2020屆高考數(shù)學大二輪復習 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第1講 選填題的解法研究練習 文

第1講　選填題的解法研究 一 選擇題、填空題在高考中的地位 選擇題、填空題在當今數(shù)學高考(全國卷)中，題目數(shù)量多且占分比例高(選擇12題，填空4題，共16題，共計80分，其中選擇題60分，填空題20分，占全卷總分的53.3%)． 二 選擇題、填空題難度及排序規(guī)律 就一套試卷而言，選擇題1～10題相對較簡單，考查知識點明顯，學生比較容易入手，11,12題對思維要求較高，重視對數(shù)學素養(yǎng)的考查，學生需要綜合運用多種數(shù)學思想方法才能解決．填空題13～15題難度比較低，很常規(guī)，主要考查基礎(chǔ)知識，解題思路清晰，16題難度相對較大，同樣重視對數(shù)學素養(yǎng)的考查．今年的高考題設(shè)置了組合型選擇題，為實現(xiàn)設(shè)置多選題過渡，填空題出現(xiàn)了一題雙空，難度增加，思維量加大． 三 選擇題、填空題特點及考查功能 從解答形式上看，選擇題、填空題都不要過程，形式靈活，選擇題還有選項可以提供額外的信息；從考查知識點上看，選擇題、填空題都能在較大的知識范圍內(nèi)，實現(xiàn)對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法的考查；從運算因素上看，選擇題、填空題都對運算要求較低，呈現(xiàn)多想少算的特點． 四 選擇題、填空題解答策略 選擇題、填空題的結(jié)構(gòu)特點決定了解答選擇題、填空題的方法，除常規(guī)方法外，還有一些特殊的方法．解答選擇題、填空題的基本原則是：“小題不大做”，要充分利用題目中(包括題干和選項)提供的各種信息，排除干擾，利用矛盾，作出正確的判斷． 數(shù)學選擇題的求解，一般有兩種思路：一是從題干出發(fā)考慮，探求結(jié)果；二是從題干和選項聯(lián)合考慮，或從選項出發(fā)探求是否滿足題干條件，由此得到做選擇題的幾種常用方法：直接法、排除法、構(gòu)造法、特例法、代入驗證法、數(shù)形結(jié)合法等．填空題雖然沒有選項提供參考，但依然可以根據(jù)其特點，考慮直接法、構(gòu)造法、特例法等． 五 選擇題、填空題答題禁忌 選擇題、填空題答題時，一定要注意認真審題，理解清楚題意后再作答．選擇題確定選項后，其余選項也應(yīng)該看一看，弄清楚它們錯在哪里．不要一味圖快，還是要以保證正確率為主． 如果某題不太好解答，應(yīng)及時調(diào)整策略，去解答下一題．切忌在某一道題上花費過多時間．這樣很容易影響答題的心理狀態(tài)，產(chǎn)生緊張、焦慮等負面情緒． 另外涂答題卡時，要注意題號排列規(guī)律，不要出現(xiàn)答串行等低級失誤．選擇題要修改的話，一定要先把原有選項擦除干凈，再用2B鉛筆涂黑新選項． 方法匯總　　選填通用方法 一 直接法 直接法是指直接從題目條件出發(fā)，利用已知的條件、相關(guān)概念、性質(zhì)、公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識，通過嚴謹?shù)耐评?、準確的運算、合理的驗證，從而直接得出正確結(jié)論的解題方法．解答選擇題、填空題時，此方法一般都會是考生最先考慮的方法，也是解題最常用的方法之一．但是此種方法并沒有充分利用選擇題、填空題的題型特點，因此多用于解答一些比較容易的選、填題． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 題型一　(2018·全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為(　　) A. B. C. D. 思維啟迪　首先利用正方體的棱是3組且每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成的角相等，只需與從同一個頂點出發(fā)的3條棱所成的角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果． 解析　根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1與線AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的，同理，平面C1BD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面AB1D1與C1BD中間的，且過棱的中點的正六邊形，邊長為，所以其面積為S＝6×××2＝，故選A. 答案　A 該題考查的是有關(guān)正方體被平面所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 題型二　設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________． 