2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點解密 探索性問題(含解析)

精品 120122012 年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點解密年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點解密探索性問題探索性問題同學(xué)們：同學(xué)們：一分耕耘一分收獲，一分耕耘一分收獲，只要我們能做到有永不言敗只要我們能做到有永不言敗+勤奮學(xué)習(xí)勤奮學(xué)習(xí)+有遠(yuǎn)大的理想有遠(yuǎn)大的理想+堅定的信堅定的信念，堅強(qiáng)的意志，明確的目標(biāo)，相信你在學(xué)習(xí)和生活也一定會收獲成功（念，堅強(qiáng)的意志，明確的目標(biāo)，相信你在學(xué)習(xí)和生活也一定會收獲成功（可刪除可刪除）、綜合問題精講：、綜合問題精講：探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補(bǔ)充并加以證明的題型探索性問題一般有三種類型：（1）條件探索型問題；（2）結(jié)論探索型問題；（3）探索存在型問題條件探索型問題是指所給問題中結(jié)論明確，需要完備條件的題目；結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目探索型問題具有較強(qiáng)的綜合性，因而解決此類問題用到了所學(xué)過的整個初中數(shù)學(xué)知識 經(jīng)常用到的知識是：一元一次方程、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的求法（圖象及其性質(zhì)）、直角三角形的性質(zhì)、四邊形（特殊）的性質(zhì)、相似三角形、解直角三角形等其中用幾何圖形的某些特殊性質(zhì)：勾股定理、相似三角形對應(yīng)線段成比例等來構(gòu)造方程是解決問題的主要手段和途徑因此復(fù)習(xí)中既要重視基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，又要加強(qiáng)變式訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法的研究，切實提高分析問題、解決問題的能力、典型例題剖析、典型例題剖析【例 1】如圖261，已知拋物線的頂點為A(O，1)，矩形CDEF 的頂點 C、F 在拋物線上，D、E 在x軸上，CF 交 y 軸于點 B(0，2)，且其面積為 8(1)求此拋物線的解析式；(2)如圖 262，若 P 點為拋物線上不同于 A 的一點，連結(jié) PB 并延長交拋物線于點 Q，過點 P、Q 分別作x軸的垂線，垂足分別為 S、R求證：PBPS；判斷SBR 的形狀；試探索在線段 SR 上是否存在點 M，使得以點 P、S、M 為頂點的三角形和以點Q、R、精品 1M 為頂點的三角形相似，若存在，請找出M 點的位置；若不存在，請說明理由解解：方法一：B 點坐標(biāo)為(0，2)，OB2，矩形 CDEF 面積為 8，CF=4.C 點坐標(biāo)為(一 2，2)F 點坐標(biāo)為(2，2)設(shè)拋物線的解析式為y ax2bxc其過三點 A(0，1)，C(-22)，F(xiàn)(2，2)1 x1得2 4a2bc解得a,b 0,c 142 4a2bc2此拋物線的解析式為y x 114方法二方法二：B 點坐標(biāo)為(0，2)，OB2，矩形 CDEF 面積為 8，CF=4.C 點坐標(biāo)為(一 2，2)根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為y ax2c其過點 A(0，1)和 C(-22)1 c解得a 1,c 142 4ac此拋物線解析式為y x21(2)(2)解：解：過點 B 作 BN BS，垂足為 NP 點在拋物線 y=4x+l 上可設(shè)P 點坐標(biāo)為(a,1a21)PS4a21411241，OBNS2，BNaPN=PSNS=1a21在 RtPNB 中42222222PB2PN BN(4a 1)a (4a 1)1112PBPS4a 1根據(jù)同理可知 BQQR精品 11 2，又1 3，2 3，同理SBPB25 23 1805390SBR 90.SBR 為直角三角形方法一：設(shè)PS b,QR c，由知 PSPBbQR QB c，PQ bcSR2(bc)2(bc)2SR 2 bc假設(shè)存在點 M且 MSx，別 MR2 bc x若使PSMMRQ，則有b2 bc x即x22 bcx bc 0 xcx1 x2bcSR2bcM 為 SR 的中點.