2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理 北師大版

第5講 數(shù)學(xué)歸納法 基礎(chǔ)題組練1用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Snna1d時，假設(shè)當(dāng)nk時，公式成立，則Sk()Aa1(k1)dBCka1d D(k1)a1d解析：選C.假設(shè)當(dāng)nk時，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Skka1d.2設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)k1成立時，總能推出f(k1)k2成立，那么下列命題總成立的是()A若f(1)<2成立，則f(10)<11成立B若f(3)4成立，則當(dāng)k1時，均有f(k)k1成立C若f(2)<3成立，則f(1)2成立D若f(4)5成立，則當(dāng)k4時，均有f(k)k1成立解析：選D.當(dāng)f(k)k1成立時，總能推出f(k1)k2成立，說明如果當(dāng)kn時，f(n)n1成立，那么當(dāng)kn1時，f(n1)n2也成立，所以如果當(dāng)k4時，f(4)5成立，那么當(dāng)k4時，f(k)k1也成立3用數(shù)學(xué)歸納法證明1，則當(dāng)nk1時，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()A. BC. D解析：選C.因為當(dāng)nk時，左端1，當(dāng)nk1時，左端1.所以，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上.4已知f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的關(guān)系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析：選A.f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.5利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1<f(n)(n2，nN+)的過程中，由nk到nk1時，左邊增加了()A1項 Bk項C2k1項 D2k項解析：選D.令不等式的左邊為g(n)，則g(k1)g(k)1，其項數(shù)為2k112k12k12k2k.故左邊增加了2k項6用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n(nN+，n>1)時，第一步應(yīng)驗證的不等式是_解析：由nN+，n>1知，n取第一個值n02，當(dāng)n2時，不等式為1<2.答案：1<27用數(shù)學(xué)歸納法證明>，假設(shè)nk時，不等式成立，則當(dāng)nk1時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_答案：>8用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>(n2)的過程中，由nk推導(dǎo)nk1時，不等式的左邊增加的式子是_解析：不等式的左邊增加的式子是，故填.答案：9用數(shù)學(xué)歸納法證明等式12223242(1)n1·n2(1)n1·.證明：(1)當(dāng)n1時，左邊121，右邊(1)0×1，左邊右邊，原等式成立(2)假設(shè)nk(k1，kN+)時等式成立，即有12223242(1)k1·k2(1)k1·.那么，當(dāng)nk1時，12223242(1)k1·k2(1)k·(k1)2(1)k1·(1)k·(k1)2(1)k·k2(k1)(1)k·.所以當(dāng)nk1時，等式也成立，由(1)(2)知，對任意nN+，都有12223242(1)n1·n2(1)n1·.10已知f(n)1，g(n)，nN+.(1)當(dāng)n1，2，3時，試比較f(n)與g(n)的大??；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明解：(1)當(dāng)n1時，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；當(dāng)n2時，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；當(dāng)n3時，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明當(dāng)n1，2，3時，不等式顯然成立假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN+)時不等式成立，即1.那么，當(dāng)nk1時，f(k1)f(k).因為0，所以f(k1)g(k1)由可知，對一切nN+，都有f(n)g(n)成立綜合題組練1已知整數(shù)p>1，證明：當(dāng)x>1且x0時，(1x)p>1px.證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)p2時，(1x)212xx2>12x，原不等式成立假設(shè)當(dāng)pk(k2，kN+)時，不等式(1x)k>1kx成立則當(dāng)pk1時，(1x)k1(1x)(1x)k>(1x)·(1kx)1(k1)xkx2>1(k1)x.所以當(dāng)pk1時，原不等式也成立綜合可得，當(dāng)x>1且x0時，對一切整數(shù)p>1，不等式(1x)p>1px均成立2已知數(shù)列xn滿足x1，且xn1(nN+)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：0<xn<1；(2)設(shè)an，求數(shù)列an的通項公式解：(1)證明：當(dāng)n1時，x1(0，1)，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(kN+，k1)時，不等式成立，即xk(0，1)，則當(dāng)nk1時，xk1，因為xk(0，1)，所以2xk>0，即xk1>0.又因為xk11<0，所以0<xk1<1.綜合可知0<xn<1.(2)由xn1可得1，即an12an1，所以an112(an1)令bnan1，則bn12bn，又b1a1111，所以bn是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，即bn2n1，所以an2n11.3將正整數(shù)作如下分組：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，試猜測S1S3S5S2n1的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：由題意知，當(dāng)n1時，S1114；當(dāng)n2時，S1S31624；當(dāng)n3時，S1S3S58134；當(dāng)n4時，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時，S1114，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN+，k1)時等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，當(dāng)nk1時，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，所以當(dāng)nk1時，等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知，對于任意的nN+，S1S3S5S2n1n4都成立6