思維啟迪　本題以數(shù)列為背景，綜合考查等比數(shù)列的通項公式，冪的運算性質(zhì)，等比數(shù)列求和公式等多個知識點．數(shù)列是高中數(shù)學的一個重要模塊，對數(shù)列的考查，在歷年全國卷中都能見到．此類問題，多直接利用題目條件，結(jié)合數(shù)列的相關(guān)公式計算解決． 本題中首先根據(jù)題目的兩個條件，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，可以列出方程，解出首項及公比，進而可以將a1a2…an表示為關(guān)于n的函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識求解其最大值． 解析　解法一：由題可得兩式相除，解得q＝，a1＝8， 則an＝n－4，所以a1a2…an＝－3×－2×…×n－4＝ 由于指數(shù)函數(shù)y＝x單調(diào)遞減，因此當最小時， a1a2…an最大， 即n＝3或n＝4時，a1a2…an有最大值26＝64. 解法二：同解法一，解得an＝n－4. 設(shè)bn＝a1a2…an，由得解得3≤n≤4. 所以當n＝3或4時，bn有最大值b3＝b4＝64. 答案　64 本題是根據(jù)題目條件，利用數(shù)列的相關(guān)公式，直接解決數(shù)列的最值問題．解法一是從數(shù)列是特殊函數(shù)這個角度予以求解的，解法二是利用數(shù)列本身的一些特性予以求解．這兩種都是直接解決數(shù)列最值問題的常用方法． 『針對訓練』 1.(2019·河南鄭州一模)《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾．初日織五尺，今一月織九匹三丈．”其意思為今有女子善織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個月(按30天計)共織390尺布．則該女最后一天織多少尺布？(　　) A.18 B．20 C.21 D．25 答案　C 解析　由題意知該女每天所織布的尺數(shù)可構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}，且a1＝5，S30＝390，設(shè)該女最后一天織布尺數(shù)為a30，則有＝390，解得a30＝21.故選C. 2.在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為________． 答案?。? 解析　設(shè)橢圓方程為＋＝1，由e＝知＝，故＝.由于△ABF2的周長為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4. ∴b2＝8.∴橢圓C的方程為＋＝1. 二 特例法 特例法的原理：如果結(jié)論對一般情況成立，那么對特殊情況一定也成立．因此解選擇、填空題時，可以考慮對題目條件特殊化，用特殊化后的條件解出問題的答案．這種方法主要用來解決選擇和填空題中結(jié)論唯一或其值為“定值”的問題，常常取一個(或一些)特殊數(shù)值(或特殊位置，特殊函數(shù)、特殊點、特殊方程、特殊數(shù)列、特殊圖形等等)來確定其結(jié)果，從而節(jié)省推理、論證、演算的過程，加快解題速度．特例法是解決選填題的一種很好用的方法．大多數(shù)時候，都能化繁為簡，快速找到問題的答案．但是，需要指出的是，特例法本身存在一定風險，即如果某題答案不唯一，那么用特例法有可能漏解．此時最好多舉幾個特例驗證． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 題型一　已知函數(shù)f(x)＝x＋xln x，若k∈Z，且k(x－1)<f(x)對任意的x>1恒成立，則k的最大值為(　　) A.2 B．3 C．4 D．5 思維啟迪　本題是以函數(shù)和導數(shù)為背景的恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值與導數(shù)的關(guān)系等知識點．直接做的話，可以轉(zhuǎn)化為y＝的最小值大于k；或者y＝f(x)－k(x－1)的最小值大于0等，步驟繁瑣，運算量較大；使用特例法更快捷，即原式對x>1恒成立，那么對類似x＝2,3等這些特值也成立，從而可以縮小k的范圍． 解析　解法一：(直接法)設(shè)g(x)＝x－ln x－2，可得g′(x)＝1－＝>0，故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，而g(3)＝1－ln 3<0，g(4)＝2－ln 4>0，所以g(x)存在唯一一個零點x0∈(3,4)，且當x∈(1，x0)時，g(x)<g(x0)＝0；當x∈(x0，＋∞)時，g(x)>g(x0)＝0，由題意得x>1時，>k恒成立，設(shè)h(x)＝，則h′(x)＝＝.