若使PSMQRM，則有bc2b bcx x2 bc xbcMR2 bc x2 bccQBRO1MSxbBPOS2b bcbcM 點即為原點 O綜上所述，當(dāng)點 M 為 SR 的中點時PSMMRQ；當(dāng)點 M 為原點時，PSMMRQ方法二：若以 P、S、M 為頂點的三角形與以Q、M、R 為頂點三角形相似，PSM MRQ 90，有PSMMRQ 和PSMQRM 兩種情況當(dāng)PSMMRQ 時SPMRMQ，SMPRQM由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)知PMS+QMR90 PMQ 90 取 PQ 中點為 N連結(jié) MN則 MN1PQ=1(QR PS)22精品 1MN 為直角梯形 SRQP 的中位線,點 M 為 SR 的中點當(dāng)PSMQRM 時，RMQRQB又RMRO，即 M 點與 O 點重合 點 M 為原點 OMSPSBPMSOS綜上所述，當(dāng)點 M 為 SR 的中點時，PSMMRQ；當(dāng)點 M 為原點時，PSMQRM點撥點撥：通過對圖形的觀察可以看出 C、F 是一對關(guān)于 y 軸的對稱點，所以（1）的關(guān)鍵是求出其中一個點的坐標(biāo)就可以應(yīng)用三點式或 y=ax2+c 型即可而對于點 P 既然在拋物線1上，所以就可以得到它的坐標(biāo)為（a，a2+1）這樣再過點B 作 BNPS得出的幾何圖形4求出 PB、PS 的大小最后一問的關(guān)鍵是要找出PSM 與MRQ 相似的條件【例 2】探究規(guī)律：如圖 264 所示，已知：直線 mn，A、B 為直線 n 上兩點，C、P 為直線 m 上兩點（1）請寫出圖 264 中，面積相等的各對三角形；（2）如果A、B、C 為三個定點，點P 在 m 上移動，那么，無論P 點移動到任何位置，總有_與ABC 的面積相等理由是：_.解決問題：如圖 265 所示，五邊形 ABCDE 是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖 266 所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（266 中折線 CDE）還保留著；張大爺想過 E 點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多請你用有關(guān)的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計出修路方案（不計分界小路與直路的占地面積）（1）寫出設(shè)計方案并畫出相應(yīng)的圖形；（2）說明方案設(shè)計理由精品 1解解：探究規(guī)律：（l）ABC 和ABP，AOC 和 BOP、CPA和CPB（2）ABP；因為平行線間的距離相等，所以無論點P 在 m 上移動到任何位置，總有ABP 與ABC 同底等高，因此，它們的面積總相等解決問題：畫法如圖267 所示連接 EC，過點 D 作 DFEC，交 CM 于點 F，連接 EF，EF 即為所求直路位置設(shè) EF 交 CD 于點 H，由上面得到的結(jié)論可知：SECF=SECD，SHCF=SEDH，所以S五邊形ABCDE=S五邊形ABCFE，S五邊形EDCMN=S四邊形EFMN點撥：點撥：本題是探索規(guī)律題，因此在做題時要從前邊問題中總結(jié)出規(guī)律，后邊的問題要用前邊的結(jié)論去一做，所以要連接EC，過 D 作 DFEC，再運用同底等高的三角形的面積相等【例 3】如圖 268 所示，已知拋物線的頂點為 M（2，4），且過點 A(1,5)，連結(jié) AM交 x 軸于點 B求這條拋物線的解析式；求點 B 的坐標(biāo)；設(shè)點 P（x，y）是拋物線在x 軸下方、頂點 M 左方一段上的動點，連結(jié) PO，以P為頂點、PQ 為腰的等腰三角形的另一頂點Q 在 x 軸上，過 Q 作 x 軸的垂線交直線 AM 于點 R，連結(jié) PR設(shè)面 PQR 的面積為 S求 S 與 x 之間的函數(shù)解析式；在上述動點 P（x，y）中，是否存在使SPQR=2 的點？