2020版高考數(shù)學一輪復習 課時作業(yè)38 基本不等式 理（含解析）新人教版

課時作業(yè)38　基本不等式 一、選擇題 1．下列不等式一定成立的是(　C　) A．lg>lgx(x>0) B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 解析：對選項A，當x>0時，x2＋－x＝2≥0，所以lg≥lgx；對選項B，當sinx<0時顯然不成立；對選項C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；對選項D，因為x2＋1≥1，所以0<≤1.故選C. 2．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　D　) A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：∵1＝2x＋2y≥2＝2 ， ∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2. 3．已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t為常數(shù)，且ab的最大值為2，則t＝(　C　) A．2 B．4 C．2 D．2 解析：∵a>0，b>0，∴ab≤＝，當且僅當a＝b＝時取等號．∵ab的最大值為2，∴＝2，t2＝8.又t＝a＋b>0，∴t＝＝2. 4．已知f(x)＝，則f(x)在上的最小值為(　D　) A. B. C．－1 D．0 解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，當且僅當x＝，即x＝1時取等號．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0. 5．已知x，y為正實數(shù)，且x＋y＋＋＝5，則x＋y的最大值是(　C　) A．3 B. C．4 D. 解析：∵x＋y＋＋＝5，∴(x＋y)[5－(x＋y)]＝(x＋y)·＝2＋＋≥2＋2＝4，∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，∴1≤x＋y≤4， ∴x＋y的最大值是4，當且僅當x＝y(tǒng)＝2時取得． 6．(2019·吉林長春外國語學校質(zhì)檢)已知x>0，y>0，且3x＋2y＝xy，若2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是(　B　) A．(－∞，－8)∪(3，＋∞) B．(－8,3) C．(－∞，－8) D．(3，＋∞) 解析：∵x>0，y>0，且3x＋2y＝xy，可得＋＝1，∴2x＋3y＝(2x＋3y)＋＝13＋＋≥13＋2＝25，當且僅當x＝y(tǒng)＝5時取等號．∵2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，∴t2＋5t＋1<(2x＋3y)min，∴t2＋5t＋1<25，解得－8<t<3. 7．若對于任意的x>0，不等式≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　A　) A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)> C．a(chǎn)< D．a(chǎn)≤ 解析：由x>0，＝，令t＝x＋，則t≥2＝2，當且僅當x＝1時，t取得最小值2.取得最大值，所以對于任意的x>0，不等式≤a恒成立，則a≥. 二、填空題 8．已知a>0，則的最小值為－1. 解析：＝＝4a－5＋. ∵a>0，∴4a－5＋≥2－5＝－1，當且僅當4a＝，即a＝時取等號，∴的最小值為－1. 9．若x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，則x＋2y的最小值是3. 解析：因為x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，則2y＝. 則x＋2y＝x＋＝x＋2＋－3 ≥2－3＝3，當且僅當x＝1時取等號．因此其最小值是3. 10．某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則當每臺機器運轉(zhuǎn)5年時，年平均利潤最大，最大值是8萬元． 解析：每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，當且僅當x＝5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元． 三、解答題 11．(2019·河北唐山模擬)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y. (1)求＋的最小值． (2)是否存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5？并說明理由． 解：(1)因為＋＝＝≥＝2，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立， 所以＋的最小值為2. (2)不存在．理由如下： 因為x2＋y2≥2xy， 所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)． 又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2. 從而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4， 因此不存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5. 12．某學校為了支持生物課程基地研究植物生長，計劃利用學?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為900 m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1 m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3 m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為x(單位：m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(單位：m2)． (1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)求S的最大值． 解：(1)由題設(shè)， 得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)． (2)因為8<x<450， 所以2x＋≥2＝240， 當且僅當x＝60時等號成立，從而S≤676. 故當矩形溫室的室內(nèi)長為60 m時，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為676 m2. 13．(2019·海淀質(zhì)監(jiān))當0<m<時，若＋≥k2－2k恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為(　D　) A．[－2,0)∪(0,4] B．[－4,0)∪(0,2] C．[－4,2] D．[－2,4] 解析：因為0<m<，所以×2m×(1－2m)≤×2＝，當且僅當2m＝1－2m，即m＝時取等號，所以＋＝≥8，又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以實數(shù)k的取值范圍是[－2,4]．故選D. 14．(2019·湖南長郡中學月考)設(shè)正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2 017＝4 034，則＋的最小值為4. 解析：由等差數(shù)列的前n項和公式， 得S2 017＝＝4 034， 則a1＋a2 017＝4. 由等差數(shù)列的性質(zhì)得a9＋a2 009＝4， 所以＋＝ ＝ ＝ ≥＝4， 當且僅當a2 009＝3a9時等號成立． 15．(2019·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上單調(diào)遞增，且ac≤4，則＋的最小值為(　B　) A．0 B． C． D．1 解析：因為函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上單調(diào)遞增，所以f′(x)＝ax2－4x＋c≥0在R上恒成立．所以所以ac≥4，又ac≤4，所以ac＝4，又a>0，所以c>0，則＋＝＋＝＋＝－＋－＝＋－≥2－＝1－＝，當且僅當a＝c＝2時等號成立，故選B. 16．(2019·天津模擬)已知x，y為正實數(shù)，則＋的最小值為. 解析：∵x，y為正實數(shù)，則＋ ＝＋＋1＝＋＋1， 令t＝，則t>0， ∴＋＝＋t＋1 ＝＋t＋＋≥ 2＋＝， 當且僅當t＝時取等號． ∴＋的最小值為. 6