2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)題型 課下層級(jí)訓(xùn)練22 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（含解析）

課下層級(jí)訓(xùn)練(二十二)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) [A級(jí)　基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練] 1．函數(shù)f(x)＝sin的圖象的一條對(duì)稱軸是(　　) A．x＝　　　　　　　 B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 【答案】C　[∵正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z. 取k＝－1，則x＝－.] 2．(2019·山東德州月考)函數(shù)f(x)＝sin x＋cos的值域?yàn)?　　) A．[－2，2] B．[－， ] C．[－1，1] D． 【答案】C　[由于f(x)＝sin x＋cos＝sin x＋cos xcos －sin xsin ＝sin x＋cos x＝sin∈[－1，1]．] 3．(2019·陜西榆林質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝sin (φ∈[0，2π])是偶函數(shù)，則φ＝(　　) A． B． C． D． 【答案】C　[由f(x)＝sin 是偶函數(shù)，可得＝kπ＋，k∈Z，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝.] 4．(2019·山師大附中二模)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)在x＝時(shí)取得最大值，則函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象(　　) A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．關(guān)于直線x＝對(duì)稱 D．關(guān)于直線x＝對(duì)稱 【答案】A　[因?yàn)閤＝時(shí)，f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)取得最大值，所以φ＝，即g(x)＝cos，對(duì)稱中心，對(duì)稱軸x＝－.] 5．已知函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，)，則f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(　　) A． B． C． D． 【答案】B　[函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，)，則f(0)＝2sin φ＝，∴sin φ＝，又|φ|<，∴φ＝，則f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)， 則x＝－(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝－， ∴是函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心．] 6．函數(shù)f(x)＝sin(－2x)的單調(diào)增區(qū)間是________. 【答案】(k∈Z)　[由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x，2kπ＋ ≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋ ≤x≤kπ＋(k∈Z)．] 7．(2018·江蘇卷)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則φ的值為_(kāi)_______. 【答案】－　[由題意得f＝sin＝±1，∴π＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ－，k∈Z.∵φ∈，∴取k＝0得φ＝－] 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝3sin，若存在這樣的實(shí)數(shù)x1，x2，對(duì)任意的x∈R，都有f(x1) ≤f(x) ≤f(x2)成立，則|x1－x2|的最小值為_(kāi)_______. 【答案】2　[f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4， f(x1)，f(x2)應(yīng)分別為函數(shù)f(x)的最小值和最大值， 故|x1－x2|的最小值為＝2.] 9．(2019·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)函數(shù)f(x)＝2sin ωx(sin ωx＋cos ωx)－，(ω＞0)的最小正周期為π. (1)求ω的值； (2)當(dāng)x∈時(shí)，求f(x)的值域． 【答案】解　(1)f(x)＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx－ ＝(1－cos 2ωx)＋sin 2ωx－ ＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin， ∵T＝π，ω＞0，∴＝π，∴ω＝1. (2)∵－ ≤x≤，∴－ ≤2x－ ≤0， ∵y＝sin x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴－1≤sin ≤0， ∴－2≤2sin ≤0， ∴f(x)的值域?yàn)閇－2，0]． [B級(jí)　能力提升訓(xùn)練] 10．已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f＝f(－x)恒成立，且f＝1，則實(shí)數(shù)b的值為(　　) A．－1 B．3 C．－1或3 D．－3 【答案】C　[由f＝f(－x)可知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b關(guān)于直線x＝對(duì)稱，又函數(shù)f(x)在對(duì)稱軸處取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1或b＝3.] 11．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是(　　) A． B． C． D．π 【答案】C　[∵f(x)＝cos x－sin x＝－sin， ∴當(dāng)x－∈，即x∈時(shí)， sin單調(diào)遞增，－sin單調(diào)遞減， ∴是f(x)在原點(diǎn)附近的單調(diào)減區(qū)間， 結(jié)合條件得[0，a]?， ∴a≤，即amax＝.] 12．(2019·山東濟(jì)寧檢測(cè))設(shè)當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f(x)＝cos x－2sin x取得最大值，則cos θ＝________. 【答案】　[利用輔助角公式f(x)＝－2sin x＋cos x＝－＝－sin(x＋α)，其中cos α＝，sin α＝－，已知當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，f(θ)＝－sin(θ＋α)，故θ＋α＝2kπ－，k∈Z，則θ＝2kπ－－α，故cos θ＝cos＝cos＝－sin α＝＝.] 13．(2019·山東東營(yíng)月考)已知函數(shù)f(x)＝cos xsin x(x∈R)，給出下列四個(gè)命題： ①若f(x1)＝－f(x2)，則x1＝－x2； ②f(x)的最小正周期是2π； ③f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)； ④f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱． 其中真命題的是________. 【答案】③④　[ f(x)＝sin 2x，當(dāng)x1＝0，x2＝時(shí)，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命題；f(x)的最小正周期為π，故②是假命題；當(dāng)x∈時(shí)，2x∈，故③是真命題；因?yàn)閒＝sin ＝－，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，故④是真命題．] 14．(2019·黑龍江大慶月考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π. (1)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，求φ的值； (2)若f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 【答案】解　∵f(x)的最小正周期為π，即T＝＝π，∴ω＝2， ∴f(x)＝sin(2x＋φ)． (1)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，有φ＝＋kπ，k∈Z， ∵0<φ<，∴φ＝. (2)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)時(shí)， 有sin＝，即sin＝. ∵0<φ<，∴<＋φ<π，∴＋φ＝，φ＝. ∴f(x)＝sin. 令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－ ≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. 15．(2019·山東聊城月考)已知函數(shù)f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若h(x)＝f(x＋t)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且t∈(0，π)，求t的值； (3)當(dāng)x∈時(shí)，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【答案】解　(1)因?yàn)閒(x)＝－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2＝2sin， 故f(x)的最小正周期為π. (2)由(1)知h(x)＝2sin. 令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)， 得t＝＋(k∈Z)， 又t∈(0，π)，故t＝或. (3)當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈，所以f(x)∈[1，2]． 又|f(x)－m|<3，即f(x)－3<m<f(x)＋3， 所以2－3<m<1＋3，即－1<m<4. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－1，4)． 6