2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)題型 課下層級(jí)訓(xùn)練28 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例（含解析）

課下層級(jí)訓(xùn)練(二十八)　平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例 [A級(jí)　基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練] 1．(2019·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，若a⊥b，則m＝(　　) A．－2　　 B．－　　 C．　　 D．2 【答案】D　[由題得a·b＝－m＋2＝0，∴m＝2.] 2．(2019·山東威海檢測(cè))設(shè)向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，向量a與b的夾角為銳角，則x的范圍為(　　) A．(－2,2) B．(0，＋∞) C．(0,2)∪(2，＋∞) D．[－2,2] 【答案】C　[由向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為銳角，則x×1＋(－4)×(－x)＞0且≠，解得x＞0且x≠2，即x的范圍為(0,2)∪(2，＋∞)．] 3．已知＝(2,1)，點(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為(　　) A．－　 B．－3　 C．　 D．3 【答案】C　[因?yàn)辄c(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影為||cos〈，〉＝＝＝.] 4．(2019·山東安丘月考)已知向量與的夾角為，||＝2，||＝3，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且⊥，則＝(　　) A． B．6 C． D．4 【答案】B　[由題設(shè)有·＝0，故(λ＋μ)·(－)＝0，整理得－4λ＋9μ＋3(λ－μ)＝0，即λ＝6μ，＝6.] 5．(2019·山東臨沂期中)已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，則|a＋2b|＝(　　) A． B． C．6 D．7 【答案】B　[∵a，b均為單位向量，它們的夾角為60°， ∴|a＋2b|＝＝＝＝.] 6．(2019·山東德州檢測(cè))在小正方形邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中， 向量a，b的大小與方向如圖所示，則向量a，b所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B　[如圖所示，建立直角坐標(biāo)系， 若取a＝(1,2)，b＝(4,1)， 則cos 〈a，b〉＝＝＝.] 7．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________. 【答案】－2　[∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，∴a·b＝0. 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.] 8．(2019·山東日照期中)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，且|2a＋b|＝，則a·b＝________. 【答案】　[因?yàn)閨a|＝1，|b|＝2，所以|2a＋b|＝＝＝，∴a·b＝.] 9．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點(diǎn)P是斜邊AB上的中點(diǎn)，則·＋·＝________. 【答案】4　[由題意可建立如圖所示的坐標(biāo)系． 可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，則·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.] 10．(2019·山東泰安期中)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)． (1)若(a＋b)⊥b，求m的值； (2)若a·b＝－1，求向量b在向量a方向上的投影． 【答案】解　(1)a＋b＝(4，m－2)， ∵(a＋b)⊥b，∴3×4－2(m－2)＝0，∴m＝8. (2)a·b＝3－2m＝－1，∴m＝2，∴a＝(1,2)． ∴b在向量a方向上的投影為 |b|cos〈a，b〉＝＝＝. [B級(jí)　能力提升訓(xùn)練] 11．(2018·山東濟(jì)南期中)設(shè)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，且有＋2＋3＝0，則△ABC的面積和△AOC的面積之比為(　　) A．3 B． C．2 D． 【答案】A　[分別取AC、 BC的中點(diǎn)D、 E，∵＋2＋3＝0， ∴＋＝－2(＋)，即2＝－4，∴O是DE的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴＝3.] 12．(2018·山東濟(jì)南外國(guó)語學(xué)校期中)設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，則|c|的最大值等于(　　) A．1 B． C． D．2 【答案】D　[由于|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos θ＝cos θ＝－，故a，b兩個(gè)向量的夾角為120°，結(jié)合〈a－c，b－c〉＝60°，畫出圖象如下圖所示． ＝a，＝b，＝c，四邊形對(duì)角互補(bǔ)的話，該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，故當(dāng)O1C為直徑時(shí)，|c|取得最大值．由于直徑所對(duì)的角為直角，故||＝2||＝2，即|c|取得最大值為2.] 13．(2019·山東菏澤月考)已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n(m＞0，n＞0)，若m＋n＝1，則||的最小值為(　　) A． B． C． D． 【答案】C　[由題得＝(3m＋n，m－3n)， 所以||＝ ＝≥ ＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)，等號(hào)成立．] 14．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是________. 【答案】　[由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0， 即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.] 15．已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l∶x＝8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且·＝0. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2)若EF為圓N∶x2＋(y－1)2＝1的任意一條直徑，求·的最值． 【答案】解　(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)． 由·＝0， 得||2－||2＝0， 即(2－x)2＋(－y)2－(8－x)2＝0，化簡(jiǎn)得＋＝1. 所以動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，其軌跡方程為＋＝1. (2)易知＝＋， ＝＋， 且＋＝0，由題意知N(0,1)， 所以·＝2－2＝(－x)2＋(1－y)2－1 ＝16＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16 ＝－(y＋3)2＋19. 因?yàn)椋?≤y≤2， 所以當(dāng)y＝－3時(shí)，·取得最大值19， 當(dāng)y＝2時(shí)，· 取得最小值12－4. 綜上，·的最大值為19，最小值為12－4. 6