若存在，求點P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解解：（1）因為拋物線的頂點為 M（2，4）所以可設(shè)拋物線的解析式為y=（x2）24因為這條拋物線過點 A（1，5）所以 5=a(12)24解得 a=1所以所求拋物線的解析式為y=（x2）24（2）設(shè)直線 AM 的解析式為 y=kx+b精品 1因為 A（1，5）,M（2，4）所以k b 5，2k b 4解得 k=3，b=2所以直線 AM 的解析式為 y=3x222當(dāng) y=0 時，得 x=，即 AM 與 x 軸的交點 B（,0）33（3）顯然，拋物線 y=x24x 過原點(0，0當(dāng)動點 P（x，y）使POQ 是以 P 為頂點、PO 為腰且另一頂點 Q 在 x 軸上的等腰三角形時，由對稱性有點 Q（2x，0）因為動點 P 在 x 軸下方、頂點 M 左方，所以 0 x221因為當(dāng)點 Q 與 B（，0）重合時，PQR 不存在，所以 x，331所以動點 P（x，y）應(yīng)滿足條件為 0 x2 且 x，3因為 QR 與 x 軸垂直且與直線 AM 交于點 R，所以 R 點的坐標(biāo)為（2x，6x+2）如圖 269 所示，作 P HOR 于 H，則 PH=|xQ xP|2x x|x,QR|6x 2|11而 S=PQR 的面積=QRP H=|6x 2|x22下面分兩種情形討論：1當(dāng)點 Q 在點 B 左方時，即 0 x時，3當(dāng) R 在 x 軸上方，所以6x201所以 S=（6x2）x=3x2+x；21當(dāng)點 Q 在點 B 右方時，即x2 時3點 R 在 x 軸下方，所以6x201所以 S=（6x2）x=3x2x；2即 S 與 x 之間的函數(shù)解析式可表示為精品 113x2 x(0 x)3S 3x2 x(1 x 2)3（4）當(dāng) S=2 時，應(yīng)有3x2+x=2，即 3x2x+2=0，2顯然0，此方程無解或有 3x2x=2，即 3x2x2=0，解得 x1=1，x23當(dāng) x=l 時，y=x24x=3，即拋物線上的點 P（1，3）可使 SPQR=2；2當(dāng) x=0 時，不符合條件，應(yīng)舍去3所以存在動點 P，使 SPQR=2，此時 P 點坐標(biāo)為(1,3)點撥點撥：此題是一道綜合性較強(qiáng)的探究性問題，對于第（1）問我們可以采用頂點式求得此拋物線，而（2）中的點B 是直線 AM 與 x 軸的交點，所以只要利用待定系數(shù)法就可以求出直線 AM，從而得出與 x 軸的交點 B(3)問中注意的是 Q 點所處位置的不同得出的S 與 x之間的關(guān)系也隨之發(fā)生變化（4）可以先假設(shè)存在從而得出結(jié)論、綜合鞏固練習(xí)：、綜合鞏固練習(xí)：（100 分90 分鐘）1 觀察圖 2610 中）至中小黑點的擺放規(guī)律，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放記第 n個圖中小黑點的個數(shù)為 y解答下列問題：填下表：當(dāng) n=8 時，y=_；根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，把 n 作為橫坐標(biāo)，把 y 作為縱坐標(biāo)，在圖 2611 的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的各點（n，y），其中 1n5；請你猜一猜上述各點會在某一函數(shù)的圖象上嗎？如果在某一函數(shù)的圖象上，請寫出該函數(shù)的解析式精品 12（5 分）圖 2612 是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第 n 個小房子用了_塊石子3(10 分)已知 RtABC 中，AC=5，BC=12，ACB=90，P 是 AB 邊上的動點（與點 A、B 不重合），Q 是 BC 邊上的動點（與點B、C 不重合）如圖 2613 所示，當(dāng) PQA C，且 Q 為 BC 的中點時，求線段 CP 的長；當(dāng) PQ 與 AC 不平行時，CPQ 可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ 的長的取值范圍，若不可能，請說明理由4如圖2614 所示，在直角坐標(biāo)系中，以A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，l）為頂點的正方形，設(shè)正方形在直線：y=x 及動直線l2：y=x+2a（la1）上方精品 1部分的面積為 S（例如當(dāng) a 取某個值時，S 為圖中陰影部分的面積），試分別求出當(dāng) a=0，a=1 時，相應(yīng)的 S 的值5（10 分）如圖 2615 所示，DE 是ABC 的中位線，B90，AFB C在射線 A F上是否存在點 M，使MEC 與A DE相似？