所以h′(x)與g(x)同號，即x∈(1，x0)時，h′(x)<0；x∈(x0，＋∞)時，h′(x)>0，所以h(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(x0)＝＝＝x0. 故k<h(x)min＝x0，又k∈Z，則k的最大值為3，故選B. 解法二：(特例法)由題意可知，當x＝2時，k(x－1)<f(x)恒成立，即k(2－1)<f(2)，解得k<2＋2ln 2<2＋2＝4，因此k的最大整數(shù)值為3，而當k＝3時，令g(x)＝f(x)－k(x－1)＝xln x－2x＋3，g′(x)＝ln x－1，當x∈(1，e)時，g′(x)<0；當x∈(e，＋∞)時，g′(x)>0，所以g(x)在(1，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(e)＝3－e>0，于是g(x)>0恒成立，即k＝3滿足題意，故選B. 答案　B 解法一是直接法．計算量較大，對數(shù)學能力要求較高；解法二巧妙的利用x＝2時的特殊情況，成功得到k＝3.當然，從嚴謹性的角度出發(fā)，還需要檢驗一下k＝3是否成立．就算如此，其計算量、思維量也遠遠小于直接法．解選擇、填空題，用好特例法往往能起到事半功倍的作用． 　 題型二　(2019·河北一模)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P為雙曲線右支上一點，M為△PF1F2的內(nèi)心，滿足S△MPF1＝S△MPF2＋λS△MF1F2，若該雙曲線的離心率為3，則λ＝________(注：S△MPF1，S△MPF2，S△MF1F2分別為△MPF1，△MPF2，△MF1F2的面積)． 思維啟迪　本題以雙曲線為背景，綜合考查了雙曲線定義，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，三角形面積計算公式等多個知識點，綜合性較強．本題涉及雙曲線焦點，一般需要考慮雙曲線定義，由于M是內(nèi)心，因此涉及的三個三角形如果分別以PF1，PF2，F(xiàn)1F2為底，則高相等，離心率提供了雙曲線a，b的關(guān)系．綜合利用這些條件，可以完成本題求解．另一方面，本題屬于結(jié)論為定值，且題干中未對雙曲線方程及P點位置作過多限制，因此可以考慮特例法，能更高效快捷地解答此題． 解析　解法一：(直接法)設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r， 由S△MPF1＝S△MPF2＋λS△MF1F2得： |PF1|·r＝|PF2|·r＋λ·|F1F2|·r， ∴|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，∴|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|， ∵點P為雙曲線右支上一點，∴2a＝λ·2c，∴λ＝， ∵＝3，∴λ＝. 解法二：(特例法)設(shè)雙曲線為x2－＝1，則F1(－3，0)，F(xiàn)2(3,0)，取P(3,8)，如圖，則此時△PF1F2為直角三角形，由勾股定理得|PF1|＝10；所以S△PMF1＝5r，S△PMF2＝4r，S△MF1F2＝3r，易得λ＝. 答案　 解法一是直接法．需要用雙曲線定義得到2a＝2λc，對數(shù)學能力有一定要求；解法二巧妙的利用特殊雙曲線和特殊點，能快捷的得出λ的值，思維量小于直接法．解選擇、填空題，用好特例法常常能化難為易． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 『針對訓練』 1.(2019·長春一模)已知點O為坐標原點，點M在雙曲線C：x2－y2＝λ(λ為正常數(shù))上，過點M作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為N，則|ON|·|MN|的值為(　　) A. B. C.λ D．無法確定 答案　B 解析　因為點M為雙曲線上任一點，所以可取點M為雙曲線的右頂點，由漸近線y＝x知△OMN為等腰直角三角形，此時|OM|＝，|ON|＝|MN|＝，所以|ON|·|MN|＝. 2.(2019·佛山調(diào)研)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是________． 答案　 解析　解法一：當△ABC為等邊三角形時，滿足題設(shè)條件， 則c＝，C＝且a＝b＝. ∴△ABC的面積S△ABC＝absinC＝. 解法二：∵c2＝(a－b)2＋6， ∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. ∴S△ABC＝absinC＝×6×＝. 