x)22cos2x2.(1)求f(x)的增區(qū)間;(2)當(dāng)x時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解:f(x)sin 2xcos 2xsin.(1)令2k2x2k,kZ,則kxk,kZ.故f(x)的增區(qū)間為,kZ.(2)因?yàn)閤,所以2x,所以1sin ,所以f(x)1,所以當(dāng)x時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為.10已知函數(shù)f(x)4sin(x)cos x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和增區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)f(x)m在0,上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍,并計(jì)算tan(x1x2)的值解:(1)f(x)4sin(x)cos x4(sin xcos x)cos x2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x2sin(2x)所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T.由2k2x2k(kZ),得kxk(kZ)所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為k,k(kZ)(2)函數(shù)g(x)f(x)m在0,上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,即函數(shù)yf(x)與ym在0,上的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yf(x)2sin(2x)在0,上的圖象,如圖所示,由圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)m,2)時(shí),方程f(x)m有兩個(gè)不同的解x1,x2,且x1x22×,故tan(x1x2)tantan .綜合題組練1(2019·高考全國(guó)卷)關(guān)于函數(shù)f(x)sin|x|sin x|有下述四個(gè)結(jié)論:f(x)是偶函數(shù);f(x)在區(qū)間遞增;f(x)在,有4個(gè)零點(diǎn);f(x)的最大值為2.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A BC D解析:選C.通解:f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x),所以f(x)為偶函數(shù),故正確;當(dāng)<x<時(shí),f(x)sin xsin x2sin x,所以f(x)在是減少的,故不正確;f(x)在,的圖象如圖所示,由圖可知函數(shù)f(x)在,只有3個(gè)零點(diǎn),故不正確;因?yàn)閥sin|x|與y|sin x|的最大值都為1且可以同時(shí)取到,所以f(x)可以取到最大值2,故正確綜上,正確結(jié)論的編號(hào)是.故選C.優(yōu)解:因?yàn)閒(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x),所以f(x)為偶函數(shù),故正確,排除B;當(dāng)<x<時(shí),f(x)sin xsin x2sin x,所以f(x)在是減少的,故不正確,排除A;因?yàn)閥sin|x|與y|sin x|的最大值都為1且可以同時(shí)取到,所以f(x)的最大值為2,故正確故選C.2(2019·高考全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)sin(>0),已知f(x)在0,2有且僅有5個(gè)零點(diǎn)下述四個(gè)結(jié)論:f(x)在(0,2)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)f(x)在(0,2)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)f(x)在遞增的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A BC D解析:選D.如圖,根據(jù)題意知,xA2<xB,根據(jù)圖象可知函數(shù)f(x)在(0,2)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn),所以正確;但可能會(huì)有3個(gè)極小值點(diǎn),所以錯(cuò)誤;根據(jù)xA2<xB,有2<,得<,所以正確;當(dāng)x(0,)時(shí),<x<,因?yàn)?lt;,所以<<,所以函數(shù)f(x)在(0,)是增加的,所以正確3已知函數(shù)f(x)sin xcos x(>0),f()f()0,且f(x)在區(qū)間(,)上是減少的,則_.解析:因?yàn)閒(x)sin xcos x2sin(x),由2kx2k,kZ,得x,因?yàn)閒(x)在區(qū)間(,)上遞減,所以(,),從而有,解得12k1,kZ,所以1,因?yàn)閒()f()0,所以x為f(x)2sin(x)的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),所以k(kZ),3k1,kZ,又1,所以2.答案:24(2020·江贛十四校第二次聯(lián)考)如果圓x2(y1)2m2至少覆蓋函數(shù)f(x)2sin2 cos(m>0)的一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn),則m的取值范圍是_解析:化簡(jiǎn)f(x)2sin2cos得f(x)2sin1,所以,函數(shù)f(x)的圖象靠近圓心(0,1)的最大值點(diǎn)為,最小值點(diǎn)為,所以只需解得m.答案:5已知函數(shù)f(x)2sin2cos 2x1,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若h(x)f(xt)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且t(0,),求t值;(3)當(dāng)x時(shí),不等式|f(x)m|<3恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍解:(1)因?yàn)閒(x)coscos 2xsin 2xcos 2x22sin(2x)故f(x)的最小正周期為T.(2)由(1)知h(x)2sin.令2×2tk(kZ),得t(kZ),又t(0,),故t或.(3)當(dāng)x時(shí),2x,所以f(x)1,2又|f(x)m|<3,即f(x)3<m<f(x)3,所以23<m<13,即1<m<4.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.6已知a>0,函數(shù)f(x)2asin(2x)2ab,當(dāng)x0,時(shí),5f(x)1.(1)求常數(shù)a,b的值;(2)設(shè)g(x)f(x)且lg g(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間解:(1)因?yàn)閤0,所以2x,所以sin(2x),1,所以2asin(2x)2a,a,所以f(x)b,3ab,又因?yàn)?f(x)1,所以b5,3ab1,因此a2,b5.(2)由(1)得f(x)4sin(2x)1,g(x)f(x)4sin(2x)14sin(2x)1,又由lg g(x)>0,得g(x)>1,所以4sin(2x)1>1,所以sin(2x)>,所以2k<2x<2k,kZ,其中當(dāng)2k<2x2k,kZ時(shí),g(x)是增加的,即k<xk,kZ,所以g(x)的增區(qū)間為(k,k,kZ.又因?yàn)楫?dāng)2k<2x<2k,kZ時(shí),g(x)是減少的,即k<x<k,kZ.所以g(x)的減區(qū)間為(k,k),kZ.所以g(x)的增區(qū)間為(k,k,kZ,減區(qū)間為(k,k),kZ.10