八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析） 北師大版

2015-2016學(xué)年廣東省潮州高級(jí)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1．若為二次根式，則m的取值為（　　） A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3 2．在根式①②③④中，最簡(jiǎn)二次根式是（　?。? A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 3．下列定理中，逆命題不成立的是（　　） A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．直角三角形兩銳角互余 C．對(duì)頂角相等 D．同位角相等，兩直線平行 4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，則下列條件中不能判斷是直角三角形的是（　?。? A．∠A=∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C=1：1：2 C．a(chǎn)：b：c=4：5：6 D．a(chǎn)2﹣c2=b2 5．下列各式能與合并的是（　?。? A． B． C． D． 6．下列命題中，錯(cuò)誤的是（　?。? A．矩形的對(duì)角線互相平分且相等 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．四個(gè)角都相等的四邊形是矩形 D．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 7．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是（　?。? A．5 B．25 C． D．5或 8．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，OA=3，則BC的長(zhǎng)度為（　?。? A．5 B． C． D． 9．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為6、10的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則BE的長(zhǎng)是（　?。? A． B． C．8 D． 10．如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60，M是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PM+PB最小值是，則AB長(zhǎng)為（　?。? A．1 B．2 C．2.5 D．3 　 二、填空題 11．已知，則=　　　　　?。? 12．以長(zhǎng)為8，寬為6的矩形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的形狀是　　　　　　，周長(zhǎng)為　　　　　　． 13．在直角三角形ABC中，∠C=90，∠A=30，BC=3cm，則斜邊上的中線長(zhǎng)　　　　　　厘米． 14．如圖，一圓柱高6cm，底面周長(zhǎng)為4cm，一只螞蟻從點(diǎn)A沿側(cè)面爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是　　　　　?。? 15．如圖，在□ABCD中，AE平分∠BAD交DC于點(diǎn)E，AD=5cm，AB=8cm，EC=　　　　　?。? 16．如果矩形的一條較短邊的長(zhǎng)是5cm，兩條對(duì)角線的夾角是60，那么它的較長(zhǎng)邊長(zhǎng)是　　　　　?。? 17．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC=8cm，DB=6cm，DH⊥AB于點(diǎn)H，則DH的長(zhǎng)為　　　　　?。? 　 三、解答題（共58分） 18．計(jì)算； （1）． 19．如圖，菱形ABCD中，CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：CE=CF． 20．如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90，求證：∠A+∠C=180． 21．如圖，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，且CE=DC，連接AE，分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC交BD于O，連接OF．求證：AB=2OF． 22．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF， （1）求證：BE=DF； （2）當(dāng)AB=BC時(shí)，試判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由． 23．如圖，△ABC中，AB=AC，AD、AE分別是∠BAC和∠BAC的外角的平分線，BE⊥AE． 求證：（1）DA⊥AE； （2）AC=DE． 24．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AC=60cm，∠A=60，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF． （1）求證：AE=DF； （2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由； （3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由． 　  2015-2016學(xué)年廣東省潮州高級(jí)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．若為二次根式，則m的取值為（　?。? A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)大于或等于0． 【解答】解：根據(jù)二次根式的意義，得3﹣m≥0， 解得m≤3．故選A． 【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義． 　 2．在根式①②③④中，最簡(jiǎn)二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式． 【分析】判斷一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是． 【解答】解：①是最簡(jiǎn)二次根式； ②=，被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式； ③是最簡(jiǎn)二次根式； ④=3，被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式． ①③是最簡(jiǎn)二次根式，故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件： （1）被開方數(shù)不含分母； （2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 　 3．下列定理中，逆命題不成立的是（　?。? A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．直角三角形兩銳角互余 C．對(duì)頂角相等 D．同位角相等，兩直線平行 【考點(diǎn)】命題與定理． 【分析】分別寫出原命題的逆命題，然后判斷正誤即可． 【解答】解：A、逆命題為內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，正確； B、逆命題為兩角互余的三角形為直角三角形，正確； C、逆命題為相等的角為對(duì)頂角，錯(cuò)誤； D、逆命題為兩直線平行，同位角相等，正確； 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及判定等知識(shí)，難度不大． 　 4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，則下列條件中不能判斷是直角三角形的是（　?。? A．