三 構(gòu)造法 構(gòu)造法是指當解決某些數(shù)學問題使用通常方法按照定向思維難以解決問題時，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點去觀察、分析、理解對象，牢牢抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，運用問題的數(shù)據(jù)、形式、坐標等特征，使用題中的已知條件為原材料，運用已知數(shù)學關(guān)系式和理論為工具，在思維中構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學對象，從而，使原問題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學對象中清晰地展現(xiàn)出來，并借助該數(shù)學對象方便快捷地解決數(shù)學問題． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 題型一　(2019·惠州市高三第一次調(diào)研考試)已知函數(shù)y＝f(x)對于任意的x∈滿足f′(x)cosx＋f(x)sinx＝1＋ln x(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，則下列不等式成立的是(　　) A.f<f B.f>f C.f>f D.f<f 思維啟迪　本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)，以及利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小等知識點．難點是f(x)解析式未知，抽象性較強，可以根據(jù)所給條件特點，構(gòu)造函數(shù)，然后利用其單調(diào)性解決問題． 解析　(構(gòu)造法)設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝， 因為f′(x)cosx＋f(x)sinx＝1＋ln x，所以g′(x)＝，當x∈時，g′(x)<0，x∈時，g′(x)>0；所以g(x)在遞減，在遞增． 因為<<<<，所以<<，即f>f，選B. 答案　B 本題解法即利用積商函數(shù)求導法則以及三角函數(shù)求導的特點構(gòu)造出函數(shù)g(x)＝，然后利用其單調(diào)性比較大?。? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 題型二　已知實數(shù)μ，ν，x，y滿足μ2＋ν2＝1，則z＝μx＋νy的最大值是________． 思維啟迪　本題中第一個方程可以聯(lián)想到圓或同角三角函數(shù)等，第二個不等式組可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域，而z從形式上看，可以看成直線方程或者向量的數(shù)量積等．根據(jù)形式上的特點，可以考慮構(gòu)造直線、向量等解決本題．另外，本題也可以直接使用柯西不等式求解． 解析　解法一：(構(gòu)造向量數(shù)量積)設(shè)a＝(μ，ν)，b＝(x，y)，則z＝a·b＝|a||b|cosθ≤|b|，結(jié)合圖象知，當x＝2，y＝2時， |b|max＝2，因此zmax＝2，此時a，b同向，即μ＝ν＝. 解法二：(柯西不等式)(μx＋νy)2≤(μ2＋ν2)(x2＋y2)＝x2＋y2；又因為則結(jié)合圖形知當x＝2，y＝2時，＝2，因此所求最大值為2，此時μ＝ν＝. 解法三：(構(gòu)造幾何圖形)z＝μx＋νy可以看作一條直線，原點到此直線的距離d＝＝|z|，因此|z|的幾何意義是原點到此直線的距離，所以問題轉(zhuǎn)化為何時原點到直線z＝μx＋νy的距離最大，結(jié)合圖形知，當直線過(2,2)點，且斜率為－1時，|z|最大，此時z＝|z|＝2. 答案　2 解法一根據(jù)題目所求式子的形式，構(gòu)造向量的數(shù)量積，成功將問題簡化為兩個向量何時數(shù)量積最大，結(jié)合圖形，一目了然；如果學習過柯西不等式，那么解法二直接利用柯西不等式求解，也比較簡潔．解法三考慮到z的幾何意義，構(gòu)造幾何圖形解決問題．恰當?shù)臉?gòu)造，可以使原問題中隱含的關(guān)系、性質(zhì)等，清晰的展現(xiàn)出來，從而幫助我們簡潔的處理原問題． 『針對訓練』 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2019·河北石家莊高三一模)已知函數(shù)f(x)＝ax＋eln x與g(x)＝的圖象有三個不同的公共點，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A.a<－e B．a(chǎn)>1 C.a<－3或a>1 D．