高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理4

天津市部分區(qū)20162017學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)（理科）試卷溫馨提示：使用答題卡的區(qū)，學(xué)生作答時請將答案寫在答題卡上；不使用答題卡的區(qū)，學(xué)生作答時請將答案寫在試卷上.題 號一二三總 分151617181920得 分本試卷分第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第I卷1至2頁，第卷2至4頁.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘帖考試用條形碼.答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利！第卷（選擇題，共40分）注意事項：1選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.2本卷共8小題，每小題5分，共40分.參考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互獨立，那么錐體的體積公式，其中表示錐體的底面面積，表示錐體的高.柱體的體積公式，其中表示柱體的底面面積，表示柱體的高.一、選擇題:在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）已知集合，則（A） （B） （C） （D）（2）設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（A） （B） （C）（D）（3）閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的值為（A） （B） （C） （D）（4）已知是鈍角三角形，若，且的面積為，則（A） （B） （C） （D）（5）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則 “” 是“為單調(diào)遞增數(shù)列”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（6）已知雙曲線（）的焦點到漸近線的距離為2，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（A） （B） （C） （D）（7）在中，在上，為中點，、相交于點，連結(jié)設(shè)，則，的值分別為 （A） （B） （C） （D） （8）已知（其中，是自然對數(shù)的底數(shù)），當(dāng)時，關(guān)于的方程恰好有5個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（A） （B）（C） （D）第卷（非選擇題，共110分）注意事項：1用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2本卷共12小題，共110分.二、填空題：本大題共有6小題，每小題5分，共30分.（9）已知，R，是虛數(shù)單位，若，則的值為_.（10）在的展開式中，的系數(shù)為_. （用數(shù)字作答）24244正視圖側(cè)視圖俯視圖（11）某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是_. （12）在平面直角坐標(biāo)系中，由曲線（）與直線和所圍成的封閉圖形的面積為_.（13）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線 (為參數(shù))，曲線 (為參數(shù)，)，若恰好經(jīng)過的焦點，則的值為_. （14）已知 若方程有且僅有一個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為_.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）.（I）求的最小正周期； （II）當(dāng)時，的最小值為2，求的值.（16）（本小題滿分13分）某區(qū)選派7名隊員代表本區(qū)參加全市青少年圍棋錦標(biāo)賽，其中3名來自A學(xué)校且1名為女棋手，另外4名來自B學(xué)校且2名為女棋手.從這7名隊員中隨機(jī)選派4名隊員參加第一階段的比賽（I）求在參加第一階段比賽的隊員中，恰有1名女棋手的概率；（II）設(shè)為選出的4名隊員中A、B兩校人數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.PABECD（17）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，在上，且，側(cè)棱平面.（I）求證：平面平面；（II）若為等腰直角三角形.（i）求直線與平面所成角的正弦值；（ii）求二面角的余弦值.（18）（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前項和（），（），數(shù)列的前項和為.（I）求數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)（），求數(shù)列的前項和；（III）證明： （）.（19）（本小題滿分14分）已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，若的周長為，且點到直線的距離為.（）求橢圓的方程；（）設(shè)是橢圓長軸的兩個端點，點是橢圓上不同于的任意一點，直線交直線于點，若以為直徑的圓過點，求實數(shù)的值.（20）（本小題滿分14分）已知函數(shù)（），函數(shù)的圖象記為曲線.（I）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（II）若函數(shù)有兩個零點，且為的極值點，求的值；（III）設(shè)曲線在動點處的切線與交于另一點，在點處的切線為，兩切線的斜率分別為，是否存在實數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.