∠A=∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C=1：1：2 C．a(chǎn)：b：c=4：5：6 D．a(chǎn)2﹣c2=b2 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】利用直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可． 【解答】解：A、由條件可得∠A+∠C=∠B，且∠A+∠B+∠C=180，可求得∠B=90，故△ABC是直角三角形； B、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∠A+∠B+∠C=180，∴∠C=90，故△ABC是直角三角形； C、不妨設(shè)a=4k，b=5k，c=6k，此時(shí)a2+b2=41k2，而c2=36k2，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形； D、由條件可得到a2=b2+c2，滿足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形； 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的判定方法，靈活運(yùn)用直角三角形的定義及勾股定理的逆定理是解決問題的關(guān)鍵． 　 5．下列各式能與合并的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】同類二次根式． 【專題】計(jì)算題． 【分析】由于只有同類二次根式能合并．所以根據(jù)同類二次根式的定義判斷各選項(xiàng)中的根式與是否為同類二次根式即可． 【解答】解：A、與不是同類二次根式，它們不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、=2，則與不是同類二次根式，它們不能合并，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、=，則與是同類二次根式，它們能合并，所以C選項(xiàng)正確； D、=3，則與不是同類二次根式，它們不能合并，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變． 　 6．下列命題中，錯(cuò)誤的是（　?。? A．矩形的對(duì)角線互相平分且相等 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．四個(gè)角都相等的四邊形是矩形 D．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 【考點(diǎn)】命題與定理． 【專題】推理填空題． 【分析】分析所給的命題是否正確，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案． 【解答】解：∵矩形的對(duì)角線互相平分且相等， ∴選項(xiàng)A正確； ∵對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形， ∴選項(xiàng)B錯(cuò)誤； ∵四個(gè)角都相等的四邊形是矩形， ∴選項(xiàng)C正確； ∵兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形， ∴選項(xiàng)D正確． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】主要主要考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理． 　 7．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是（　　） A．5 B．25 C． D．5或 【考點(diǎn)】勾股定理． 【專題】分類討論． 【分析】分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，②3和4都是直角邊，根據(jù)勾股定理求出即可． 【解答】解： 分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，由勾股定理得：第三邊長(zhǎng)是=； ②3和4都是直角邊，由勾股定理得：第三邊長(zhǎng)是=5； 即第三邊長(zhǎng)是5或， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方． 　 8．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，OA=3，則BC的長(zhǎng)度為（　?。? A．5 B． C． D． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】直接利用矩形的性質(zhì)得出AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，OA=3， ∴AC=6，∠ABC=90 則BC===2． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理，正確得出AC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵． 　 9．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為6、10的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則BE的長(zhǎng)是（　?。? A． B． C．8 D． 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【專題】操作型；等腰三角形與直角三角形． 【分析】連接AE，由折疊的性質(zhì)得：AE=EC，設(shè)BE=x，表示出AE，在直角三角形ABE中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果． 【解答】解：連接AE，由折疊的性質(zhì)得：AE=EC， 設(shè)BE=x，則有AE=EC=BC﹣BE=10﹣x， 由長(zhǎng)方形得：∠B=90， 在Rt△ABE中，AB=6，BE=x，AE=10﹣x， 根據(jù)勾股定理得：62+x2=（10﹣x）2， 解得：x=， 則BE的長(zhǎng)為， 故選A 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了翻折變換（折疊問題），以及勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60，M是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PM+PB最小值是，則AB長(zhǎng)為（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)． 【分析】先連接BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形且∠BAD=60，所以△ABD是等邊三角形，由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，所以點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，AD=BD，連接MD，由等邊三角形的性質(zhì)可知DM⊥AB，再根據(jù)勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)． 【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形， ∴B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱， ∴連接DM交AC于E，則點(diǎn)E即為所求， BP+PM=PD+PM=DM， 即DM就是PM+PB的最小值（根據(jù)的是兩點(diǎn)之間線段最短）， ∵∠DAB=60， ∴AD=AB=BD， ∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)， ∴DM⊥AB， ∵PM+PB=， ∴DM=， ∴AB=AD=∴AB=AD===2． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是最短線路問題及菱形的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵． 　 二、填空題 11．已知，則=　?。? 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0，求出滿足兩個(gè)被開方數(shù)條件的x的值． 【解答】解：依題意有x﹣2≥0且2﹣x≥0， 解得x=2， 此時(shí)y=， 則=． 【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)． 概念：式子（a≥0）叫二次根式，此時(shí)≥0； 性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義． 　 12．以長(zhǎng)為8，寬為6的矩形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的形狀是　菱形　，周長(zhǎng)為　20　． 【考點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，得出以矩形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的形狀是菱形，再根據(jù)矩形的邊長(zhǎng)，求得矩形的對(duì)角線長(zhǎng)，進(jìn)而得出菱形的周長(zhǎng)． 【解答】解：如圖，∵E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)， ∴EF=BD， 同理可得，GH=BD，F(xiàn)G=AC，EH=AC， ∵矩形的對(duì)角線AC與BD相等， ∴以長(zhǎng)為8，寬為6的矩形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的形狀是菱形， 又∵AC=BD==10， ∴菱形EFGH的周長(zhǎng)=104=20． 故答案為：菱形，20． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及菱形的判定，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角形中位線定理得出四邊形的四邊相等．三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半． 　 13．在直角三角形ABC中，∠C=90，∠A=30，BC=3cm，則斜邊上的中線長(zhǎng)　3　厘米． 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；含30度角的直角三角形． 【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可． 【解答】解：∵∠C=90，∠A=30，BC=3cm， ∴AB=2BC=6cm， 則斜邊上的中線長(zhǎng)=AB=3cm， 故答案為：3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半、30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵． 　 14．如圖，一圓柱高6cm，底面周長(zhǎng)為4cm，一只螞蟻從點(diǎn)A沿側(cè)面爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是　2cm?。? 【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題． 【分析】此題最直接的解法，就是將圓柱展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答． 【解答】解：底面周長(zhǎng)為4cm，半圓弧長(zhǎng)為2cm， 展開得： 又因?yàn)锽C=6cm，AC=2cm， 根據(jù)勾股定理得：AB==2（cm）． 故答案為：2cm． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出展開圖，表示出各線段的長(zhǎng)度． 　 15．如圖，在□ABCD中，AE平分∠BAD交DC于點(diǎn)E，AD=5cm，AB=8cm，EC=　3cm　． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】首先證明DA=DE，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BA∥CD，AB=CD=8， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴DE=AD=5， ∴CE=CD﹣DE=8﹣5=3cm， 故答案為3cm． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型． 　 16．如果矩形的一條較短邊的長(zhǎng)是5cm，兩條對(duì)角線的夾角是60，那么它的較長(zhǎng)邊長(zhǎng)是　5cm?。? 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)夾角為60，結(jié)合矩形的性質(zhì)，得出短邊長(zhǎng)為對(duì)角線的一半，即可得出對(duì)角線的長(zhǎng)度，最后根據(jù)勾股定理求出即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形， ∴∠DAB=90，OA=OB， ∵兩對(duì)角線的夾角為60， ∴△AOB為等邊三角形， ∴OA=OB=AB=5cm， ∴AC=BD=10cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==5cm， 故答案為5cm． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的基本性質(zhì)：對(duì)角線相等且互相平分．熟練掌握矩形的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC=8cm，DB=6cm，DH⊥AB于點(diǎn)H，則DH的長(zhǎng)為　4.8cm　． 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線積的一半，可求得菱形的面積，又由菱形的對(duì)角線互相平分且垂直，可根據(jù)勾股定理得AB的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的面積的求解方法：底乘以高或?qū)蔷€積的一半，即可得菱形的高． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=4cm，OB=OD=3cm， ∴AB=5cm， ∴S菱形ABCD=AC?BD=AB?DH， ∴DH==4.8cm． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)：菱形的對(duì)角線互相平分且垂直；菱形的面積的求解方法：底乘以高或?qū)蔷€積的一半． 　 三、解答題（共58分） 18．計(jì)算； （1）． 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算． 【分析】（1）先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可． 【解答】解：（1）解： 原式=2﹣+8 =9． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍． 　 19．如圖，菱形ABCD中，CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：CE=CF． 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC平分∠DAE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CE=FC． 【解答】證明：連接AC， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC平分∠DAE， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE=FC． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等． 　 20．如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90，求證：∠A+∠C=180． 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理；多邊形內(nèi)角與外角． 【專題】證明題． 【分析】連接AC．首先根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理求得∠D=90，進(jìn)而求出∠A+∠C=180． 【解答】證明：連接AC． ∵AB=20，BC=15，∠B=90， ∴由勾股定理，得AC2=202+152=625． 又CD=7，AD=24， ∴CD2+AD2=625， ∴AC2=CD2+AD2， ∴∠D=90． ∴∠A+∠C=360﹣180=180． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及四邊形內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理是解決問題的關(guān)鍵． 　 21．如圖，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，且CE=DC，連接AE，分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC交BD于O，連接OF．求證：AB=2OF． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】此題的根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以證明△ABF≌△ECF，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以解決問題． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，OA=OC． ∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF． ∵CE=DC， 在平行四邊形ABCD中，CD=AB， ∴AB=CE． ∴在△ABF和△ECF中， ， ∴△ABF≌△ECF（ASA）， ∴BF=CF． ∵OA=OC， ∴OF是△ABC的中位線， ∴AB=2OF． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定．此題還可以利用三角形的中位線解題． 　 22．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF， （1）求證：BE=DF； （2）當(dāng)AB=BC時(shí)，試判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】（1）連接BD，交AC于O，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD．證出OE=OF．得出四邊形BFDE是平行四邊形，即可得出結(jié)論； （2）證明四邊形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，即可得出結(jié)論． 【解答】（1）證明：連接BD，交AC于O，如圖 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA=OC，OB=OD． 又∵AE=CF， ∴OE=OF． ∴四邊形BFDE是平行四邊形， ∴BE=DF； （2）解：四邊形BEDF是菱形；理由如下： ∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC， ∴四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴EF⊥BD， ∴四邊形BEDF是菱形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形BFDE是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵． 　 23．如圖，△ABC中，AB=AC，AD、AE分別是∠BAC和∠BAC的外角的平分線，BE⊥AE． 求證：（1）DA⊥AE； （2）AC=DE． 【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，及∠BAC+∠BAF=180可求出∠DAE=90，即可證明DA⊥AE； （2）因?yàn)锳B=AC，若要證明AC=DE，可轉(zhuǎn)化為證明AB=DE即可． 【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC， 又∵AE平分∠BAF， ∴∠BAE=∠BAF， ∵∠BAC+∠BAF=180， ∴∠BAD+∠BAE=（∠BAC+∠BAF）=90， 即∠DAE=90， 故DA⊥AE； （2）∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，故∠ADB=90 ∵BE⊥AE， ∴∠AEB=90，∠DAE=90， 故四邊形AEBD是矩形． ∴AB=DE， ∴AC=DE． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線，等腰三角形的性質(zhì)及矩形的判定定理．有一定的綜合性． 　 24．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AC=60cm，∠A=60，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF． （1）求證：AE=DF； （2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由； （3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】相似形綜合題． 【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的長(zhǎng)，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長(zhǎng)，即可證明； （2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方程求得t的值； （3）分兩種情況討論即可求解． 【解答】（1）證明：∵直角△ABC中，∠C=90﹣∠A=30． ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在直角△CDF中，∠C=30， ∴DF=CD=2t， ∴DF=AE； 解：（2）∵DF∥AB，DF=AE， ∴四邊形AEFD是平行四邊形， 當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形， 即60﹣4t=2t， 解得：t=10， 即當(dāng)t=10時(shí)，?AEFD是菱形； （3）當(dāng)t=時(shí)△DEF是直角三角形（∠EDF=90）； 當(dāng)t=12時(shí)，△DEF是直角三角形（∠DEF=90）．理由如下： 當(dāng)∠EDF=90時(shí)，DE∥BC． ∴∠ADE=∠C=30 ∴AD=2AE ∵CD=4t， ∴DF=2t=AE， ∴AD=4t， ∴4t+4t=60， ∴t=時(shí)，∠EDF=90． 當(dāng)∠DEF=90時(shí)，DE⊥EF， ∵四邊形AEFD是平行四邊形， ∴AD∥EF， ∴DE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90， ∵∠A=60， ∴∠DEA=30， ∴AD=AE， AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=CD=2t， ∴60﹣4t=t， 解得t=12． 綜上所述，當(dāng)t=時(shí)△DEF是直角三角形（∠EDF=90）；當(dāng)t=12時(shí)，△DEF是直角三角形（∠DEF=90）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，正確利用t表示DF、AD的長(zhǎng)是關(guān)鍵．