a(chǎn)>e 答案　B 解析　(構(gòu)造方程)由f(x)＝g(x)得e22＋e(a－1)＋1－a＝0，令h(x)＝＝t(x>0且x≠e)，則 h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝e， ∴h(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，又當x→＋∞時，h(x)→0，作出函數(shù)h(x)的大致圖象，如圖所示． e2t2＋e(a－1)t＋1－a＝0，因為原方程有三個解，故此方程兩根滿足0<t1<，t2<0， 令F(t)＝e2t2＋e(a－1)t＋1－a， ∴∴a>1.故選B. 2.f(x)為定義在R上的可導函數(shù)，且f′(x)>f(x)，對任意正實數(shù)a，則下列式子成立的是(　　) A.f(a)<eaf(0) B．f(a)>eaf(0) C.f(a)< D．f(a)> 答案　B 解析　令g(x)＝，則g′(x)＝＝>0.所以g(x)在R上為增函數(shù)．又a>0，故g(a)>g(0)，即>，即f(a)>eaf(0)．故選B. 四 數(shù)形結(jié)合法 中學數(shù)學研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合．作為一種數(shù)學思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”．“以數(shù)解形”就是有些問題直接從“形”上解決起來比較困難，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等，借助代數(shù)方法研究并解決問題．“以形助數(shù)”就是有些“數(shù)”的問題直接解決比較困難，這時就需要結(jié)合代數(shù)式所表達的幾何意義，從“形”上予以解決．數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 題型一　已知a＝>1，如果方程ax＝logbx，bx＝logax，bx＝logbx的根分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系為(　　) A.x3<x1<x2 B．x3<x2<x1 C.x1<x3<x2 D．x1<x2<x3 思維啟迪　本題考查指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．題目所給的三個方程都是超越方程，直接從代數(shù)上解出x1，x2，x3是難以實現(xiàn)的．因此可以考慮“以形助數(shù)”，繪制出涉及函數(shù)的圖象，借助圖象解決問題． 解析　解法一：(數(shù)形結(jié)合)由a＝>1，可知0<b<1，因此函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝logbx，y＝logax圖象如圖所示，由圖可以看出點A，B，C對應(yīng)的橫坐標分別為x1，x3，x2，故x1<x3<x2.故選C. 解法二：(直接法)不妨設(shè)a＝e，b＝， 答案　C 本題無論哪種方法，都必須繞開解方程．數(shù)形結(jié)合法巧妙的借助了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，簡潔明了的比較出了三個數(shù)的大?。诙N方法，直接從“數(shù)”的角度比較三者大小，綜合利用了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，反證法等多種知識、方法．難度較大，而且沒有第一種方法直觀． 　 題型二　(2018·北京高考)在平面直角坐標系中，記d為點P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離，當θ，m變化時，d的最大值為________． 思維啟迪　本題考查點到直線的距離的最值問題，由于題目涉及兩個變量θ和m，因此難度較大．可以從代數(shù)角度，直接利用點到直線距離公式計算d，然后利用不等式放縮等代數(shù)技巧求解d的最大值．也可以數(shù)形結(jié)合地分析問題，將問題轉(zhuǎn)化為圓上動點到某直線的距離的最值問題． 解析　解法一：(直接法) d＝＝ ≤ ＝1＋≤3， 當sin(θ＋φ)＝－1且m＝0時，取等號． 解法二：(數(shù)形結(jié)合)如圖，d＝PM≤OP＋ON≤OP＋OA＝3，當A，N重合，且O，P，N共線時取等號． 答案　3 本題解法二，利用點到直線之間垂線段最短，及直角三角形中斜邊大于直角邊等簡單的幾何定理，很快的求出了d的最大值，運算量非常?。诮鉀Q類似問題的過程中，應(yīng)該數(shù)形結(jié)合地分析問題． 『針對訓練』 1.