2022年湘潭大學(xué)劉任任版離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案習(xí)題

習(xí) 題 一1.用列舉法表示下列集合：（1）1 到 100 之間的自然數(shù)的集合；（2）小于 5 的正整數(shù)集合；（3）偶自然數(shù)的集合；（4）奇整數(shù)的集合.分析本題主要考察集合的定義及怎樣用列舉法表示集合。解：(1)A,1 2 3100(2)B,1 2 3 4，(3),8,6,4,2,0C,(4)D,531 1 3 5.2.用描述法表示下列集合：（1）偶整數(shù)的集合；（2）素?cái)?shù)的集合；（3）自然數(shù)a的整數(shù)冪的集合.分析本題主要考察集合的定義及怎樣用描述法表示集合。解：(1)2整除的整數(shù)被是能xxE(2)11數(shù)和自身整除的整且只能被是大于xxP(3)是整數(shù)是自然數(shù)，naaAn3.設(shè),1,4,3,4,3,2aRaS請判斷下面的寫法正確與否：（1）Sa（2）Ra（3）Sa3,4,（4）Ra 4,3,1,（5）SR（6）Sa（7）Ra（8）R（9）ERa（10）S（11）R（12）4,3分析本題主要考察集合的基本運(yùn)算。解：(1)錯;(2)對;(3)對;(4)錯;(5)錯;(6)對;(7)錯;(8)對;(9)對;(10)錯;(11)錯;(12)對.4.設(shè)A、B和C為任意三個(gè)集合.以下說法是否正確?若正確則證明之,否則舉反例說明.（1）若BA且CB，則CA；（2）若BA且CB，則CA；（3）若BA且CB，則CA；（4）若BA且CB，則CA分析本題主要考察集合的基本運(yùn)算。解：(1)正確。因BC，所以，對任何xB均有xC，今AB，故AC。(2)錯誤。例如，令A(yù)BC,11212 3。(3)錯誤。例如，令A(yù)BC,11 21 2。(4)錯誤。例如，令A(yù)BC,11。5.設(shè)SSP是集合且SS.P是集合嗎?請證明你的結(jié)論.分析本題主要考察對集合定義的理解。解：假設(shè)P是集合。于是，(1)若PP，則由的定義，有PP；精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁，共 4 頁(2)若PP，則由的定義，有PP?？傊?，有PP當(dāng)且僅當(dāng)PP。此為矛盾。故P不是集合。6設(shè) 3,4,5,4,1,3,1,5,4,3,2,1CBAE.試求下列集合：（1）BA；（2）CBA)(；（3）)(BA；（4）BA；（5）CBA)(；（6）)(CBA；（7）CBA)(；（8）)()(CBBA分析本題主要考察子集、交集、并集、補(bǔ)集、差集、對稱差運(yùn)算的基本定義。解：(1)AB;3(2)(),ABC1 2 5;(3)(AB),2 3 4 5;(4)AB,2 3 4 5;(5)();ABC(6)ABC();3(7)();ABC5(8)()(),ABBC1 4.7.設(shè)A、B和C為任意三個(gè)集合，以下說法是否正確？若正確則證明之，否則舉反例說明.（1）若CABA，則CB；（2）若CABA，則CB；（3）若CABA，則CB；（4）若CBA，則BA或CA；（5）若ACB，則AB或AC分析本題主要考察包含、并、交、對稱差運(yùn)算的定義及其相互關(guān)系。解：(1)錯誤。例如，令A(yù)BC,11 22;(2)錯誤。例如，令A(yù)BC,123;(3)對。若BC，不妨設(shè)xBxC而。于是，(i)若xA，則xAB，但xAC；(ii)若xA，則xAB，但xAC。此與ABAC矛盾。故結(jié)論成立。（4）錯誤。例如，令2,1,2,1CBA（5）錯誤。例如，令 3,2,2,1,2CBA;8.設(shè)A、B和C是任意三個(gè)集合，試證明：（1）BA當(dāng)且僅當(dāng)BA；（2）ABBA；（3）)()(CBACBA；（4）)()()(CABACBA；（5）)()()(CABACBA分析本題主要考察對稱差、差、運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)換以及集合相等的定義。解：(1)設(shè)AB。于是ABABABAA()()。反之，設(shè)AB。若AB，則不妨設(shè)xAxB而。于是xABxAB,而，從而AB。此為矛盾。故AB。(2)ABABABBABABA()()()()。(3)左式=()ABC精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁，共 4 頁=()()ABBAC=()()ABBAC=()()()()ABBACABBAC=()()()()ABBACABBAC=()()()()ABAABBCABCABC=()()()()ABABCABCABC=()()()()ABCABCABCABC右式=ABC()=ABCBC()()=()()()()ABCBCABCBC=()()()()()ABACBCABCBC=()()()()()()ABBCACBCABCBC=()()()()ABCABCABCABC=()()()()ABCABCABCABC=左式(4)證明：ABCABCCBABCCBABCABCABACABACACABABACACABABACACABABCABC()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()而因此，ABCABAC()()()(5)證明：取且于是，從而，但因此，AAB ACABCBCABCAABACAAABCABAC,.,().()().()()().9.設(shè)3,2,2,1BA,試確定以下集合：（1）BA1；（2）BA2；（3）2)(AB分析：本題主要考察笛卡爾積的定義。解：（1）AB,11 1 21 1 32 1 22 1 3（2）BAABA)(2精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁，共 4 頁3,2,2,2,2,2,3,1,2,2,1,2,3,2,1,2,2,1,3,1,1,2,1,13,2,2,2,2,2,3,1,2,2,1,2,3,2,1,2,2,1,3,1,1,2,1,1（3）BA,2 12 23 13 2()()(),BABABA22 12 12 12 22 13 12 13 22 22 12 22 22 23 12 23 23 12 13 12 23 13 1,313 23 22 13 22 23 23 13 23 210.證明：若BBAA，則BA.分析本題主要是根據(jù)集合相等以及笛卡爾積之定義證明。解：因?yàn)閤Aiffx xAAiffx xBBiffxB,所以，當(dāng)時(shí)，ABBBAB。11.證明：若CABA，且A，則CB.分析本題主要是根據(jù)集合相等以及笛卡爾積之定義證明。解：任取yB，因A，所以存在xA，使x yAB,，從而x yAC,。因此yC，即BC。同理可證CB。故BC。12.設(shè)yx,為任意元素，令,yxxyx試證明：,uyx當(dāng)且僅當(dāng)yux,.分析本題根據(jù)集合相等之定義及集合的互異性證明。解：設(shè)x yu v,，即,xx yuu v。（1）若 ,xux yu v，則有xuyv,；（2）若 ,xu vx yu，則有xyuv。反之，設(shè)xuyv,，則由定義有x yu v,。13.將三元有序組zyx,定義為,zyxyxx合適嗎？為什么？分析本題根據(jù)有序組相等之定義及集合的互異性證明。解：不合適。例如，由定義，1 2 111 21 2 111 2,而1 1 211 11 1 211 2,但顯然1 2 11 1 2,。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁，共 4 頁