2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)7 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 理 北師大版

課后限時(shí)集訓(xùn)7 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．設(shè)f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2－x，則f＝(　　) A．－　　 B．－　　 　 C．　　 D． C　[因?yàn)閒(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，所以f＝－f＝－f.又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2－x，所以f＝2－＝－，則f＝.] 2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x|＋1) C．y＝ D．y＝x－ D　[選項(xiàng)A、B顯然是偶函數(shù)，排除；選項(xiàng)C是奇函數(shù)，但在(0，＋∞)上不是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意； 選項(xiàng)D中，y＝x－是奇函數(shù)，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，故y＝x－在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以選項(xiàng)D正確．] 3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有f＋f(x)＝0，當(dāng)－≤x≤0時(shí)，f(x)＝2x＋a，則f(16)的值為(　　) A． B．－ C． D．－ A　[由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)， ∴f(x)是以5為周期的周期函數(shù)， ∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)． ∵f(x)是R上的奇函數(shù)， ∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1. ∴當(dāng)－≤x≤0時(shí)，f(x)＝2x－1， ∴f(－1)＝2－1－1＝－， ∴f(1)＝，∴f(16)＝.] 4．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f＝f(x)，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝log(1－x)，則f(x)在區(qū)間內(nèi)是(　　) A．減函數(shù)且f(x)＞0 B．減函數(shù)且f(x)＜0 C．增函數(shù)且f(x)＞0 D．增函數(shù)且f(x)＜0 D　[當(dāng)x∈時(shí)，由f(x)＝log(1－x)可知，f(x)單調(diào)遞增且f(x)＞0，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間上也單調(diào)遞增，且f(x)＜0.由f＝f(x)知，函數(shù)的周期為，所以在區(qū)間上，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增且f(x)＜0.] 5．(2019·合肥調(diào)研)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是減函數(shù)，則有(　　) A．f＜f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f＜f＜f C　[因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)的周期為4，作出f(x)的草圖，如圖，由圖可知f＜f＜f. ] 二、填空題 6．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3,0]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. 6　[∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期為6， ∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)． 又f(x)為偶函數(shù)，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.] 7．定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．現(xiàn)有以下三個(gè)命題： ①8是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期；②f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對(duì)稱；③f(x)是偶函數(shù)． 其中正確命題的序號(hào)是________． ①②③　[∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期為4，故①正確；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故②正確；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正確．] 8．已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且f ＝0，則f(x)＞0的解集為________． 　[由奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且f ＝0，可知函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增，且f ＝0.由f(x)＞0，可得x＞或－＜x＜0.] 三、解答題 9．設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－x. (1)判斷f(x)的奇偶性； (2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的表達(dá)式． [解]　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)． 又f(x)的定義域?yàn)镽，∴f(x)是偶函數(shù)． (2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，－x∈[－1,0]， 則f(x)＝f(－x)＝x； 從而當(dāng)1≤x≤2時(shí)，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 故f(x)＝ 10．設(shè)函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖像與x軸所圍成圖形的面積． [解]　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 故函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱． 又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，且f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖像如圖所示． 當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，設(shè)f(x)的圖像與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×＝4. 1．(2019·惠州調(diào)研)已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(1)＝2，則不等式f(log2x)＞2的解集為(　　) A．(2，＋∞) B．∪(2，＋∞) C．∪(，＋∞) D．(，＋∞) B　[f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，因?yàn)閒(1)＝2，所以f(－1)＝2，所以f(log2x)＞2?f(|log2x|)＞f(1)?|log2x|＞1?log2x＞1或log2x＜－1?x＞2或0＜x＜.故選B.] 2．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足下列三個(gè)條件： ①對(duì)任意的x1，x2∈[4,8]，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有＞0恒成立； ②f(x＋4)＝－f(x)； ③y＝f(x＋4)是偶函數(shù)． 若a＝f(7)，b＝f(11)，c＝f(2 018)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜b＜a B　[由①知函數(shù)f(x)在區(qū)間[4,8]上為單調(diào)遞增函數(shù)；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為8，所以c＝f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝4對(duì)稱，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(2)＝f(6)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[4,8]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜c＜a，故選B.] 3．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列幾個(gè)命題： ①f(x)是周期函數(shù)； ②f(x)的圖像關(guān)于x＝1對(duì)稱； ③f(x)在[1,2]上是減函數(shù)； ④f(2)＝f(0)， 其中正確命題的序號(hào)是________(請(qǐng)把正確命題的序號(hào)全部寫出來)． ①②③④　[因?yàn)閒(x＋y)＝f(x)＋f(y)對(duì)任意x，y∈R恒成立． 令x＝y(tǒng)＝0， 所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x， 所以f(0)＝f(x)＋f(－x)． 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)． 因?yàn)閒(x)在x∈[－1,0]上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)， 所以f(x)在[0,1]上為增函數(shù)． 由f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2) ?f(x＋4)＝f(x)， 所以周期T＝4， 即f(x)為周期函數(shù)． f(x＋2)＝－f(x)?f(－x＋2)＝－f(－x)． 又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)． 所以f(2－x)＝f(x)， 所以函數(shù)關(guān)于x＝1對(duì)稱． 由f(x)在[0,1]上為增函數(shù)， 又關(guān)于x＝1對(duì)稱， 所以f(x)在[1,2]上為減函數(shù)． 由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．] 4．已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－1,1]上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)． (1)求證：對(duì)任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0； (2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)證明：若x1＋x2＝0，顯然不等式成立． 若x1＋x2＜0，則－1≤x1＜－x2≤1， 因?yàn)閒(x)在[－1,1]上是減函數(shù)且為奇函數(shù)， 所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0. 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 若x1＋x2＞0，則1≥x1＞－x2≥－1， 同理可證f(x1)＋f(x2)＜0. 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 綜上得證，對(duì)任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立． (2)因?yàn)閒(1－a)＋f(1－a2)＜0?f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定義域[－1,1]上是減函數(shù)，得 即 解得0≤a＜1. 故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,1)． 1．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函數(shù)；③f(x＋2)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5) B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5) C．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7) D．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5) D　[由①知函數(shù)f(x)的周期為4，由③知f(x＋2)是偶函數(shù)，則有f(－x＋2)＝f(x＋2)，即函數(shù)f(x)圖像的一條對(duì)稱軸是x＝2，由②知函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，則在[2,4]上單調(diào)遞減，且在[0,4]上越靠近x＝2，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)＜f(3)＜f(2.5)，即f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．故選D.] 2．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，對(duì)任意x1，x2∈，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)． (1)設(shè)f(1)＝2，求f，f； (2)證明：f(x)是周期函數(shù)． [解]　(1)由f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，x1，x2∈，知f(x)＝f· f≥0，x∈[0,1]． ∵f(1)＝f＝f·f＝2，f(1)＝2， ∴f＝2. ∵f＝f＝f·f＝2，f＝2，∴f＝2. (2)證明：依題設(shè)，y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱， ∴f(x)＝f(2－x)． 又∵f(－x)＝f(x)， ∴f(－x)＝f(2－x)， ∴f(x)＝f(2＋x)， ∴f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期． 7