設(shè)函數(shù)f(x)＝其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若方程f(x)＝k(x＋1)(k>0)恰有三個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　直線y＝kx＋k(k>0)恒過定點(－1,0)，在同一直角坐標系中作出函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝kx＋k(k>0)的圖象，如圖所示，因為兩個函數(shù)圖象恰好有三個不同的交點，所以≤k<. 2.(2019·湖北八校高三聯(lián)考)若函數(shù)y＝f(x)圖象上不同兩點M，N關(guān)于原點對稱，則稱點對[M，N]是函數(shù)y＝f(x)的一對“和諧點對”(點對[M，N]與[N，M]看作同一對“和諧點對”)．已知函數(shù)f(x)＝則此函數(shù)的“和諧點對”有________對． 答案　2 解析　作出f(x)＝的圖象，f(x)的“和諧點對”數(shù)可轉(zhuǎn)化為y＝ex(x<0)與y＝－x2－4x(x<0)的圖象的交點個數(shù)(如圖)． 由圖象知，函數(shù)f(x)有兩對“和諧點對”. 五 極限法 極限法是解選擇題、填空題的一種有效方法，它根據(jù)題干及選項的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，迅速找到答案．極限法是一種基本而重要的數(shù)學方法，通過考察問題的極端狀態(tài)，靈活地借助極限思想解題，往往可以避開抽象復雜運算，探索解題思路，優(yōu)化解題過程，降低解題難度． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 題型一　(2019·鄭州一模)函數(shù)f(x)＝·cosx的圖象大致為(　　) 思維啟迪　本題考查根據(jù)解析式尋找函數(shù)的圖象，所給函數(shù)學生較陌生，不好直接得出其圖象．本題用直接法不好解答，可以考慮利用f(x)的性質(zhì)，或者特殊點的函數(shù)值、導數(shù)值等，排除干擾項，從而選出正確答案．觀察A，B，C，D四個選項，發(fā)現(xiàn)在原點附近的函數(shù)值，四個選項都不同，因此可以利用極限思想，估算x在原點左側(cè)，并且無限接近原點時的函數(shù)值和x在原點右側(cè)，并且無限接近原點時的函數(shù)值，利用這兩個極限值，便能一次性排除干擾項． 解析　解法一：(極限法)當x→0＋時，2x>1，所以<0，又cosx>0，所以f(x)<0，排除A，D. 當x→0－時，2x<1，所以>0，又cosx>0，所以f(x)>0，排除B，所以選C. 解法二：(排除法)觀察發(fā)現(xiàn)A，B為偶函數(shù)，C，D為奇函數(shù)，因此可以考慮利用奇偶性排除干擾項． 計算f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝－f(x)，因此f(x)為奇函數(shù)，排除A，B.觀察C，D發(fā)現(xiàn)二者在原點處導數(shù)符號不同，因此計算f′(0)的值來排除干擾項，但是直接求f′(x)計算過于繁瑣，設(shè)h(x)＝＝－1，顯然h(x)單調(diào)遞減；設(shè)g(x)＝cosx，則f(x)＝h(x)g(x)，所以f′(0)＝h′(0)g(0)＋g′(0)h(0)＝h′(0)<0，排除D，故選C. 答案　C 兩種解法都是排除法，但是第一種解法是利用極限思想，計算f(x)在原點左、右兩側(cè)的函數(shù)值，通過其符號排除干擾項；第二種解法比較常規(guī)，利用奇偶性排除兩個選項，再利用特殊點導數(shù)值排除一個選項．兩種方法比較，明顯第一種解法更快捷． 　 題型二　雙曲線x2－y2＝1的左焦點為F，點P為左支下半支上任意一點(異于頂點)，則直線PF的斜率的變化范圍是(　　) A.(－∞，0) B．(1，＋∞) C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 思維啟迪　本題以雙曲線為背景，考查雙曲線的漸近線，直線的傾斜角、斜率等知識要素，以點P在雙曲線的左支下半支上運動來解決本題． 解析　由題意條件知雙曲線的其中一條漸近線y＝x的傾斜角為45°，當點P向雙曲線左下方無限移動時，直線PF逐漸與漸近線平行，但是永不平行，所以傾斜角大于45°；當點P逐漸靠近頂點時，傾斜角逐漸增大，但是小于180°. 所以直線PF的傾斜角的范圍是(45°，180°)． 由此可知直線PF的斜率的變化范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)． 答案　C 本題運用運動變化的觀點，靈活的用極限思想來思考，避免了復雜的運算，簡化了解題過程，節(jié)省了解題時間． 『針對訓練』 1.(2018·北京高考)若△ABC的面積為(a2＋c2－b2)，且C為鈍角，則B＝________；的取值范圍是________． 答案　　(2，＋∞) 解析　解法一：(直接法)由余弦定理知 a2＋c2－b2＝2accosB， 又S△ABC＝acsinB，所以acsinB＝×2accosB， 化簡得tanB＝，因為0<B<，所以B＝， 又＝＝＝＋， 又因為C為鈍角，所以A∈， 所以tanA∈，所以∈(2，＋∞)． 