天津市部分區(qū)20162017學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題:1-4 DACB 5-8 DACD二、填空題:9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答題:15.（本小題滿分13分）解：（I）函數(shù)， 4分 故函數(shù)的最小正周期為. 6分（II）由題意得， 10分故，所以. 13分16.（本小題滿分13分）解：（I）由題意知，7名隊員中分為兩部分，3人為女棋手，4人為男棋手，設(shè)事件A=“恰有1位女棋手”，則，4分所以參加第一階段的比賽的隊員中，恰有1位女棋手的概率為.5分（II）隨機(jī)變量的所有可能取值為其中，. 9分所以，隨機(jī)變量分布列為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. 13分17.（本小題滿分13分）解：（）法一：，知，且故.同理可得，且，,. 2分又平面 3分而平面. 平面,故平面平面； 4分法二：平面 又，故可建立建立如圖所示坐標(biāo)系.由已知，（），.3分，平面，平面,平面平面；4分（）（i）由（），平面的一個法向量是，因為為等腰直角三角形，故，.設(shè)直線與平面所成的角為，則8分（ii）設(shè)平面的一個法向量為，由，令，則， 10分，. 11分 顯然二面角的平面角是銳角，二面角的余弦值為. 13分（其他方法可酌情給分）18（本小題滿分13分）解：（I）當(dāng)時，兩式相減：；當(dāng)時，也適合，故數(shù)列的通項公式為；. 3分（II）由題意知：，兩式相減可得：， 4分即，. 7分（III），顯然，即，； 9分另一方面，即，即：. 13分19（本小題滿分14分）解：（）由已知得，解得.所以橢圓的方程為. 5分（）由題意知， 6分設(shè)，則，得.且由點在橢圓上，得. 8分若以為直徑的圓過點，則， 9分所以 12分因為點是橢圓上不同于的點，所以.所以上式可化為，解得. 14分20（本小題滿分14分）解法一:（I），當(dāng)時所以，而在處取得最小值，所以，；4分（II）因為為的極值點，所以，所以，又因為有不同的零點，所以，即，整理得：，所以9分（III）滿足條件的實數(shù)存在，由，知過 點與曲線相切的直線為：，且將與聯(lián)立即得點得橫坐標(biāo)，所以即：整理得：由已知,所以所以，即B點的橫坐標(biāo)為所以過點B的曲線的切線斜率為因此當(dāng)且僅當(dāng) 時，、成比例，這時即存在實數(shù)，使為定值14分解法二：（I），當(dāng)時，所以對任意的恒成立，故，即，故的取值范圍是； 4分（II）因為為的極值點，且有兩個零點， 所以的三個實數(shù)根分別為，由根與系數(shù)的關(guān)系得；9分（III）滿足條件的實數(shù)存在，因為，所以過點且與曲線相切的直線為：，其中.設(shè)與交于另一點，則必為方程的三個實數(shù)根由得因為上述方程的右邊不含三次項和二次項，所以 ，所以所以.因此當(dāng)且僅當(dāng) 時，、成比例，這時，即存在實數(shù)，使為定值. 14分天津市部分區(qū)20162017學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題:1-4 DACB 5-8 DACD二、填空題:9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答題:15.（本小題滿分13分）解：（I）函數(shù)， 4分 故函數(shù)的最小正周期為. 6分（II）由題意得， 10分故，所以. 13分16.（本小題滿分13分）解：（I）由題意知，7名隊員中分為兩部分，3人為女棋手，4人為男棋手，設(shè)事件A=“恰有1位女棋手”，則，4分所以參加第一階段的比賽的隊員中，恰有1位女棋手的概率為.5分（II）隨機(jī)變量的所有可能取值為其中，. 9分所以，隨機(jī)變量分布列為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. 13分17.（本小題滿分13分）解：（）法一：，知，且故.同理可得，且，,. 2分又平面 3分而平面. 平面,故平面平面； 4分法二：平面 又，故可建立建立如圖所示坐標(biāo)系.由已知，（），.3分，平面，平面,平面平面；4分（）（i）由（），平面的一個法向量是，因為為等腰直角三角形，故，.設(shè)直線與平面所成的角為，則8分（ii）設(shè)平面的一個法向量為，由，令，則， 10分，. 11分 顯然二面角的平面角是銳角，二面角的余弦值為. 13分（其他方法可酌情給分）18（本小題滿分13分）解：（I）當(dāng)時，兩式相減：；當(dāng)時，也適合，故數(shù)列的通項公式為；. 3分（II）由題意知：，兩式相減可得：， 4分即，. 7分（III），顯然，即，； 9分另一方面，即，即：. 13分19（本小題滿分14分）解：（）由已知得，解得.所以橢圓的方程為. 5分（）由題意知， 6分設(shè)，則，得.且由點在橢圓上，得. 8分若以為直徑的圓過點，則， 9分所以 12分因為點是橢圓上不同于的點，所以.所以上式可化為，解得. 14分20（本小題滿分14分）解法一:（I），當(dāng)時所以，而在處取得最小值，所以，；4分（II）因為為的極值點，所以，所以，又因為有不同的零點，所以，即，整理得：，所以9分（III）滿足條件的實數(shù)存在，由，知過 點與曲線相切的直線為：，且將與聯(lián)立即得點得橫坐標(biāo)，所以即：整理得：由已知,所以所以，即B點的橫坐標(biāo)為所以過點B的曲線的切線斜率為因此當(dāng)且僅當(dāng) 時，、成比例，這時即存在實數(shù)，使為定值14分解法二：（I），當(dāng)時，所以對任意的恒成立，故，即，故的取值范圍是； 4分（II）因為為的極值點，且有兩個零點， 所以的三個實數(shù)根分別為，由根與系數(shù)的關(guān)系得；9分（III）滿足條件的實數(shù)存在，因為，所以過點且與曲線相切的直線為：，其中.設(shè)與交于另一點，則必為方程的三個實數(shù)根由得因為上述方程的右邊不含三次項和二次項，所以 ，所以所以.因此當(dāng)且僅當(dāng) 時，、成比例，這時，即存在實數(shù)，使為定值. 14分