若存在，請先確定點M，再證明這兩個三角形相似；若不存在，請說明理由6如圖 2616 所示，在正方形 ABCD 中，AB=1，AC是以點 B 為圓心AB 長為半徑的圓的一段弧點 E 是邊 AD 上的任意一點（點 E 與點 A、D 不重合），過 E 作 AC 所在圓的切線，交邊 DC 于點 F 石為切點 當(dāng) DEF45 時，求證點 G 為線段 EF 的中點；精品 1 設(shè) AE=x，F(xiàn)C=y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)的定義域；5 圖 2617 所示，將DEF 沿直線 EF 翻折后得 D1EF，當(dāng) EF=時，討論AD1D 與6ED1F 是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由（圖 2618 為備用圖）7（10 分）取一張矩形的紙進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD 對折，折痕為 MN，如圖2619（1）所示；第二步：再把 B 點疊在折痕線 MN 上，折痕為 AE，點 B 在 MN 上的對應(yīng)點 B，得 RtABE，如圖 2619（2）所示；第三步：沿EB線折疊得折痕 EF，如圖 2619所示；利用展開圖 2619（4）所示探究：（l）AEF 是什么三角形？證明你的結(jié)論（2）對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由精品 18（10 分）某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時，發(fā)現(xiàn)了兩個重要結(jié)論一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a0)，當(dāng)實數(shù)a 變化時，它的頂點都在某條直線上；1二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實數(shù) a 變化時，若把拋物線 y=ax2+2x+3(a0)的頂點的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)a111增加，得到A 點的坐標(biāo)；若把頂點的 橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B 點的坐標(biāo)，aaa則 A、B 兩點一定仍在拋物線 y=ax2+2x+3(a0)上 請你協(xié)助探求出實數(shù)a 變化時，拋物線 y=ax2+2x+3(a0)的頂點所在直線的解析式；問題中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎？并說明理由；在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運用“一般特殊一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表述出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立，請說明理由精品 19已知二次函數(shù)的圖象過A（3，0），B（1，0）兩點 當(dāng)這個二次函數(shù)的圖象又過點以0，3）時，求其解析式；設(shè)中所求 M 次函數(shù)圖象的頂點為P，求 SAPC：SABC的值；如果二次函數(shù)圖象的頂點 M 在對稱軸上移動，并與 y 軸交于點 D，SAMD：SABD的值確定嗎？為什么？10（13 分）如圖 2620 所示，在 RtABC 中，ACB90，BC 的垂直平分線 DE，交 BC 于 D，交 AB 于 E，F(xiàn) 在 DE 上，并且 A FCE 求證：四邊形 ACEF 是平行四邊形；精品 1 當(dāng)B 的大小滿足什么條件時，四邊形A CEF是菱形？請回答并證明你的結(jié)論；四邊形 ACEF 有可能是正方形嗎？為什么？精品 1精品 1精品 1精品 1精品 1精品 1