解法二：(極限法)同解法一得B＝. 當C→時，→2，固定a不變， 當C→ 時，→＋∞，所以∈(2，＋∞). 2.設(shè)α∈，β∈，且tanα＝，則2α－β的值是________． 答案　 解析　解法一：(極限法)令β →0，則tanα→1，所以α→，所以2α－β →，故2α－β的值是. 解法二：(直接法) tanα＝ ＝， 所以tanα＝＝tan，因為α∈，β∈，所以α＝＋，所以2α－β＝. 方法匯總　　選擇獨用方法 一 排除法 排除法是指通過快捷有效的手段將與題干相矛盾的干擾項逐一排除，從而獲得正確的結(jié)論的解答選擇題的方法．適用于定性型或不易直接求解的選擇題．當題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的選項的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步排除，直到得出正確的選項．它與特例法結(jié)合使用是解答選擇題的常用方法． 題型一　過拋物線y2＝4x的焦點作直線與拋物線交于兩點P和Q，則PQ中點軌跡方程是(　　) A.y2＝2x－1 B．y2＝2x－2 C．y2＝－2x＋1 D．y2＝－2x＋2 思維啟迪　本題是考查拋物線過焦點的弦的中點的軌跡方程，可以設(shè)出直線方程，用參數(shù)法求解，也可以考慮點差法．當然，最快捷的應(yīng)該是使用排除法． 解析　解法一：(排除法)當弦PQ垂直于x軸時，易知此時PQ中點為(1,0)，而選項A，C所給曲線均不過(1,0)，所以排除A，C；又考慮極限位置，當xP→0時，顯然xQ→＋∞，因此線段PQ中點橫坐標趨于無窮大，即拋物線開口必須向右，排除D，綜上選B. 解法二：(直接法一)設(shè)PQ的中點M(x，y)， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x＝，y＝， 又y＝4x1，y＝4x2，兩式相減，得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)． 當x1≠x2時，有y＝2， 所以·y＝2，化簡得y2＝2(x－1)，x≠1， 當x1＝x2時，有y＝0，此時x＝1，綜上y2＝2x－2，故選B. 解法三：(直接法二)設(shè)PQ的中點M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的方程為x＝ty＋1，與拋物線聯(lián)立得化簡得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，即y＝2t，所以消參得y2＝2x－2，故選B. 答案　B 三種解法里，解法一根據(jù)題目特點，利用特殊位置排除掉干擾項，選出了正確答案．由于本題涉及弦中點問題，因此如解法二那樣采用點差法也可以很好的解決問題；解法三利用參數(shù)t，先解出軌跡的參數(shù)方程，進一步得到普通方程．三者比較，就本題而言排除法更快捷． 　　　　　 題型二　定義在R上的可導函數(shù)f(x)，其導函數(shù)記為f′(x)，滿足f(x)＋f(2－x)＝(x－1)2，且當x≤1時，恒有f′(x)＋2<x.若f(m)－f(1－m)≥－3m，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.(－∞，1] B. C．[1，＋∞) D. 思維啟迪　本題考查函數(shù)、導數(shù)的相關(guān)知識．由于不知道函數(shù)f(x)的解析式，導致此題有一定的困難．但是根據(jù)本題特點，通過m取一些特殊的值進行排除，能回避此題難點，快速得到答案． 解析　解法一：(直接法)∵f′(x)＋2<x，即f′(x)－x＋2<0，可構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－＋2x.∵g(x)＋g(2－x)＝f(x)＋f(2－x)－＋2x－＋2(2－x)＝3，∴g(x)關(guān)于中心對稱． 又x≤1時，g′(x)＝f′(x)－x＋2<0，∴g(x)在R上單調(diào)遞減． ∵f(x)＝g(x)＋－2x，∴f(m)＝g(m)＋－2m. f(1－m)＝g(1－m)＋－2(1－m)， ∴f(m)－f(1－m)≥－3m等價于g(m)－g(1－m)≥0. ∴g(m)≥g(1－m)．即m≤1－m，∴m≤.故選D. 解法二：(排除法)因為f(x)＋f(2－x)＝(x－1)2，所以取x＝1，易知f(1)＝0. 設(shè)g(x)＝f(x)－x2＋2x，由題意可知當x≤1時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(1)<g(0)，即f(0)>，所以f(1)－f(0)<－，即m≠1，排除A，B，C.故選D. 答案　D 本題的難點在于，分析出函數(shù)g(x)的中心對稱性，而排除法成功的回避了這個難點，極大的節(jié)省了解題時間．