2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)20 定積分與微積分基本定理 理 北師大版

課后限時(shí)集訓(xùn)20 定積分與微積分基本定理 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．已知t是常數(shù)，若(2x－2)dx＝8，則t＝(　　) A．1　　　　　　　 B．－2 C．－2或4 D．4 D　[由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x) ＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝ －2(舍去).] 2．設(shè)f(x)＝cos tdt，則f＝(　　) A．1 B．sin C．sin 2 D．2sin D　[∵f(x)＝cos tdt＝sin t＝2sin x， ∴f ＝2sin ＝，∴f＝2sin .] 3．直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 D　[如圖，y＝4x與y＝x3的交點(diǎn)A(2,8)，圖中陰影部分即為所求圖形面積． S陰＝(4x－x3)dx ＝) 4.dx的值為(　　) A. B. C．π D．2π A　[令y＝，則(x－1)2＋y2＝1，(y＞0)． ∴dx表示由曲線y＝，x＝0，x＝1及x軸圍成的曲邊圖形的面積，即圓面積的，∴dx＝.] 5．若S1＝dx，S2＝ (ln x＋1)dx，S3＝xdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為(　　) A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S1＜S2 A　[如圖，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，比較圍成圖形的面積，易知選A.] 6．如果1 N的力能拉長(zhǎng)彈簧1 cm，為了將彈簧拉長(zhǎng)6 cm，所耗費(fèi)的功為 (　　) A．0.18 J B．0.26 J C．0.12 J D．0.28 J A　[設(shè)F(x)＝kx，當(dāng)x＝0.01 m時(shí)，F(xiàn)(x)＝1，可知k＝100. ∴所耗費(fèi)的功W＝100xdx＝50x2＝0.18 J.] 7．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，則f(x)dx＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 B　[由題意知f(x)＝x2＋2f(x)dx， 設(shè)m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m， f(x)dx＝ (x2＋2m)dx＝ ＝＋2m＝m，∴m＝－.] 二、填空題 8.已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則它與x軸所圍成的面積為_(kāi)____． 　[由題圖可知f(x)＝－x2＋1. ∴它與x軸所圍成的面積S＝ (1－x2)dx＝－＝＋＝.] 9．汽車(chē)以72 km/h的速度行駛，由于遇到緊急情況而剎車(chē)，汽車(chē)以等減速度a＝4 m/s2剎車(chē)，則汽車(chē)從開(kāi)始剎車(chē)到停止走的距離為_(kāi)_______m. 50　[先求從剎車(chē)到停車(chē)所用的時(shí)間， 當(dāng)t＝0時(shí)，v0＝72 km/h＝20 m/s， 剎車(chē)后，汽車(chē)減速行駛，速度為v(t)＝v0－at＝20－4t. 令v(t)＝0，可得t＝5 s， 所以汽車(chē)從剎車(chē)到停車(chē)，所走過(guò)的路程為： (20－4t)dt＝(20t－2t2) ＝50(m). 即汽車(chē)從開(kāi)始剎車(chē)到停止，共走了50 m.] 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，x0＞0，則x0＝________. 　[依題意得f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝x3＋bx＝3，即3a＝9a(a≠0)，x＝3(x0＞0)，由此解得x0＝.] 1．已知f(x)＝則－πf(x)dx＝(　　) A．2＋π B. C．－2＋ D.－2 D　[f(x)dx＝sin xdx＋dx， sin xdx＝－cos x－2 dx的幾何意義是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓的面積的，故dx＝，所以f(x)dx＝－2，故選D.]) 2．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C的方程為x2－y＝0)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(　　) A．5 000　　　　　　 B．6 667 C．7 500 D．7 854 B　[題圖中陰影部分的面積為 (1－x2)dx＝＝又正方形的面積為1，則10 000個(gè)點(diǎn)落入陰影部分個(gè)數(shù)估計(jì)為10 000×≈6 667，故選B.] 3．設(shè)a＞0，若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝________. 　[封閉圖形如圖所示， 則dx＝x＝a)－0＝a2，解得a＝.] 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線y＝x與直線x＝1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，圓錐的體積V圓錐＝πx2dx＝x3＝. 據(jù)此類(lèi)比：將曲線y＝2ln x與直線y＝1及x軸，y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)體的體積V＝　　　　. π(e－1)　[類(lèi)比已知結(jié)論，將曲線y＝2ln x與直線y＝1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)為一定積分，被積函數(shù)為π(e)2＝πey，積分變量為y，積分區(qū)間為[0,1]，即V＝πeydy＝πey＝π(e－1).] 1. (＋ex－1)dx＝________. ＋e－－2　[ (＋ex－1)dx ＝dx＋ (ex－1)dx. 因?yàn)閐x表示單位圓的上半部分的面積， 所以dx＝. 而 (ex－1)dx＝(ex－x) ＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2， 所以 (＋ex－1)dx＝＋e－－2.] 2．若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，f(x)＝x3＋x2f′(1)，則f′(1)＝________，f(x)dx＝________. －3?。?　[因?yàn)閒(x)＝x3＋x2f′(1)， 所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)． 所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3. 所以f(x)＝x3－3x2. 故f(x)dx＝(x3－3x2)dx＝＝－4.] 5