在解選擇題時，用好排除法往往能取得很好的效果． 『針對訓練』 1.某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表，那么各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為(　　) A.y＝ B．y＝ C.y＝ D．y＝ 答案　B 解析　解法一：(排除法)若x＝56，y＝5，排除C，D； 若x＝57，y＝6，排除A，故選B. 解法二：(直接法)設(shè)x＝10m＋a(0≤a≤9)，當0≤a≤6時，＝＝m＝；當6<a≤9時，＝＝m＋1＝＋1，故選B. 2.(2019·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝在[－π，π]的圖象大致為(　　) 答案　D 解析　∵f(－x)＝＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)，排除A. 又f＝＝>1，f(π)＝>0，排除B，C.故選D. 二 估算法 由于選擇題提供了唯一正確的選項，解答又不需要嚴謹?shù)耐评磉^程，因此一些計算類的題目并不需要精確的計算，只需對其數(shù)值特點和取值界限作適當?shù)墓烙?，便能作出正確的選擇，這就是估算法．估算法往往可以減少運算量，但是思維量相應(yīng)的增加了． 題型一　(2019·石家莊新高三摸底考試)實數(shù)a＝0.33，b＝log30.3，c＝30.3的大小關(guān)系是(　　) A.a<b<c B．a(chǎn)<c<b C．b<a<c D．b<c<a 思維啟迪　這是幾個實數(shù)比較大小的問題，可以借助指對函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖象進行比較，也可以進行適當?shù)墓浪愕贸龃鸢福? 解析　解法一：在同一坐標系中作出y＝0.3x，y＝log3x，y＝3x的圖象，如圖，結(jié)合圖象可知c>a>b，故選C. 解法二：(估算法)a＝0.33∈(0,1)，b＝log30.3<0，c＝30.3>1，所以c>a>b，故選C. 答案　C 解法一利用指對函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象直觀的得出了a，b，c的大小關(guān)系；解法二僅僅對a，b，c的值作了一個大概的估計．兩種方法都比較快捷的解決了本題． 　 題型二　如圖，多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為(　　) A.4.5 B．5 C.6 D．7.5 思維啟迪　本題中多面體的體積不易求得，可先求出四棱錐E－ABCD的體積，利用多面體ABCDEF的體積大于四棱錐E－ABCD的體積可得出正確選項． 解析　解法一：(估算法)顯然VE－ABCD＝×2×9＝6，所以多面體的體積必大于6，故選D. 解法二：(直接法) 如圖，作面EMN⊥面ABCD，作面FGH⊥面ABCD，則原多面體的體積被分割為四棱錐VE－AMND，三棱柱VEMN－FHG，四棱錐VF－HBCG， 所以原多面體的體積V＝×2×＋×3×2×＝7.5.故選D. 答案　D 解法一通過估算，避免了對多面體ABCDEF體積的運算，解題更為快捷． 『針對訓練』 1.(2019·山東濟南部分學校聯(lián)考)設(shè)a＝2－，b＝log35，c＝log45，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A.a<b<c B．a(chǎn)<c<b C．b<c<a D．c<b<a 答案　B 解析　因為a＝2－<1，b＝log35>c＝log45>1，所以a<c<b，故選B. 2.已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球面的面積是(　　) A. B. C．4π D. 答案　D 解析　∵球的半徑R不小于△ABC的外接圓的半徑r，又△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴r＝×2×＝，故S球＝4πR2≥4πr2＝>5π，故選D. 3.(2019·全國卷Ⅰ)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是(　　) A.165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 答案　B 解析　設(shè)某人身高為m cm，脖子下端至肚臍的長度為n cm，則由腿長為105 cm，可得>≈0.618，解得m>169.890. 由頭頂至脖子下端的長度為26 cm， 可得>≈0.618，解得n<42.071. 由已知可得＝≈0.618， 解得m<178.218. 綜上，此人身高m滿足169.890<m<178.218，所以其身高可能為175 cm.故選B. - 23 -